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第3节　不等关系与不等式、一元二次不等式
　
[课标要求]　(1)等式与不等式的性质：梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．
(2)从函数观点看一元二次不等式：①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法
①a－b>0 a>b；
②a－b＝0 a＝b；
③a－b<0 a(2)作商法
①>1(a∈R，b>0) a>b(a∈R，b>0)；
②＝1(a∈R，b≠0) a＝b(a∈R，b≠0)；
③<1(a∈R，b>0) a0)．
2．不等式的性质
(1)对称性：a＞b b＜a．
(2)传递性：a＞b，b＞c a＞c．
(3)可加性：a＞b a＋c＞b＋c；
　 a＞b，c＞d a＋c＞b＋d．
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd．
(5)可乘方：a＞b＞0 an＞bn(n∈N，n≥2)．
(6)可开方：a＞b＞0 ＞(n∈N，n≥2)．
3．一元二次不等式
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
4．三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
5．(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式 解集
ab
(x－a)·(x－b)>0 {x|xb} {x|x≠a} {x|xa}
(x－a)·(x－b)<0 {x|a(一)必背常用结论
1．倒数性质的几个必备结论
(1)a＞b，ab＞0 ＜；
(2)a＜0＜b ＜；
(3)a＞b＞0，0＜c＜d ＞；
(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0 ＜＜．
2．两个重要不等式
若a＞b＞0，m＞0，则：
(1)＜；＞(b－m＞0)；
(2)＞；＜(b－m＞0)．
(二)盘点易错易混
1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，因为不讨论这个数的正负而致错．
2．解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论．
3．求解分式不等式时注意正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0．
【小题热身】
1．若M＝(x－3)2，N＝(x－2)(x－4)，则有(　　)
A．M>N B．M≥N
C．M解析：因为M－N＝(x－3)2－(x－2)(x－4)＝1>0，所以M>N．
答案：A
2．设bA．a－cC．a＋c>b＋d D．a＋d>b＋c
解析：由同向不等式具有可加性可知C正确．
答案：C
3．[易错题]不等式≤0的解集是(　　)
A．(－∞，1)∪[3，＋∞)
B．(－∞，1]∪(3，＋∞)
C．[1，3)
D．[1，3]
解析：不等式≤0，等价于
解得1≤x＜3，所以不等式的解集是[1，3)．
答案：C
4．若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－2，3)，则a＋b＝________．
解析：∵x1＝－2，x2＝3是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，∴解得∴a＋b＝0．
答案：0
5．[易错题]对于任意实数x，不等式mx2＋mx－1<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：当m＝0时，mx2＋mx－1＝－1<0，不等式恒成立；
当m≠0时，由解得－4综上，m的取值范围是(－4，0]．
答案：(－4，0]
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__不等式的性质及应用[多维讲练]
高考对不等式性质的考查主要为客观题，难度中等，考查利用不等式性质比较大小，判断不等式的真假等．
角度1　比较大小
【例1】(1)(2022·首都师范大学附属中学月考)设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则M与N的大小关系是(　　)
A．M>N B．M≥N
C．M解析：因为M－N＝2a(a－2)＋7－(a－2)(a－3)＝a2＋a＋1＝＋>0，所以M>N．
答案：A
(2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为______________．
解析：＝＝，
又0<<1，0<π－e<1，
∴<1，即<1，即eπ·πe答案：eπ·πe[思维升华]　比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
角度2　判断不等式的正误
【例2】(1)(2022·江西贵溪市模拟)如果a>b，那么下列说法正确的是(　　)
A．ac>bc B．ac2C．ac＝bc D．b－a<0
解析：因为a>b，不等式两边同时减去a得0>b－a，D正确，若c＝0，则AB错误，若c≠0，C错误．
答案：D
(2)(多选)若<<0，则下列不等式正确的是(　　)
A．< B．|a|＋b>0
C．a－>b－ D．ln a2>ln b2
解析：由<<0，可知bA中，因为a＋b<0，ab>0，所以<0，>0．故有<，即A正确；
B中，因为b－a>0．故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B错误；
C中，因为b－>0，所以a－>b－，故C正确；
