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第一章　集合、常用逻辑用语及不等式
第1节　集　合　
[课标要求]　(1)集合的概念与表示：①通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；②针对具体问题能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；③在具体情境中了解全集与空集的含义；
(2)集合的基本关系：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
(3)集合的基本运算：①理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；③能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或 表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
2．集合间的基本关系
表示关系 自然语言 符号语言 Venn图
子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A B(或B A)
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 A B(或B A)
集合相等 集合A，B中元素相同 A＝B
3．集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形语言
符号语言 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} A∩B＝{x|x∈A且x∈B} UA＝{x|x∈U且x A}
4．集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A．
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A．
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A．
（一）必背常用结论
1．对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2．
2．A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB．,3． U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB），, U（A∪B）＝（ UA）∩（ UB）．
（二）盘点易错易混
1．忽视集合中元素的互异性致误；
2．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义，抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}表示函数的定义域；{y|y＝lg x}表示函数的值域；{（x，y）|y＝lg x}表示函数图象上的点集．
3．遇到A∩B＝ 时，你是否注意到“极端”情况：A＝ 或B＝ ；同样在应用条件A∪B＝B A∩B＝A A B时，不要忽略A＝ 的情况．
4．注意真子集与子集的区别．
【小题热身】
1．设集合A＝，B＝，则A∩B＝(　　)
A．{1，2} B．{1，2，3} C．{2，3} D．{0，1，2，3}
解析：由题意，集合A＝
＝，又由B＝，根据集合交集的概念及运算，可得A∩B＝{1，2，3}．
答案：B
2．已知集合A＝{x∈N∣x2－6x＋8≤0}，则A的真子集个数是(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：因为A＝
＝＝，所以A的真子集个数是23－1＝7．
答案：C
3．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>2}，则 UA＝(　　)
A．(－2，2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．[－2，2]
D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：由已知可得，集合A的补集 UA＝[－2，2]．
答案：C
4．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为________．
答案：5
5．[易错题]设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1解析：由|x－a|<1得－1∴a－1∴2≤a≤4．
答案：2≤a≤4　
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__集合的含义与表示[自主演练]
1．设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，所以C＝{5，6，7，8}．
即C中元素的个数为4．
答案：B
2．(2021·山东泰安模拟)已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b，0}，则a2 021＋b2 021为(　　)
A．1 B．0 C．－1 D．±1
解析：由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1．根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 021＋b2 021＝－1．
答案：C
3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于(　　)
A．　 　B．　 　C．0　 　D．0或
解析：若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．
