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3.1.1 函数的概念
【考点梳理】
一、函数的定义及概念概念
1、函数的定义：设A，B是两个非空数集，
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，
在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A
【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应。
（1）特殊性：定义的集合A，B必须是两个非空数集；
（2）任意性：A中任意一个数都要考虑到；
（3）唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应；
（4）方向性：A→B
2、函数的有关概念
（1）函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
（3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
3、同一个函数
两个函数定义域相同，对应关系相同，则称为同一个函数。
二、区间及相关概念
1、一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
2、实数集R
可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，
“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
3、特殊区间的表示
定义 符号 数轴表示
≥
≤
三、求函数的定义域的依据
函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围
1、分式的分母不能为零.
2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中
奇次方根的被开方数取全体实数，即中，.
3、零次幂的底数不能为零，即中.
4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。
【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。
【题型归纳】
题型1函数定义的理解
1．下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知对应关系：，，，若，则在中的对应元素是（ ）
A．15 B．17 C． D．
3．函数与轴的交点个数为（ ）
A．至少1个 B．至多一个
C．有且只有一个 D．与有关，不能确定
题型2同一个函数的判断
4．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A．，
B．，
C． ，
D．，
5．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
6．下列各项中表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
题型3求函数的定义域
7．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
9．若函数的定义域为，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
题型4求函数值
10．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
11．函数的图象如图所示，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
12．函数，满足，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
题型5求函数的值域
13．已知函数f (x)，，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
14．函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知函数的值域为，求a的取值范围为
A． B． C． D．
【双基达标】
16．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
17．已知函数的定义域为，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
18．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
19．已知函数的定义域为(－2,0)，则的定义域为（ ）
A．(－1,0) B．(－2,0) C．(0,1) D．
20．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
21．下列函数与函数y＝x是同一函数的是（ ）
A．y＝|x| B．y＝ C．y＝ D．y＝
22．下列各组函数与的图象相同的是（ ）
A．与
B． 与
C． 与
D．与
23．若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数的解析式为，值域为的“孪生函数”共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
24．已知三次函数，且，，，则（ ）
A．2023 B．2027 C．2031 D．2035
25．下列图形能表示函数的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
26．已知函数，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
27．函数定义域为（ ）
A．[2，+∞) B．(2，+∞)
C．(2，3)∪(3，+∞) D．[2，3)∪(3，+∞)
28．函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
29．已知，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
30．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
31．已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( )
A． B． C． D．
32．函数y的定义域为（　　）
A．[﹣2，3] B．[﹣2，1）∪（1，3]
C．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞） D．（﹣2，1）∪（1，3）
33．由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于（ ）
x 1 2 3 4 5
y 4 5 3 2 1
A．1 B．2
C．4 D．5
34．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
35．函数的最大值与最小值的和是（ ）
A． B． C． D．
36．如下图可作为函数的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
37．已知函数定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
38．已知函数，则等于（ ）
A． B．1 C．2 D．3
39．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
40．（多选）集合，下列表示从到的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
41．下列选项中两个函数相等的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
42．下列四个图形中可能是函数y＝f（x）图象的是（　　）
A．B． C． D．
43．下列函数中，对任意，满足的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
44．函数的定义域是_________．
45．函数的定义域为,则的取值范围为______.
46．函数的值域是_________．
47．函数的定义域________．
48．当时，则函数的值域为______．
49．已知函数的定义域是，则函数的定义域是_______．
四、解答题
50．已知函数和，设.
（1）求函数；
（2）求和的值；
（3）求的值；
（4）若函数，试判断与是否为同一函数，并说明理由.
51．求下列函数的定义域.
（1）；
（2）.
52．已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)求的值；
(3)当时，求，的值．
53．已知函数．
(1)求，的值；
(2)由（1）中求得的结果，你发现与有什么关系？并证明你的发现；
(3)求的值．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据函数的定义判断即可.
【详解】
B中，当时，有两个值和对应，不满足函数y的唯一性，
A，C，D满足函数的定义，
故选：B
2．A
【解析】
【分析】
按照对应关系直接计算即可.
【详解】
4在中的对应元素是.
故选：A.
3．B
【解析】
【分析】
根据函数的定义，即可判断选项.