D中，因为ba2>0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b2>ln a2，故D错误．
答案：AC
[思维升华]　判断不等式正误的常用方法
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．
(2)利用特殊值法排除错误答案．
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较．
角度3　利用不等式的性质证明简单不等式
【例3】设a＞b＞c，求证：＋＋＞0．
证明：∵a＞b＞c，∴－c＞－b．
∴a－c＞a－b＞0，∴＞＞0．∴＋＞0．又b－c＞0，∴＞0．
∴＋＋＞0．
[思维升华]　(1)运用不等式性质解决问题时，必须注意性质成立的条件．
(2)同向不等式的可加性与可乘性可推广到两个以上的不等式．
[对点练]　1．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．c≥b>a B．a>c≥b
C．c>b>a D．a>c>b
解析：∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b．
又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，
∴b－a＝a2－a＋1＝＋>0，
∴b>a，∴c≥b>a．
答案：A
2．(2021·宁夏银川二模)已知a>b，下列不等式一定成立的是(　　)
A．< B．ln (a－b)>0
C．|a|>|b| D．a3>b3
解析：当a＝1，b＝－2时，A、C均不成立；
当a＝1，b＝0时，ln (a－b)＝ln 1＝0，B不成立；
由于函数f(x)＝x3在R上单调递增，且a>b，所以a3>b3，故D正确．
答案：D
3．若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞．
证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0．
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0．
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0．
∴0＜＜．
又∵e＜0，∴＞．
考点2__一元二次不等式的解法[多维讲练]
一元二次不等式的解法常见的有两类，不含参的和含参的．不含参的一元二次不等式解法常与集合、函数等综合考查，难度较小；含参的一元二次不等式则需要对参数分类讨论，难度中等．考查逻辑推理和数学运算的素养．
角度1　常系数一元二次不等式的解法
【例4】(1)(2021·山东烟台模拟)已知集合A＝，B＝{x|x2－5x－14>0}，则A∩( RB)＝(　　)
A．[2，7] B．[－，2)
C．[－2，) D．
(2)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________________．
解析：(1)∵5－x2>0，∴－0，∴x>7或x<－2，∴ RB＝{x|－2≤x≤7}，∴A∩( RB)＝[－2，)．
(2)由不等式ax2－bx－1>0的解集是，
∴－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个实数根且a<0．
∴解得
∴不等式x2－bx－a≥0可化为x2－5x＋6≥0，
解得x≤2或x≥3，
即不等式x2－bx－a≥0的解集为(－∞，2]∪[3，＋∞)．
答案：(1)C　(2)(－∞，2]∪[3，＋∞)
[思维升华]　解一元二次不等式的一般步骤
[对点练]　1．已知函数f(x)＝
解不等式f(x)>3；
解：由题意得或解得x>1．
故原不等式的解集为{x|x>1}．
角度2　含参数的一元二次不等式的解法
【例5】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
解析：原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以(x－1)<0．
所以当a>1时，解得当a＝1时，解集为 ；
当0综上，当0当a＝1时，不等式的解集为 ；
当a>1时，不等式的解集为．
[思维引申]　在本例中，把a>0改成a∈R，解不等式．
解：当a>0时，同例5，
当a＝0时，原不等式等价于－x＋1<0，即x>1，
当a<0时，<1，原不等式可化为(x－1)>0，
解得x>1或x<．
综上，当0当a＝1时，不等式的解集为 ，
当a>1时，不等式的解集为，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}，
当a<0时，不等式的解集为．
[思维升华]　解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；
(2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；
(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集．
[对点练]　2．(2021·湖南六校联考)已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2－ax>a2．
解：∵12x2－ax>a2，
∴12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0．
令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝．
①当a>0时，－<，
解集为；
②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
③当a<0时，－>，
解集为．