当a＝0时，x＝，符合题意；
当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝．
所以a的值为0或．
答案：D
4．[易错题]已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－．当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合元素的互异性可知不满足题意；当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，故m＝－．
答案：－
[思维升华]　含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．
考点2__集合间的基本关系[典例引领]
【例1】(1)已知集合P＝，Q＝{x∣－2A．P Q B．Q P
C．P∩Q＝P D．P∪Q＝Q
(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2 C．3 D．4
(3)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，则实数m的取值范围为________．
解析：(1)因为P＝，
Q＝，
所以Q P，P∩Q＝Q，P∪Q＝P．
(2)因为A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，A C B，则集合C可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个．
(3)因为B A，所以
①若B＝ ，则2m－1②若B≠ ，则解得2≤m≤3．
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3．
答案：(1)B　(2)D　(3)(－∞，3]
[对点练]　1．(2022·河南开封模拟)设a，b∈R，A＝，B＝，若A B，则a－b＝(　　)
A．－1 B．－2 C．2 D．0
解析：由A B知A＝B，即得
∴a－b＝0．
答案：D
2．设M为非空的数集，M {1，2，3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有(　　)
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
解析：由题意知，M＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共6个．
答案：A
3．若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B A，则实数m的取值范围为________．
解析：①若B＝ ，则Δ＝m2－4＜0，
解得－2＜m＜2，符合题意；
②若1∈B，则12＋m＋1＝0，
解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；
③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，
解得m＝－，此时B＝，不合题意．
综上所述，实数m的取值范围为[－2，2)．
答案：[－2，2)
考点3__集合的基本运算[多维讲练]
集合的运算是高考重点，多与函数、不等式相结合，考查集合的交、并、补运算，或考查由集合的运算求参数(范围)．题型多为选择题，难度较小．
角度1　集合的运算
【例2】(1)[一题多法](2020·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4，1，3，5}，则A∩B＝(　　)
A．{－4，1} B．{1，5} C．{3，5} D．{1，3}
(2)
设全集U＝R，A＝{x|4－x2≥0}，B＝{x|x≤－1}，则如图阴影部分表示的集合为(　　)
A．(－1，2] B．[－1，2]
C．[－2，－1) D．(－∞，－1]
解析：(1)法一　由x2－3x－4<0，得－1法二　因为(－4)2－3×(－4)－4>0，所以－4 A，故排除A；又12－3×1－4<0，所以1∈A，则1∈(A∩B)，故排除C；又32－3×3－4<0，所以3∈A，则3∈(A∩B)，故排除B．故选D．
法三　观察集合A与集合B，发现3∈A，故3∈(A∩B)，所以排除选项A和B，又52－3×5－4>0，所以5 A，5 (A∩B)，排除C．故选D．
(2)易知阴影部分为集合A∩( UB)＝(－1，2]，故选A．
答案：(1)D　(2)A
[思维升华]　集合运算的两种常用方法
(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．
(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．
[对点练]　1．已知M，N是R的子集，且M N，则( RN)∩M＝(　　)
A．M B．N
C． D．R
解：
根据条件，用Venn图表示M，N，R如下：由图看出，( RN)∩M＝ ．故选C．
答案：C
2．(2021·全国高考乙卷)已知集合S＝，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝(　　)
A． B．S
C．T D．Z
解析：任取t∈T，则t＝4n＋1＝2×＋1，其中n∈Z，所以，t∈S，故T S，因此，S∩T＝T．
答案：C
角度2　利用集合的运算求参数
【例3】(1)[一题多法](2020·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　　)
A．－4 B．－2
C．2 D．4
(2)设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∪B＝A，则实数a的取值范围是____________________．
解析：(1)法一　易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2．故选B．
