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专题15 圆锥曲线的综合问题：最值与范围问题
一、考情分析
二、考点梳理
1.已知P是椭圆C：一点，F是该椭圆焦点，则；
2.已知P是双曲线C：一点，F是该椭圆焦点，则；双曲线C的焦点弦的最小值为
三、题型突破
重难点题型突破(一) 借助利用圆锥曲线定义与几何关系，求最值与范围
万能模板 内 容
使用场景 圆锥曲线中的最值和范围问题
解题模板 第一步 根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等；第二步 利用两点间线段最短，或垂线段最短，或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条件，进而求出最值.
例1（1）、（2020·山西大同·高三月考（理））已知P为椭圆上任意一点，，是椭圆的两个焦点.则的最小值为________.
（2）．已知点是双曲线的左焦点，定点是双曲线右支上动点，则的最小值为 .
【变式训练1-1】、（2020年广东省深圳四校联考）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2，1)，B(-2，4)，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点Q为抛物线E：y2=4x上的动点，Q在直线x=-1上的射影为H，则的最小值为___________.
【变式训练1-2】、（2021江苏高三期中）已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则的最大值为______.
重难点题型突破(二) 借助一个参数范围，求最值与范围
万能模板 内 容
使用场景 圆锥曲线中的最值和范围问题
解题模板 第一步 根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐标；第二步 将目标函数表示成关于参数的函数；第三步 把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值的方法.
例2、（2021·湖北汉阳一中高三）设双曲线的离心率为，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线斜率分别，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】、在平面直角坐标系中，是椭圆上动点，则的最大值是________.
例3、已知椭圆，，分别为椭圆的右顶点、上顶点，为椭圆的右焦点，椭圆的离心率为，的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线交椭圆于，两点，若，求实数的取值范围．
【变式训练3-1】、（2022届湖南省长沙市高三上学期11月月考）已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点.直线不经过原点，且与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积的最大值，并求当面积最大时的取值范围.
重难点题型突破(三) 借助题上的不等关系或隐含的不等关系，求最值与范围
例4．（1）、（2017新课标Ⅰ12题 ）已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
（2）、（2021·全国高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【变式训练4-1】、(山东省日照市2019届高三三模)在等腰梯形 中，且，其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为（　　　）
A．　　　　B．　　　　C．2　　　　D．
【变式训练4-2】、已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是曲线与的一个公共点，，分别是和的离心率，若，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．9
重难点题型突破(四) 借助函数的值域，求最值与范围
万能模板 内 容
使用场景 圆锥曲线中的最值和范围问题
解题模板 第一步 把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数；第二步 通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法.
例5．已知椭圆的右焦点为，顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长为的菱形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，为坐标原点，、是椭圆上两点，且的中点在线段（不含端点、）上，求面积的取值范围.
【变式训练5-1】、（2021·全国高考真题（理））已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
四、课时训练
1．（四川省绵阳市绵阳南山中学2020-2021学年高三上学期11月月考）已知为抛物线：的焦点，过点且斜率为的直线与曲线交于，两点，过与中点的直线与曲线交于点，则的取值范围是______.
2.（2020年高考全国Ⅱ卷文数9）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为 （ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
3．（2021·河南高三月考（理））在平面直角坐标系中，椭圆，双曲线，，分别为，上的动点，且，则的最小值为______．
4．已知椭圆的离心率为，且过点，为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）圆的一条切线与椭圆相交于、两点，求：
①的值；
②的取值范围.
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专题15 圆锥曲线的综合问题：最值与范围问题
一、考情分析
二、考点梳理
1.已知P是椭圆C：一点，F是该椭圆焦点，则；
2.已知P是双曲线C：一点，F是该椭圆焦点，则；双曲线C的焦点弦的最小值为
三、题型突破
重难点题型突破(一) 借助利用圆锥曲线定义与几何关系，求最值与范围
万能模板 内 容
使用场景 圆锥曲线中的最值和范围问题
解题模板 第一步 根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等；第二步 利用两点间线段最短，或垂线段最短，或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条件，进而求出最值.
例1（1）、（2020·山西大同·高三月考（理））已知P为椭圆上任意一点，，是椭圆的两个焦点.则的最小值为________.
【答案】8
【分析】
运用重要不等式，结合椭圆的定义可以直接求解即可.
【详解】
由（当且仅当时取等号）.
故答案为：8
【点睛】
本题考查了椭圆的定义，考查了重要不等式的应用，考查了数学运算能力.
（2）．已知点是双曲线的左焦点，定点是双曲线右支上动点，则的最小值为 .