【详解】
由函数定义可知，定义域包含时，则与轴有1个交点，当定义域不包含时，则与轴无交点，所以函数与轴的交点个数为0个.
故选：B
4．C
【解析】
【分析】
根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.
【详解】
解：由题意得：
对于选项A：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误；
对于选项B：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误；
对于选项C：的定义域为，的定义域为，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；
对于选项D：的定义域为，的定义域为或，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误.
故选：C
5．B
【解析】
【分析】
通过考察函数的定义域和对应关系可得.
【详解】
A中，的定义域为，的定义域为R，故A错误；
B中，，B正确；
C中，的定义域为R，的定义域为，故C错误；
D中，的定义域为，由可得的定义域为，D错误.
故选：B
6．C
【解析】
【分析】
定义域和对应关系均相同，为同一函数.
【详解】
定义域为R，的定义域为，两者定义域不同，故A错误；
与对应关系不同，B错误；
，为同一函数，C正确；
定义域为R，定义域为，两者定义域不同，故D错误
故选：C
7．C
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质以及分数分母不为0求出函数的定义域即可.
【详解】
解：由题意得： 解得，即的定义域为.
故选：C.
8．A
【解析】
【分析】
根据求解即可
【详解】
∵的定义域为，∴，由，得，则函数的定义域为
故选：A.
9．A
【解析】
【分析】
根据给定条件，可得，再分类讨论求解作答.
【详解】
依题意，，成立，当时，成立，即，
当时，，解得，因此得，
所以的范围是.
故选：A
10．B
【解析】
【分析】
将代入计算即可作答.
【详解】
函数，所以.
故选：B
11．C
【解析】
【分析】
有图像可知，当时，，即可求解.
【详解】
有图像可知，当时，，故.
故选：C.
12．A
【解析】
【分析】
根据函数的表达式，直接由，解方程即可求出的值．
【详解】
解：∵．满足，∴，即．∴．
故选：A
13．D
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称轴和端点处的值即可求解值域.
【详解】
,对称轴,当,又因为,
所以函数的值域为.
故选:D
14．C
【解析】
【分析】
将函数分离常数后可直接求解.
【详解】
，从而可知函数的值域为.
故选：C
15．A
【解析】
【分析】
对进行讨论，然后将值域为，转换为 值域包含，计算得到答案.
【详解】
当时，的值域为，符合题意；
当时，要使的值域为，则使 .
综上，.
故答案选A
【点睛】
本题考查了函数的值域问题，意在考查学生的计算能力.
16．C
【解析】
【分析】
令，则，原函数即为：，可解决此题．
【详解】
解：令，则，
原函数即为：，
对称轴方程为，可知，
函数值域为．
故选：C．
17．C
【解析】
由计算出的取值范围，由此可计算出函数的定义域.
【详解】
对于函数，，可得，
因此，函数的定义域是.
故选：C.
18．D
【解析】
【分析】
根据解析式有意义可得关于的不等式组，其解集为函数的定义域.
【详解】
由解析式有意义可得，故，
故函数的定义域为
故选：D.
19．C
【解析】
【分析】
由题设函数的定义域，应用换元法求出的定义域，进而求的定义域即可.
【详解】
由题设，若，则，
∴对于有，故其定义域为.
故选：C
20．A
【解析】
【分析】
依次判断每个选项中两个函数的定义域和解析式是否完全相同，由此可得结果.
【详解】
对于A，与定义域均为，，与为相等函数，A正确；
对于B，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B错误；
对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误；
对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数，D错误.
故选：A.
21．B
【解析】
【分析】
通过分析四个选项中函数的定义域和对应关系可得答案.
【详解】
对于A，，对应关系不同，与函数y＝x不是同一函数；
对于B，，与函数y＝x的定义域和对应关系都相同，所以它们是同一函数；
对于C，，对应关系不同，与函数y＝x不是同一函数；
对于D，，与函数y＝x的定义域不同，所以与函数y＝x不是同一函数.
故选：B
22．D
【解析】
【分析】
若两个函数图象相同则是相等函数，分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：由可得，所以 的定义域为，由可得：或，所以的定义域为或，定义域不同不是相等函数，函数图象不相同，故选项A不正确；
对于B：的定义域为，的定义域为，定义域不同不是相等函数，函数图象不相同，故选项B不正确；
对于C：的定义域为，的定义域为，定义域不同不是相等函数，函数图象不相同，故选项C不正确；
对于D：对去绝对值可得，所以，所以与函数图象相同，故选项D正确；
故选：D.