法二　由题意得A＝{x|－2≤x≤2}．若a＝－4，则B＝{x|x≤2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤2}，不满足题意，排除A；若a＝－2，则B＝{x|x≤1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤1}，满足题意；若a＝2，则B＝{x|x≤－1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，不满足题意，排除C；若a＝4，则B＝{x|x≤－2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|x＝－2}，不满足题意．故选B．
(2)因为A∪B＝A，所以B A．
因为A＝{0，－4}，所以B A分以下三种情况：
①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，
由根与系数的关系，得
解得a＝1；
②当B≠ 且B A时，B＝{0}或B＝{－4}，
并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；
③当B＝ 时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，
解得a<－1．
综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．
答案：(1)B　(2)(－∞，－1]∪{1}
[思维升华]　(1)对于与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
[对点练]　3．已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|－a＜x≤a＋3}，若A∩B＝A，则a的取值范围是(　　)
A．(－2，＋∞) B．(－∞，－1]
C．[1，＋∞) D．(2，＋∞)
解：由A∩B＝A知A B，
故解得a≥1．
答案：C
4．若集合A＝{x|x≥3－2a}，B＝{x|(x－a＋1)(x－a)≥0}，A∪B＝R，则实数a的取值范围为(　　)
A．[2，＋∞) B．
C． D．(－∞，2]
解析：B＝{x|x≥a或x≤a－1}，由A∪B＝R得3－2a≤a－1，解得a≥，故选C．
答案：C
考点4__集合的新定义问题[典例引领]
【例4】(1)已知M，N是任意两个非空集合，定义集合M－N＝，则－M＝(　　)
A．N B．N－M
C．M－N D．M∩N
解析：由题意－M＝{x|x∈M∪N，x M}＝＝N－M．
答案：B
(2)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，且U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000；对于任意两集合A，B，我们定义集合运算A－B＝且，A*B＝∪．若A＝，B＝，则A*B表示的6位字符串是(　　)
A．101010 B．011001
C．010101 D．000111
解析：由题意可得若A＝，B＝，则A*B＝，所以此集合的第2个字符为1，第4个字符为1，第6个字符为1，其余字符均为0，即A*B表示的6位字符串是010101．
答案：C
[思维升华]　(1)常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等；
(2)运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．
[对点练]　设A，B是非空集合，定义A B＝{x|x∈A∪B且x A∩B}．已知集合A＝{x|0解析：由已知A＝{x|0答案：{0}∪[2，＋∞)
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养
利用Venn图解决集合中的实际应用题
集合是数学中一个非常重要的概念，是研究群体及群体中元素的，在日常生活中我们会遇到许多群体性的实际问题，常从集合的角度利用Venn图解决．
【典例】某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项的最多人数为x，最少人数为y，则x－y＝(　　)
A．22 B．21
C．20 D．19
解析：
如图，设集合A，B分别表示围棋爱好者，足球爱好者，全班学生组成全集U，A∩B就是两者都爱好的，要使A∩B中人数最多，则A B，x＝22，要使A∩B中人数最少，则A∪B＝U，即22＋27－y＝46，y＝3，∴x－y＝22－3＝19．故选D．
答案：D
[对点练]　1．高一某班共有15人参加数学课外活动，其中7人参加了数学建模，9人参加了计算机编程，两种活动都参加了的有3人，则这两种活动都没参加的有________人．
解析：因为7人参加了数学建模且两种活动都参加了的有3人，故只参加了数学建模的人数为7－3＝4(人)．
又9人参加了计算机编程，故只参加了计算机编程的人数为9－3＝6(人)．
故参加了这两种活动的人数有4＋3＋6＝13(人)．
故两种活动都没参加的有15－13＝2(人)．
答案：2
2．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(　　)
A．0．5 B．0．6
C．0．7 D．0．8
解析：
根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用Venn图表示如图，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0．7．
答案：C
课下巩固培优卷(一)
【A/基础巩固题组】
1．(2021·全国高考乙卷)已知全集U＝，集合M＝，N＝，则 U(M∪N)＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：由题意可得，M∪N＝，
则 U＝．
答案：A