【答案】9
【解析】
设双曲线右焦点为，则
所以
【变式训练1-1】、（2020年广东省深圳四校联考）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2，1)，B(-2，4)，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点Q为抛物线E：y2=4x上的动点，Q在直线x=-1上的射影为H，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】（1）利用直译法直接求出P点的轨迹．（2）先利用阿氏圆的定义将转化为P点到另一个定点的距离，然后结合抛物线的定义容易求得的最小值．
设P（x，y），由阿氏圆的定义可得
即化简得
则 设则由抛物线的定义可得
当且仅当四点共线时取等号，
的最小值为 故答案为：;.
【点睛】本题考查了抛物线的定义及几何性质，同时考查了阿氏圆定义的应用．还考查了学生利用转化思想、方程思想等思想方法解题的能力．难度较大．
【变式训练1-2】、（2021江苏高三期中）已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则的最大值为______.
【答案】15
【分析】根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B（3，0）和.因此连接，根据椭圆的定义得.再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P在延长线上时，达到最大值，从而得到本题答案.
【解析】∵椭圆方程为，∴焦点坐标为B（3，0）和
连接，根据椭圆的定义，得，可得
因此
当且仅当点P在延长线上时，等号成立
综上所述，可得的最大值为15
【点睛】本题考查了椭圆相关距离的最值，变换得到是解题的关键.
重难点题型突破(二) 借助一个参数范围，求最值与范围
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使用场景 圆锥曲线中的最值和范围问题
解题模板 第一步 根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐标；第二步 将目标函数表示成关于参数的函数；第三步 把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值的方法.
例2、（2021·湖北汉阳一中高三）设双曲线的离心率为，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线斜率分别，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先利用点差法求得，再根据求得的取值范围.
【详解】
设，则，
那么，
两式相减得：，整理得：
即 ，
又因为双曲线的离心率为，
所以，所以，
故，
其中，所以
故选：D.
【点睛】
本题主要考查点差法化简直线的斜率之间的关系，在求解过程需要掌握这种技巧.
【变式训练2-1】、在平面直角坐标系中，是椭圆上动点，则的最大值是________.
【答案】2
【解析】
设点坐标为
则
当时，
例3、已知椭圆，，分别为椭圆的右顶点、上顶点，为椭圆的右焦点，椭圆的离心率为，的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线交椭圆于，两点，若，求实数的取值范围．
【分析】（1）根据椭圆离心率、三角形的面积求得，由此求得椭圆的标准方程.
（2）根据直线的斜率是否为进行分类讨论，结合根与系数关系以及列方程，求得关于的不等式，由此求得的取值范围.
【解析】（1）由题意得，则，．
的面积为，则．
将，代入上式，得，则，，
故椭圆的标准方程为．
（2）由（1）知，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，
将代入椭圆方程得，化简得，
则，所以①，②．
由得，即，
则．
得，所以，
即，易知，
故，易知恒成立，由，得，
解得．
当直线的斜率等于0时，
，或，，则或．
综上，实数的取值范围为．
【变式训练3-1】、（2022届湖南省长沙市高三上学期11月月考）已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点.直线不经过原点，且与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积的最大值，并求当面积最大时的取值范围.
【分析】（1）根据离心率，待定系数求解即可；
（2）根据题意设，与椭圆联立方程，结合韦达定理得，再结合基本不等式即可得最大值，再讨论当不存在时，求得，再综合即可得面积最大值；最后结合存在与不存在两种情况求解即可.
【解析】（1），.
将代入得，
椭圆方程为.
（2）设，
与椭圆联立得：，
所以.
则，
因为，故，
所以
当且仅当时取等号，此时，符合题意.
所以，即面积的最大值为.
当不存在时，设，则，当时取等号.
综上，面积的最大值为1
当面积最大时：
若存在，则此时，
则，
若不存在，则此时.
综上，.
重难点题型突破(三) 借助题上的不等关系或隐含的不等关系，求最值与范围
例4．（1）、（2017新课标Ⅰ12题 ）已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【解析】解法一：由已知垂直于轴是不符合题意，所以的斜率存在设为，的斜率为，
设，，，，此时直线方程为，
联立，得，∴
同理得 由抛物线定义可知
当且仅当（或）时，取得等号．故答案选A
解法二：设倾斜角为．作垂直准线，垂直轴，易知
；；
又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为
而即：p=2；所以
当取等号，即最小值为16.故选A
【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式、韦达定理是通法，需要重点掌握.考查到最值问题时要能想到用函数方法进行解决和基本不等式.
（2）、（2021·全国高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.