综上所述，当a>0时，不等式的
解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a<0时，不等式的
解集为．
角度3　分式不等式的解法
【例6】已知全集U＝R，集合A＝{x||x－1|<1}，B＝，则A∩＝(　　)
A．{x|1C．{x|1≤x<2} D．{x|1≤x<4}
解析：由题意得A＝{x||x－1|<1}＝{x|－1答案：C
[思维升华]　简单分式不等式的解法
(1)≥0 f(x)g(x)≥0，g(x)≠0．
(2)＞0 f(x)g(x)＞0．
[对点练]　3．不等式≤2的解集为__________．
解析：由≤2，得≥0，解得x>或x≤．
答案：∪
考点3__一元二次不等式的恒成立问题[多维讲练]
对一元二次不等式的恒成立问题的考查常有以下几种形式：(1)在R上恒成立；(2)在给定区间上恒成立；(3)给定参数范围的恒成立．处理此类问题的常用方法有：①分参法；②函数法；③变换主元法．
角度1　在R上的恒成立问题
【例7】若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．[－2，2]
C．(－2，2] D．(－∞，－2)
解析：当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4＜0，对一切x∈R恒成立．
当a≠2时，则
即解得－2＜a＜2．
所以实数a的取值范围是(－2，2]．
答案：C
[思维升华]　一元二次不等式在R上恒成立的条件
(1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)对任意实数x恒成立
(2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)对任意实数x恒成立
注意：只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况．
角度2　在给定区间上的恒成立问题
【例8】[一题多法]已知函数f(x)＝mx2－mx－1．若对于x∈[1，3]，f(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围．
解：要使f(x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，
只需m＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立，
有以下两种方法：
法一　令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3]．
当m>0时，g(x)在[1，3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)，则g(3)＝7m－6<0，
所以m<，所以0当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1，3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)，则g(1)＝m－6<0，
所以m<6，所以m<0．
综上所述，m的取值范围是．
法二　若使m(x2－x＋1)－6<0在x∈上恒成立，而x2－x＋1＝＋>0，所以只需m<．
因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以m的取值范围是．
[思维引申]　1．若将“f(x)<5－m恒成立”改为“f(x)<5－m无解”，如何求m的取值范围？
解：若f(x)<5－m无解，则f(x)≥5－m恒成立，
即m≥恒成立．
因为函数y＝在[1，3]上的最大值为6，
所以只需m≥6，即m的取值范围为[6，＋∞)．
2．若将“f(x)<5－m恒成立”改为“存在x，使f(x)<5－m成立”，如何求m的取值范围？
解：由题意知f(x)<5－m有解，即m<有解，
则m<．
又x∈[1，3]，得m<6，即m的取值范围为(－∞，6)．
[思维升华]　给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)函数法：若f(x)>0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围．
(2)分参法：转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a，即n≤a．
角度3　给定参数范围的恒成立问题
【例9】(一题多法)若不等式x2＋px＞4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　)
A．[－1，3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析：法一(特殊值法)　当x＝－1时，由x2＋px＞4x＋p－3，得p＜4，故x＝－1不符合条件，排除A、B；
当x＝3时，由x2＋px＞4x＋p－3，得p＞0，故x＝3不符合条件，排除C．
法二(转换变元法)　不等式变为(x－1)p＋x2－4x＋3＞0，当0≤p≤4时恒成立，
所以
即解得x＜－1或x＞3．
答案：D
[思维升华]　给定参数范围的恒成立问题解法
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
[对点练]　1．(2021·吉林长岭三模)若不等式x2－ax≥16－3x－4a对任意a∈成立，则x的取值范围为(　　)
A．∪
B．∪
C．
D．
解析：由题得不等式(x－4)a－x2－3x＋16≤0对任意a∈成立，
所以
即
解得x≥3或x≤－8．
答案：A
2．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意的x∈都有f(x)<0，则实数m的取值范围为______________．
