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第4节　基本不等式　
[课标要求]　掌握基本不等式≤(a>0，b>0)．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．基本不等式：对于任意的正实数a，b，≤．
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤(a，b∈R)．
(4)≥(a，b∈R)．
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)
盘点易错易混
1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可，忽略某个条件就会致错．
2．同一题目中要避免多次使用基本不等式，若必须连续使用基本不等式求最值时，要求每次等号成立的条件一致．
【小题热身】
1．已知x>0，y>0，xy＝16，则x＋y的最小值为(　　)
A．32 B．24
C．4 D．8
解析：由基本不等式得x＋y≥2＝8，当且仅当x＝y＝4时等号成立．
答案：D
2．若x＞0，则x＋(　　)
A．有最大值，且最大值为4
B．有最小值，且最小值为4
C．有最大值，且最大值为2
D．有最小值，且最小值为2
解析：x＞0时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时等号成立．故选B．
答案：B
3．当x>1时，关于函数f(x)＝x＋，下列叙述正确的是(　　)
A．函数f(x)有最小值2
B．函数f(x)有最大值2
C．函数f(x)有最小值3
D．函数f(x)有最大值3
解析：f(x)＝x＋＝x－1＋＋1
≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，
即x＝2时取等号．故选C．
答案：C
4．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2．
解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m，
由题知0＜x＜10，则面积S＝x(10－x)≤＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m时面积取到最大值25 m2．
答案：25
5．[易错题]当x≥2时，x＋的最小值为________．
解析：设x＋2＝t，则x＋＝t＋－2．又由x≥2得t≥4，而函数y＝t＋－2在[2，＋∞)上是增函数，因此当t＝4，即x＝2时，t＋－2即x＋取得最小值，最小值为4＋－2＝3．
答案：3
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__利用基本不等式求最值[典例引领]
【例1】(1)已知0解析：x(3－2x)＝·2x(3－2x)≤·＝，
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号．
答案：
(2)已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为________．
解析：＝＝
·＝5＋2≥5＋4＝9．当且仅当a＝b＝时，取等号．
答案：9
(3)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
解析：法一(换元消元法)
由已知得9－(x＋3y)＝·x·3y≤·，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号．
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，
得t≥6，即x＋3y的最小值为6．
法二(代入消元法)
由x＋3y＋xy＝9，得x＝，
所以x＋3y＝＋3y＝
＝＝
＝3(1＋y)＋－6≥2 －6
＝12－6＝6，
当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号，
所以x＋3y的最小值为6．
答案：6
[思维引申](1)(变问法)若本例(2)中的条件不变，则＋的最小值为________．
解析：因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立．
答案：4
(2)(变条件)若本例(2)中条件变为已知a>0，b>0，4a＋b＝4，则的最小值为__________．
解析：由4a＋b＝4得a＋＝1，
＝
＝
＝＋＋＋≥＋2＝＋．当且仅当4a＝b时取等号．
答案：＋
[思维升华]　(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式求解．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
[对点练]　1．已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________．
解析：因为3a＋b＝2ab，所以＋＝1，又a>0，b>0，故a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋，当且仅当＝时取等号时，a＋b的最小值为2＋．
答案：2＋
2．已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．
解析：因为x＜，所以5－4x＞0，
则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝－2＋3＝1．
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．
故f(x)＝4x－2＋的最大值为1．
3．若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是________________．