2．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{x|x－y＝1}，则A∩B等于(　　)
A．{(1，0)} B．{(0，1)}
C．{1，0} D．
解析：因为集合A中的元素为点集，集合B中的元素为数集，所以两集合没有公共元素，所以A∩B＝ ．故选D．
答案：D
3．已知集合M＝，N＝{(x，y)|x∈M，y∈M，x＋y∈M}，则集合N中的元素个数为(　　)
A．2 B．3
C．8 D．9
解析：由题意，满足条件的平面内以为坐标的点集合N＝，所以集合N的元素个数为3．
答案：B
4．(2022·广东广州模拟)已知集合A＝，B＝，若A B，则所有a的取值构成的集合为(　　)
A． B．
C． D．
解析：a＝0时，A＝ 满足题意，a≠0时，ax＝1得x＝，所以＝1或＝－1，a＝1或a＝－1，所求集合为{－1，0，1}．
答案：D
5．
已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z|<3}，N＝{－4，－2，0，1，5}，则下列Venn图中阴影部分的集合为(　　)
A． B．
C． D．
解析：集合M＝＝{x∈Z|－3答案：C
6．定义集合M N＝，已知集合A＝，B＝，则A B＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：由不等式x2＋3x－10＝(x－2)(x＋5)<0，解得－5又由B＝，若x－1∈B，可得x∈，
所以A B＝．
答案：C
7．(多选)已知集合A＝，B＝{x|x>a}，则下列选项可能成立的是(　　)
A．A B B．B A
C．A∪( RB)＝R D．A RB
解析：由得A＝[－1，2)∪(2，＋∞)，B＝(a，＋∞)， RB＝(－∞，a]，选项A，B，C都有可能成立，对于选项D，不可能有A RB．
答案：ABC
8．已知集合A＝，B＝{x2，x＋y，0}，若A＝B，则x＋y＝________．
解析：显然y＝1，即A＝{2x，0，1}，B＝{x2，x＋1，0}．若x＋1＝1，则x＝0，集合A中元素不满足互异性，舍去．∴x2＝1，且2x＝x＋1，∴x＝1，故x＋y＝2．
答案：2
9．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|y＝ln (2－x)}，则A∩B＝________，A∪B＝________．
解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|y＝ln (2－x)}＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}，则A∩B＝[－1，2)，A∪B＝(－∞，3]．
答案：[－1，2)　(－∞，3]
10．已知集合A＝{x|－2解析：若A∩B＝ ，则有m＋9≤－2或m≥3，解得m≤－11或m≥3，所以当A∩B≠ 时，实数m的取值范围为{m|－11答案：{m|－11【B/能力提升题组】
11．已知集合M＝{m|m＝＋＋＋，x、y、z为非零实数}，则M的子集个数是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．8
解析：因为集合M＝{m|m＝＋＋＋，x、y、z为非零实数}，所以当x，y，z都是正数时，m＝4；
当x，y，z都是负数时，m＝－4；
当x，y，z中有一个是正数，另两个是负数时，m＝0，
当x，y，z中有两个是正数，另一个是负数时，m＝0，
所以集合M中的元素是3个，所以M的子集个数是8．
答案：D
12．已知集合A＝，B＝，且A∩B有2个子集，则实数a的取值范围为(　　)
A．　 　 　 　B．∪
C．　 　 　 　D．∪
解析：由题意得，B＝＝，
∵A∩B有2个子集，∴A∩B中的元素个数为1个；
∵1∈，∴a ，即a B，∴a≤0或a≥2，
即实数a的取值范围为∪．
答案：D
13．(多选)已知全集U的两个非空真子集A，B满足∪B＝B，则下列关系一定正确的是(　　)
A．A∩B＝ B．A∩B＝B
C．A∪B＝U D．∪A＝A
解析：令U＝，A＝，B＝，满足∪B＝B，但A∩B≠ ，A∩B≠B，故A，B均不正确；
由∪B＝B，知 UA B，∴U＝A∪ ，∴A∪B＝U，
由 UA B，知 UB A，∴∪A＝A，故C，D均正确．
答案：CD
14．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店
(1)第一天售出但第二天未售出的商品有______种；
(2)这三天售出的商品最少有________种．
解析：(1)如图1所示，第一天售出但第二天未售出的商品有19－3＝16(种)．
(2)如图2所示，这三天售出的商品最少有19＋13－3＝29(种)．
答案：(1)16　(2)29
15．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋3a－5＝0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围为________．
解析：由题意，可得A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，因为A∩B＝B，所以B A．
(1)当B＝ 时，方程x2－ax＋3a－5＝0无解，则Δ＝a2－4(3a－5)<0，解得2(2)当B≠ 时，若B A，则B＝{1}或{2}或{1，2}．
①当B＝{1}时，1－a＋3a－5＝0，得a＝2，此时B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，满足题意；
②当B＝{2}时，4－2a＋3a－5＝0，得a＝1，此时B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1，2}，不满足题意，即a≠1；
③当B＝{1，2}时，根据根与系数的关系可得此时无解．
综上，实数a的取值范围为[2，10)．
答案：[2，10)

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