解析：因为函数f(x)＝x2＋mx－1的图象开口向上的抛物线，所以要使对于任意的x∈都有f(x)<0成立，
解得－所以实数m的取值范围为．
答案：
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养
一元二次方程根的分布问题
设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为x1，x2，且x1表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)
分布情况 两个负根即两根都小于0(x1<0，x2<0) 两个正根即两根都大于0(x1>0，x2>0) 一正根一负根即一个根小于0，一个根大于0(x1<0大致图象(a>0)
得出的结论 f(0)<0
大致图象(a<0)
得出的结论 f(0)>0
综合结论(不讨论a) a·f(0)<0
表二：(两根与k的大小比较)
分布情况 两根都小于k即x1k，x2>k 一个根小于k，一个根大于k即x1大致图象(a>0)
得出的结论 f(k)<0
大致图象(a<0)
得出的结论 f(k)>0
综合结论(不讨论a) a·f(k)<0
表三：(根在区间上的分布)
分布情况 两根都在(m，n)内 两根有且仅有一根在(m，n)内(图象有两种情况，只画了一种) 一根在(m，n)内，另一根在(p，q)内，m大致图象(a>0)
得出的结论 f(m)·f(n)<0 或
大致图象(a<0)
得出的结论 f(m)·f(n)<0 或
综合结论(不讨论a) __________ f(m)·f(n)<0
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1n，(图形分别如下)需满足的条件是
(1)a>0时，
(2)a<0时，
对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m，n)内有以下特殊情况：
①若f(m)＝0或f(n)＝0，则此时f(m)·f(n)<0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m，n)内，从而可以求出参数的值．如方程mx2－(m＋2)x＋2＝0在区间(1，3)上有一根，因为f(1)＝0，所以mx2－(m＋2)x＋2＝(x－1)(mx－2)，另一根为，由1<<3得②方程有两个相等的根，且这个根在区间(m，n)内，即Δ＝0，此时由Δ＝0可以求出参数的值，然后再将参数的值代入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数．如方程x2－4mx＋2m＋6＝0有且只有一根在区间(－3，0)内，求m的取值范围．分析：①由f(－3)·f(0)<0即(14m＋15)(m＋3)<0得出－3【例1】已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，求实数m的取值范围．
解：设f(x)＝(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)，
由(2m＋1)·f(0)<0，即(2m＋1)(m－1)<0，
解得－【例2】已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不等正实根，求实数m的取值范围．
解：设f(x)＝2x2－(m＋1)x＋m，
由

03＋2，
即m的取值范围为(0，3－2)∪(3＋2，＋∞)．
[思维升华]　处理一元二次方程根的分布问题的关键是利用数形结合思想以及三个二次的关系，结合二次函数的图象，找出两根满足的制约条件．凸显直观想象、数学运算的核心素养．
[对点练]　1．已知二次函数f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．
解：由(m＋2)·f(1)<0，
即(m＋2)·(2m＋1)<0 －2即m的取值范围为．
2．k取何值时，一元二次方程kx2＋3kx＋k－3＝0的两根为负．
解： ∴k≤－或k>3．
3．k取何值时，一元二次方程kx2＋3kx＋k－3＝0有一正根和一负根．
解：由a·f(0)<0得k(k－3)<0，∴04．已知方程x2－11x＋m－2＝0的两根都大于1，求m的取值范围．
解： ∴125．若方程x2＋(k＋2)x－k＝0的两实根均在区间(－1，1)内，求k的取值范围．
解：∴－4＋2课下巩固培优卷(三)
【A/基础巩固题组】
1．已知a∈R，p＝a2－4a＋5，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为(　　)
A．p≤q B．p≥q
C．pq
解析：因为p－q＝a2－4a＋5－(a－2)2＝1>0，所以p>q，故选D．
答案：D
2．已知a>b，c>d，则下列关系式正确的是(　　)
A．ac＋bd>ad＋bc B．ac＋bdC．ac>bd D．ac解析：对于A、B：∵a>b，c>d，∴ac＋bd－(ad＋bc)＝(a－b)(c－d)>0，故A正确，B错误；
对于C：当b＝0，c<0时，ac<0，bd＝0，故C错误；
对于D：当a>b>0，c>d>0时，ac>bd，故D错误；
答案：A
3．不等式2x2－x－3>0的解集是(　　)
A．
B．(－∞，－1)∪
C．
D．∪(1，＋∞)
解析：2x2－x－3>0可化为(x＋1)(2x－3)>0，
解得x>或x<－1，所以不等式2x2－x－3>0的解集是(－∞，－1)∪．
答案：B
4．设a，b是实数，则“>”是“a2>ab”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由>可得a>b≥0，然后可得a>0，即a2>ab．
当a＝－2，b＝－1时，满足a2>ab，但不满足>，
所以“>”是“a2>ab”的充分不必要条件．
答案：A