23．C
【解析】
【分析】
列出满足条件的函数的定义域，由此可得出结论.
【详解】
满足条件的函数的定义域为、、、、、、、、，共个.
故选：C.
24．D
【解析】
【分析】
根据题意，构造函数，根据可以知道，进而代值得到答案.
【详解】
设，则，所以，所以，所以.
故选：D.
25．B
【解析】
【分析】
由函数的定义判断即可.
【详解】
由函数的定义：对于集合中任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为A→B从集合到集合的一个函数可知，只有B选项能表示函数的图象.
故选：B
26．B
【解析】
【分析】
由已知可得的定义域即函数的定义域为，令，可得答案．
【详解】
由，解得，
即的定义域是，则，
即函数的定义域为，
令，解得，
则函数的定义域为．
故选：B．
27．C
【解析】
【分析】
要使函数有意义，分母不为零，底数不为零且偶次方根被开方数大于等于零.
【详解】
要使函数有意义，
则，解得且，
所以的定义域为.
故选：C.
【点睛】
具体函数定义域的常见类型：
（1）分式型函数，分母不为零；
（2）无理型函数，偶次方根被开方数大于等于零；
（3）对数型函数，真数大于零；
（4）正切型函数，角的终边不能落在y轴上；
（5）实际问题中的函数，要具有实际意义.
28．B
【解析】
【分析】
令，则，再根据二次函数的性质求出的最大值，进而可得的范围，再计算的范围即可求解.
【详解】
令，则且
又因为，
所以，所以，
即函数的值域为，
故选：B.
29．B
【解析】
【分析】
根据题意，令，求出的值，再计算对应的值．
【详解】
，且（a），
令，
解得，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了函数的解析式以及利用函数的解析式求值的应用问题，是基础题目．
30．A
【解析】
【分析】
利用复合函数的定义及给定函数式列出不等式组，求出其解集即可作答.
【详解】
因函数的定义域为，则在函数中，
必有，解得，
所以的定义域为.
故选：A
31．A
【解析】
【分析】
利用两边之和大于第三边及边长为正数可得函数的定义域.
【详解】
由题设有，
由得，故选A.
【点睛】
本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围.
32．B
【解析】
【分析】
解不等式组即得解.
【详解】
解：由题意得，
解得﹣2≤x＜1或1＜x≤3，
故选：B．
33．B
【解析】
【分析】
根据表格提供数据计算出正确答案.
【详解】
由题意可知，f(1)＝4，f(4)＝2，∴f(f(1))＝f(4)＝2.
故选：B
34．B
【解析】
【分析】
要使函数有意义，则有，解出即可.
【详解】
要使函数有意义，则有，解得且
所以其定义域为
故选：B
35．B
【解析】
【分析】
令，可得，可知关于的方程有解，分、两种情况讨论，结合已知条件可求得的取值范围，即可得解.
【详解】
设，则有，
当时，代入原式，解得．
当时，，
由，解得，于是的最大值为，最小值为，
所以函数的最大值与最小值的和为．
故选：B.
36．D
【解析】
根据函数的概念，进行判定，即可求解.
【详解】
根据函数的概念，可知对任意的值，有唯一的值相对应，
结合选项，可得只有选项D可作为函数的图象.
故选：D.
37．A
【解析】
【分析】
直接由可得定义域.
【详解】
由题意，解得．
故选：A．
38．A
【解析】
【分析】
令，求得得值，代入，即可得出答案.
【详解】
解：令，则，
所以.
故选：A.
39．A
【解析】
【分析】
令，且，将函数转化为二次函数求解.
【详解】
令，且，
则，函数转化为
由，则，即值域为
故选：A.
【点睛】
本题主要考查函数的值域以及二次函数的值域，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.
40．ABD
【解析】
【分析】
根据函数的定义，当时，根据对应法则检验对应的函数值是否在集合B中，即可得到答案.
【详解】
由题意，集合，
对于A中，，当时，则，可得表示从到的函数；
对于B中，，当时，则，可得表示从到的函数；
对于C中，，当时，则，可得不能表示从到的函数；
对于D中，，当时，则，可得表示从到的函数.