【变式训练4-1】、(山东省日照市2019届高三三模)在等腰梯形 中，且，其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为（　　　）
A．　　　　B．　　　　C．2　　　　D．
【答案】B
【解析】在等腰梯形ABCD中，
＝－＝,
由双曲线的定义可得,
由椭圆的定义可得,
则＝．
令在上单调递减，
所以，故选B．
【变式训练4-2】、已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是曲线与的一个公共点，，分别是和的离心率，若，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．9
【答案】A
【解析】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，
令在双曲线的右支上，由双曲线的定义，①
由椭圆定义，②
又∵，∴，③
，得，④
将④代入③，得，
∴，故选A．
重难点题型突破(四) 借助函数的值域，求最值与范围
万能模板 内 容
使用场景 圆锥曲线中的最值和范围问题
解题模板 第一步 把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数；第二步 通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法.
例5．已知椭圆的右焦点为，顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长为的菱形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，为坐标原点，、是椭圆上两点，且的中点在线段（不含端点、）上，求面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出、的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）设点、，利用点差法可求得直线的斜率为，设直线的方程为，与椭圆的方程，由得出，列出韦达定理，计算出以及原点到直线的距离，可得出关于的表达式，进而可求得的取值范围.
【详解】
（1）依题意：，因此，椭圆E的标准方程为；
（2）设、，
则的中点在线段上，且，则，
又，两式相减得：，
可得，
易知：，，，
设直线的方程为，
联立得.
所以，，可得，
由韦达定理可得，，
又，所以，
，
原点到直线的距离为，
，
，则，所以，.
【点睛】
方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：
（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.
【变式训练5-1】、（2021·全国高考真题（理））已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于的等式，即可解出的值；
（2）设点、、，利用导数求出直线、，进一步可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得面积的最大值.
【详解】（1）抛物线的焦点为，，
所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；
（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以，点、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，，
点到直线的距离为，
所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
四、课时训练
1．（四川省绵阳市绵阳南山中学2020-2021学年高三上学期11月月考）已知为抛物线：的焦点，过点且斜率为的直线与曲线交于，两点，过与中点的直线与曲线交于点，则的取值范围是______.
【答案】.
【分析】
由焦点坐标得到抛物线的方程，与直线的方程联立求得的坐标，得到直线的方程，与抛物线方程联立求得的纵坐标，得到关于的函数表达式，求得取值范围，即为所求面积比值的取值范围.
【详解】
因为为抛物线：的焦点，
,抛物线,①，
过点且斜率为的直线:,②，
①②联立消去并整理得,
，
,
,③，
③与①联立消去，,
解得,
,
因为分别以OM,ON为底边，高为C,B到直线OM的距离，由于M为BC的中点，所以高相等，
=,,
故答案为：.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的相交所得三角形的面积比值问题，涉及抛物线的标准方程，直线与抛物线的交点坐标，中点坐标，属中档题，关键是将两三角形的面积之比转化为底边长|OM|与|ON|的比值，利用直线方程与抛物线的方程联立，求得M的坐标，进而求得N的纵坐标关于k的函数表达式，得到关于k的函数表达式.
2.（2020年高考全国Ⅱ卷文数9）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为 （ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【思路导引】∵，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案．
【解析】∵，双曲线的渐近线方程是，
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，
不妨设为在第一象限，在第四象限，联立，解得，故，
联立，解得，故，，
面积为：．
双曲线，其焦距为，当且仅当取等号，的焦距的最小值：，故选B．
3．（2021·河南高三月考（理））在平面直角坐标系中，椭圆，双曲线，，分别为，上的动点，且，则的最小值为______．
【答案】
【分析】
当直线与轴重合时，求得；当直线不与轴重合时，设为，得到直线的方程为，分别联立方程组，求得，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
①当直线与轴重合时，，，此时；
②当直线不与轴重合时，设为，则直线的方程为，
联立方程组，可得，
联立方程组，可得，
则，
所以，
当时等号成立，又，所以最小值为．
4．已知椭圆的离心率为，且过点，为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）圆的一条切线与椭圆相交于、两点，求：
①的值；
②的取值范围.
【答案】（1）；（2）①；②.
【分析】
（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程；
（2）①设、，对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线斜率存在时，设切线的方程为，由切线与圆相切得到，然后将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，计算的值，在切线斜率不存在时，直接求出点、的坐标，计算的值，综合可求得结果；
②对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率存在时，可得出关于的表达式，利用基本不等式以及不等式的基本性质可得出的取值范围，在直线的斜率不存在时，求出，综合可得出的取值范围.
【详解】
（1）因为椭圆的离心率为，且过点，
则，解得，故椭圆的方程为；
（2）①设、，
当切线斜率存在时，可设该圆的切线方程为，
则，即，
联立，得，即，
则，
即，由韦达定理可得，
，
则，所以；
而当切线的斜率不存在时，切线方程为，
切线与椭圆的两个交点为、或、，满足，此时.
综上，；
②由①知，
，
①当时，，
因为，所以，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立；
当时，.
当直线的斜率不存在时，可得、或、，
所以此时.
综上，的取值范围为.
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