5．存在x∈，使得关于x的不等式－x2－mx－4<0有解，则m的取值范围为(　　)
A．m>－4 B．m<－4
C．m>－5 D．m<－5
解析：由－x2－mx－4<0有解，可得m>．因为x∈时，－∈，
所以m>－5．
答案：C
6．(多选)下列四个结论中正确的有(　　)
A．不等式2x2－x－1＞0的解集是{x|x＞2或x＜1}
B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是
C．若不等式ax2＋8ax＋21＜0的解集是{x|－7＜x＜－1}，则a的值是3
D．关于x的不等式x2＋px－2＜0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－1
解析：由2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－，所以不等式的解集为，故A项错误；因为－6x2－x＋2≤0，所以6x2＋x－2≥0，所以(2x－1)(3x＋2)≥0，所以x≥或x≤－，故B项正确；由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两根，所以－7×(－1)＝，所以a＝3，故C项正确；依题意可知，q，1是方程x2＋px－2＝0的两根，所以q＋1＝－p，即p＋q＝－1，故D项正确．
答案：BCD
7．不等式ax2＋x＋1＞0的解集为(m，1)，则m＋a＝________．
解析：由不等式ax2＋x＋1＞0的解集为(m，1)，得x＝1是方程ax2＋x＋1＝0的根，即a＋1＋1＝0，解得a＝－2，则不等式为－2x2＋x＋1＞0，解得－＜x＜1，则有m＝－，则有m＋a＝－．
答案：－
8．设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是______________．
解析：＝·＝·≤81×＝27，
当且仅当＝9，xy2＝3，即x＝3，y＝1时等号成立．
答案：27
9．已知二次函数f(x)的最小值为3，且f(1)＝f(3)＝5．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若y＝f(x)的图象恒在直线y＝2x＋2m＋1的上方，求实数m的取值范围．
解：(1)因为二次函数f(x)中f(1)＝f(3)，所以对称轴为x＝2．
又二次函数f(x)的最小值为3，故可设f(x)＝a(x－2)2＋3(a>0)，
所以f(1)＝a(1－2)2＋3＝a＋3＝5 a＝2，
所以f(x)＝2(x－2)2＋3＝2x2－8x＋11．
(2)y＝f(x)的图象恒在直线y＝2x＋2m＋1的上方，
等价于2x2－8x＋11>2x＋2m＋1即m因为y＝x2－5x＋5＝－≥－，
所以m<－，即实数m的取值范围为．
【B/能力提升题组】
10．(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是(　　)
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B．若ab＞0，bc－ad＞0，则－＞0
C．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c
D．若a＞b，c＞d＞0，则＞
解析：若a＞0＞b，0＞c＞d，则ac＜0＜bd，故A错；若ab＞0，bc－ad＞0，则＞0，化简得－＞0，故B对；若c＞d，则－d＞－c，又a＞b，所以a－d＞b－c，故C对；取a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，＝－1，＝，故D错．故选BC．
答案：BC
11．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则a的取值范围是(　　)
A．(－3，5) B．(－2，4)
C．[－3，5] D．[－2，4]
解析：关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0．当a>1时，不等式的解集为(1，a)；当a<1时，不等式的解集为(a，1)．要使得解集中至多包含2个整数，则a≤4且a≥－2．又当a＝1时，不等式的解集为 ，符合题意．所以a的取值范围是[－2，4]，故选D．
答案：D
12．(多选)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，则(　　)
A．a2－b2≤4
B．a2＋≥4
C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0
D．若不等式x2＋ax＋b解析：因为f(x)＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，故可得Δ＝a2－4b＝0，即a2＝4b>0．
对于A，a2－b2≤4等价于b2－4b＋4≥0，显然(b－2)2≥0，故A正确；
对于B，a2＋＝4b＋≥2＝4，当且仅当4b＝>0，即b＝时，等号成立，故B正确；
对于C，因为不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，故x1x2＝－b<0，故C错误；
对于D，因为不等式x2＋ax＋b答案：ABD
13．若对任意m∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，则x的取值范围是______________．
解析：f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4．令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
由题意知在[－1，1]上，g(m)的值恒大于零，
∴
x<1或x>3．
答案：(－∞，1)∪(3，＋∞)