故选：ABD
41．AD
【解析】
求出每个选项中两个函数的定义域，并化简每个选项中两个函数的解析式，利用函数相等的定义可得出合适的选项.
【详解】
对于A选项，函数、的定义域均为，且，A选项中的两个函数相等；
对于B选项，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，B选项中的两个函数不相等；
对于C选项，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，C选项中的两个函数不相等；
对于D选项，函数、的定义域均为，且对应法则也相同，D选项中的两个函数相等.
故选：AD.
42．AD
【解析】
【分析】
根据函数的定义和图象关系进行判断．
【详解】
在A，D中，对于定义域内每一个都有唯一的与之相对应，满足函数关系，
在B，C中，存在一个有两个与对应，不满足函数对应的唯一性，
故选AD.
【点睛】
本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数的定义是解决本题的关键，属于基础题.
43．ABC
【解析】
对A、B、C、D选项逐项验证即可．
【详解】
对于A，，，故满足；
对于B，，，故满足；
对于C，，，故满足；
对于D，，，故不满足；
故选：ABC.
【点睛】
本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查学生基本的运算能力，属于基本知识的考查．
44．
【解析】
【分析】
根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】
解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
45．.
【解析】
【分析】
函数的定义域为实数集即的解集为R，即无解，令判别式小于0即可.
【详解】
由函数的定义域为，
得无解，
，
解得：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查等价转化的能力、考查二次方程解的个数取决于判别式，解题时要认真审题，理清条件和要求解的量之间的关系，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查了学生化简计算的能力，是基础题.
46．．
【解析】
【分析】
求出函数定义域，结合二次函数性质可得．
【详解】
，解得或，在此条件下，．
故答案为：．
47．
【解析】
【分析】
根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．
【详解】
由可得：
解得：，且 ，
∴函数的定义域为：，
故答案为：
48．
【解析】
【分析】
利用换元法，结合反比例函数的单调性进行求解即可.
【详解】
令，因为，所以，
当时，，函数单调递减，故，
当时，即，所以，
所以函数的值域为：，
故答案为：
49．
【解析】
【分析】
令，根据函数值域的求解方法可求得的值域即为所求的的定义域.
【详解】
令，
则，
在上单调递增，，，，
的定义域为.
故答案为：.
【点睛】
思路点睛：已知的定义域，求解定义域的基本思路为：的值域即为的定义域.
50．（1）；（2）；不存在；（3）当时，；当时，不存在；（4）和不是同一函数，详见解析.
【解析】
【分析】
（1）先由的定义域可得的定义域，然后求解；
（2）把代入可得,没有意义；
（3）分类讨论与定义域的关系，可得的值；
（4）从定义域和解析式的特征进行判定.
【详解】
（1）.
∵的定义域为的定义域为，
∴的定义域为与的定义城的交集，即.
∴.
（2）∵，∴.
∵，∴不存在.
（3）当时，即当时，；
当时，即当时，不存在.
（4）和，虽然函数解析式相同，但是定义域不同，前者定义域R，后者定义域为.
所以和不是同一函数.
【点睛】
本题主要考查函数的解析式及定义域，同一函数的判定等，函数定义域是函数不可缺失的一部分，求解时应该遵循定义域优先的策略，侧重考查数学抽象的核心素养.
51．（1）且；（2）且.
【解析】
【分析】
（1）根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解；
（2）根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数有意义，则满足，即，
解得且，所以函数的定义域为且.
（2）由题意，函数有意义，则满足，即，
所以函数的定义域为且.
52．(1)且
(2)
(3)，
【解析】
【分析】
（1）由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解；
（2）直接取代入得答案；
（3）分别取及代入求解．
(1)
由题意，解得且,
函数的定义域为且.
(2)
.
(3)
，．
53．(1)，=1
(2)，证明见解析
(3)2021.5
【解析】
【分析】
（1）由解析式代入运算即可得解；
（2）代入计算，即可得解；
（3）结合（2）的结论运算即可得解.
(1)
；
．
(2)
由（1）可发现，证明如下：
当时，．
(3)
由（2）知，
所以
．
试卷第1页，共3页

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