解析：因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，所以y＝．由即解得0答案：
4．已知a>b>0，那么a2＋的最小值为________．
解析：由a>b>0，得a－b>0，
∴b(a－b)≤＝．
∴a2＋≥a2＋≥2＝4，
当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号．
∴a2＋的最小值为4．
答案：4
考点2__基本不等式的综合应用[典例引领]
【例2】(1)(2021·辽宁葫芦岛二模)在△ABC中，点P满足2＝，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若＝x，＝y，则2x＋y的最小值为(　　)
A．3 B．3
C．1 D．
[思维点拨]　由向量加减的几何意义可得＝＋，结合已知有＝＋，根据三点共线知＋＝1，应用基本不等式“1”的代换即可求最值，注意等号成立的条件．
解析：由题设，如下图所示：＝＋＝＋＝＋＝＋，又＝x，＝y，
∴＝＋，由M，P，N三点共线，有＋＝1，
∴2x＋y＝(2x＋y)＝＋＋≥＋2＝3，当且仅当x＝y时等号成立．
答案：A
(2)若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
解析：设y＝．若对任意x＞0，≤a恒成立，只需a≥ymax．
因为x＞0，
所以y＝＝≤＝，当且仅当x＝1时取等号．
所以a的取值范围是．
答案：
[思维升华]　(1)当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．
(2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围．
[对点练]　1．(2021·安徽安庆一中三模)已知a>0，b>0，直线l1：x＋(a－4)y＋1＝0，l2：2bx＋y－2＝0，且l1⊥l2，则＋的最小值为(　　)
A．2 B．4
C． D．
解析：因为l1⊥l2，所以2b＋a－4＝0，即a＋1＋2b＝5，
因为a>0，b>0，所以a＋1>0，2b>0，
所以＋＝＋＋1＝×(a＋1＋2b)＋1＝＋1
≥＋1＝＋1＝，
当且仅当a＝，b＝时，等号成立．
答案：D
2．已知x>0，y>0，且＝1，不等式＋≥m恒成立，则实数m的取值范围是__________．
解析：不等式＋≥m恒成立可转化为≥m．
由＝1，得2y＋3x＝xy，即＋＝1．
因为x>0，y>0，所以＋＝＝＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当即时取等号，所以＝4．
故实数m的取值范围是(－∞，4]．
答案：(－∞，4]
考点3__利用基本不等式解决实际问题[典例引领]
【例3】经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费(元)关于每次订货(单位)的函数关系T(x)＝＋，其中A为年需求量，B为每单位物资的年存储费，C为每次订货费．某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6 000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2 500元．
(1)若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；
(2)每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？
解：(1)由题意可得A＝6 000，B＝120，C＝2 500，所以存储成本费T(x)＝60x＋．
若该化工厂每次订购300吨甲醇，所以年存储成本费为T(300)＝60×300＋＝68 000(元)．
(2)因为存储成本费T(x)＝60x＋，x>0，
所以T(x)≥2＝60 000，
当且仅当60x＝，即x＝500时，取等号．
所以每次需订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为60 000元．
[思维升华]　(1)数学建模是利用数学工具解决实际问题的重要手段，其关键在于把实际应用问题转化为数学问题．
(2)解决实际应用问题时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数，根据实际问题抽象出形如f(x)＝g(x)＋(k>0)的解析式，然后利用基本不等式求解．
[对点练]　(2022·河北唐山一中模拟)某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m2．设总造价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m)．S的最小值是____________，此时x的值是__________．
解析：由题意，AM＝，又AM>0，有0S＝4 200x2＋210×＋80×2×，
S＝4 200x2＋42 000－210x2
＋，
S＝4 000x2＋＋38 000≥
2＋38 000＝80 000＋38 000＝118 000．
当且仅当4 000x2＝，即x＝时，等号成立，
所以当x＝，S最小且最小值为118 000．
答案：118 000　　
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养
柯西不等式
柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy，1789－1857)发现的，故命名为柯西不等式．柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果．
1．(柯西不等式的代数形式)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
