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第一章 空间向量与立体几何
1.1.2空间向量的数量积运算
学案
一、学习目标
1. 了解空间向量基本定理及其推论；
2. 理解空间向量的基底、基向量的概念.
二、基础梳理
1.空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得.
2.基底：如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
3.正交分解：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
三、巩固练习
1.已知点O,A,B,C为空间中不共面的四点，且向量，向量，则不能与,共同构成空间向量的一组基底的向量是( )
A. B. C. D.以上都不能
2.如图,在正方形网格中,已知A,B,C三点不共线,P为平面ABC内一定点,O为平面ABC外任意一点,则下列向量能表示向量的为( )
A. B. C. D.
3.已知直线AB,BC, 不共面，若四边形的对角线互相平分，且，则的值为( )
A.1 B. C. D.
4.在棱长为1的正方体中,E,F,G分别在棱,BC,BA上,且满足,,,O是平面、平面ACE与平面的一个公共点,设,则( )
A. B. C. D.
5.已知为空间的一组基底,若,,,且,则,,的值分别为( )
A.,, B.,1, C.,1, D.,1,
6.已知是空间的一组基底,则可以与向量,构成基底的向量是( )
A. B. C. D.
7.已知与不共线,则存在两个非零常数m,n,使是,,共面的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.在四面体中，点M在OA上，且,N为BC的点,若，则使G与M,N共线的x的值为( )
A.1 B.2 C. D.
答案以及解析
1.答案：C
解析：,与，共面，不能与，共同构成空间向量的一组基底.易知,均能与，共同构成空间向量的一组基底.故选C.
2.答案：C
解析：连接AP.根据A,B,C,P四点共面的条件，可知存在唯一的实数对，使.由图知，，故，故选C.
3.答案：D
解析：由题意，知,,不共面，四边形为平行四边形，,为空间的一组基底.,
，，,,.
4.答案：B
解析：因为的，又O在平面内，所以；同理可得.由O在平面内,易得，解得，,所以,故选B.
5.答案：A
解析：由题意，知
.又，所以，解得.
6.答案：D
解析：只有与,不共面，故可以与,构成空间的一组基底.
7.答案：A
解析：若与不共线，且存在两个非零常数m,n，使，则由共面向量定理，知,,共面.若与不共线，且与,共面，则存在唯一的一对实数m,n，使，但m,n不一定为非零常数.故选A.
8.答案：A
解析：易得.假设G,M,N三点共线，则存在实数使得，所以，解得，故选A.

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