当且仅当ad＝bc时，等号成立．
推广一般情形：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2
(当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立)．
2．(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时等号成立．
3．(柯西不等式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3为任意实数，则：
＋≥
．
一、利用柯西不等式求最值
【例1】(1)已知x>0，y>0，＋y2＝1，则x＋y的最大值是______．
解析：由柯西不等式得≥＝，
所以1×2≥，当＝y，即x＝，y＝时等号成立．
所以＋y≤，即x＋y的最大值是2．
答案：2
(2)已知x，y满足x＋3y＝4，则4x2＋y2的最小值为________．
解析：(x＋3y)2≤(4x2＋y2)，
所以4x2＋y2≥16×＝，
当且仅当y＝12x时，等号成立，
所以4x2＋y2的最小值为．
答案：
(3)函数y＝2＋的最大值为______．
解析：∵y＝2＋＝＋＋≤·
＝，
当且仅当＝，即x＝时等号成立，∴函数y的最大值为．
答案：
二、利用柯西不等式证明不等式
【例2】(1)已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1＋a2b2)·≥(a1＋a2)2．
证明：(a1b1＋a2b2)
＝[()2＋()2]≥＝(a1＋a2)2．当且仅当b1＝b2时，等号成立．
(2)已知a1，a2，…，an都是实数，求证：(a1＋a2＋…＋an)2≤a＋a＋…＋a．
证明：根据柯西不等式，有(12＋12＋…＋1 (a＋a＋…＋a)≥(1×a1＋1×a2＋…＋1×an)2，
所以(a1＋a2＋…＋an)2≤a＋a＋…＋a．
[思维升华]　利用柯西不等式求最值和证明不等式，关键是将条件转化为柯西不等式的结构形式．
[对点练]　1．函数y＝2＋的最大值为______．
解析：由题意，函数y＝2＋＝×＋1·
≤·＝×＝3，
当且仅当·1＝·取等号，即2－2x＝4x＋2，即x＝0时取等号，
所以函数的最大值为3．
答案：3
2．已知3x2＋2y2＝6，则2x＋y的最大值为______．
解析：令a1＝x，a2＝y，b1＝，b2＝
代入柯西不等式(a1b1＋a2b2)2≤(a＋a)(b＋b)，
∴(2x＋y)2≤(3x2＋2y2)≤6×＝11，
∴－≤2x＋y≤，
∴2x＋y的最大值为．
答案：
3．已知ai>0，且a1＋a3＝1，a2＋a5＝2，a4＋a6＝3，证明：
(1)≥7＋2．
(2)＋＋<7．
解：(1)因为a1＋a3＝1，
所以＝
＝
＝7＋＋≥7＋2＝7＋2．
当且仅当＝，即a1＝－2，a3＝3－时取等号．
(2)由柯西不等式得：
≥，
所以＋＋
≤
＝＝，
当且仅当＝＝时，取等号．
＋＋≤<7．
课下巩固培优卷(四)
【A/基础巩固题组】
1．下列不等式一定成立的是(　　)
A．lg >lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|
D．＜1
解析：当x＞0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg ≥lg x(x＞0)，故A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，当x≠kπ，k∈Z时，
sin x的正负不定，故B不正确；显然C正确；当x＝0时，有＝1，D不正确．
答案：C
2．已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，则xy(　　)
A．有最大值1 B．有最小值1
C．有最大值 D．有最小值
解析：因为x>0，y>0，x＋2y＝2，所以x＋2y≥2，即2≥2，xy≤，当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时，等号成立．所以xy有最大值，且最大值为．
答案：C
3．已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．9
解析：因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以＋＝＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a＝时等号成立．
答案：D
4．[一题多法]若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：法一　由于a＋b＝ab≤，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B．
法二　由题意，得＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B．
法三　由题意知a＝(b>1)，所以a＋b＝＋b＝2＋b－1＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号．
答案：B
5．已知f(x)＝(x＞0)，则f(x)的最小值是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：f(x)＝＝＝x＋1＋＋1，
因为x＞0，所以x＋1＞0，则x＋1＋＋1≥2＋1＝5(当且仅当x＋1＝，即x＝1时取“＝”)，故f(x)的最小值是5．故选D．
答案：D
6．(多选)(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　)
A．a2＋b2≥ B．2a－b>
C．log2a＋log2b≥－2 D．＋≤
解析：因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以a＋b≥2，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，即有ab≤．
对于A，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故A正确；
对于B，2a－b＝22a－1＝×22a，
因为a>0，所以22a>1，即2a－b>，故B正确；
对于C，log2a＋log2b＝log2ab≤log2＝－2，故C错误；
对于D，由(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤2，
得＋≤，故D正确．
答案：ABD
7．已知a>0，b>0，若直线(a－1)x＋2y－1＝0与直线x＋by＝0互相垂直，则ab的最大值是________．
解析：由两条直线互相垂直得(a－1)×1＋2b＝0，即a＋2b＝1，又a>0，b>0，所以ab＝(a·2b)≤＝，当且仅当a＝，b＝时取等号．故ab的最大值是．
答案：
8．李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A商品获利8元．现计划在“五一”期间对A商品进行广告促销，假设售出A商品的件数m(单位：万件)与广告费用x(单位：万元)符合函数模型m＝3－．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入______万元．
解析：设李明获得的利润为f万元，则x≥0，则f＝8m－x＝8－x＝24－－x＝25－≤25－2＝25－8＝17，当且仅当x＋1＝，因为x≥0，即当x＝3时，等号成立．
答案：3
9．(1)当x＜时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设0＜x＜2，求函数y＝的最大值．
解：(1)y＝(2x－3)＋＋＝－＋．当x＜时，有3－2x＞0，∴＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－．
(2)∵0＜x＜2，∴2－x＞0，
∴y＝＝·≤·＝，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，
∴当x＝1时，函数y＝的最大值为．
【B/能力提升题组】
10．(多选)(2021·山东菏泽二模)已知a>b>0，a＋b＝1．则下列结论正确的有(　　)
A．a＋的最大值为
B．22a＋22b＋1的最小值为4
C．a＋sin b<1
D．b＋ln a>0
解析：因为a>b>0，a＋b＝1，所以0对于A：a＋＝1－b＋＝－＋，当＝，即b＝时，有最大值，而0对于B：22a＋22b＋1≥2＝2＝2＝4，当且仅当22a＝22b＋1，即当a＝，b＝时取等号，所以B正确；
对于C：因为a＋b＝1，所以a＝1－b，所以a＋sin b＝1－b＋sin b，设h(b)＝1－b＋
sin b，0则h′(b)＝－1＋cos b<0，
所以h(b)在上递减，所以h(b)对于D：设g(a)＝ln a＋1－a，g′(a)＝－1>0，
所以g(a)在为增函数，
所以g所以ln a＋1－a<0，即b＋ln a<0，所以D错误．
答案：BC
11．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，P为线段AB上的一点，且＝x·＋y·，则＋的最小值为(　　)
A． B．
C．＋ D．＋
解析：因为CA＝3，CB＝4，即||＝3，||＝4，
所以＝x·＋y·＝＋，因为P为线段AB上的一点，即P，A，B三点共线，
所以＋＝1(x＞0，y＞0)，
所以＋＝·＝＋＋≥＋2＝＋，
当且仅当＝时等号成立，所以＋的最小值为＋，故选C．
答案：C
12．已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是__________．
解析：对任意x∈N*，f(x)≥3，
即≥3恒成立，即a≥－＋3．
设g(x)＝x＋，x∈N*，则g(x)＝x＋≥4，
当x＝2时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝，
∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝．∴－＋3≤－，
∴a≥－，故a的取值范围是．
答案：
13．正实数x，y满足4x2＋y2＋xy＝1，则xy的最大值为________；2x＋y的最大值为________．
解析：∵1－xy＝4x2＋y2≥4xy，
∴5xy≤1，∴xy≤，当且仅当y＝2x时取等号，
∵4x2＋y2＋xy＝1，
∴(2x＋y)2－3xy＝1，
∴(2x＋y)2－1＝3xy＝·2x·y≤，
即(2x＋y)2－1≤(2x＋y)2，
∴(2x＋y)2≤，∴2x＋y≤，
当且仅当2x＝y时，取等号．
答案：　
14．
如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C．已知AB＝3米，AD＝2米．
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，请问AN的长应在什么范围；
(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小，并求出最小面积．
解：(1)设AN＝x(x>2)，
则由＝，得|AM|＝，
所以S AMPN＝·＝．
由S AMPN>32，得>32．
又x>2，所以3x2－32x＋64>0，
解得28．
所以AN的长度的取值范围为∪．
(2)因为S AMPN＝
＝
＝3(x－2)＋＋12≥2＋12＝24，
当且仅当3(x－2)＝，即x＝4时，等号成立．
所以当AN的长度是4 m时，矩形AMPN的面积最小，最小值为 24 m2．

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