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第二章　函　数
第1节　函数的概念及其表示　
[课标要求]　①在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．②在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，使在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．
2．函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
盘点易错易混
1．解分段函数方程或不等式易忽略自变量的取值范围；
2．求解析式时易忽略新元的取值范围；
3．函数问题要注意定义域优先，定义域要写成区间或集合形式．
【小题热身】
1．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是(　　 )
解析：　A选项中的值域不满足，B选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确．
答案：C
2．函数y＝ln (2－x)的定义域为(　　 )
A．(0，2)　B．[0，2)　C．(0，1]　D．[0，2]
解析：　由题意知，x≥0且2－x>0，解得0≤x＜2，故定义域为[0，2)．
答案：B
3．函数f＝，则函数f(x)的解析式是(　　 )
A．f(x)＝(x≠0，－1)
B．f(x)＝1＋x(x≠0，－1)
C．f(x)＝(x≠0，－1)
D．f(x)＝x(x≠0，－1)
解析：令t＝，t≠0，－1．则有x＝，所以f(t)＝＝，t≠0，－1，所以f(x)＝，x≠0，－1．
答案：A
4．若函数f＝则f＝______．
解析：由已知f(3)＝f(3－2)＝f(1)＝21＝2．
答案：2
5．[易错题]设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为____________．
解析：因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥1应分段求解．
当x<1时，f(x)≥1 (x＋1)2≥1 x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x<1．
当x≥1时，f(x)≥1 4－≥1，即≤3，所以1≤x≤10．
综上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0，10]．
答案：(－∞，－2]∪[0，10]
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__函数的定义域[自主演练]
1．(2021·江苏新沂模拟)函数y＝＋的定义域是(　　 )
A．[－1，0)∪(0，1) B．[－1，0)∪(0，1]
C．(－1，0)∪(0，1) D．(－1，0)∪(0，1]
解析：由题意得解得－1所以原函数的定义域为(－1，0)∪(0，1)．
答案：C
2．已知函数f(x)的定义域为(－1，1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为(　　 )
A．(－2，0) B．(－2，2)
C．(0，2) D．
解析：由题意得∴
∴0∴函数g(x)＝f ＋f(x－1)的定义域为(0，2)．
答案：C
3．已知函数y＝的值域为[0，＋∞)，则a的取值范围是________．
解析：令t＝g(x)＝x2＋ax－1＋2a，要使函数y＝的值域为[0，＋∞)，则说明[0，＋∞) {y|y＝g(x)}，即函数对应的一元二次方程的判别式Δ≥0，即a2－4(2a－1)≥0，即a2－8a＋4≥0，解得a≥4＋2或a≤4－2，
∴a的取值范围是{a|a≥4＋2或a≤4－2}．
答案：{a|a≥4＋2或a≤4－2}
[思维升华]　1．常见函数定义域的类型
(1)分式型要满足f(x)≠0；
(2)根式型(n∈N*)要满足f(x)≥0；
(3)幂函数型[f(x)]0要满足f(x)≠0；
(4)对数型logaf(x)(a>0，且a≠1)要满足f(x)>0；
(5)正切型tan [f(x)]要满足f(x)≠＋kπ，k∈Z．
2．抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出；
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
考点2__函数的解析式[典例引领]
【例1】求下列函数的解析式：
(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
(2)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式．
解：(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]，
则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]．
即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2]．
(2)(配凑法)∵f＝x2＋＝－2，
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，
可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17．
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
∴解得
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7．
(4)(方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①
∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得f(x)＝3x．
[思维升华]　求函数解析式的4种方法
[对点练]　1．已知函数f(x－1)＝，则函数f(x)的解析式为(　　 )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
解析：令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝，
即f(x)＝．故选A．
答案：A
2．已知f ＝＋，则f (x)＝(　　 )
A．(x＋1)2 B．(x－1)2
C．x2－x＋1 D．x2＋x＋1
解析：f ＝＋＝－＋1．令＝t，得f (t)＝t2－t＋1，即f (x)＝x2－x＋1．
答案：C
3．若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________________．
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
又f(0)＝c＝3．
所以f(x)＝ax2＋bx＋3，
所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2．
所以所以
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋3．
答案：f(x)＝x2－x＋3
4．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝________．
解析：在f(x)＝2f·－1中，将x换成，则换成x，得f＝2f(x)·－1，
由解得f(x)＝＋．
答案：＋
考点3__分段函数[多维讲练]
分段函数是高考的热点，考查形式为选择题、填空题，难度中档．常见的考查角度有：(1)分段函数求值；(2)分段函数与方程；(3)分段函数与不等式；(4)由分段函数的性质求参数等．
角度1　分段函数求值
【例2】　(1)已知函数f(x)＝ 则f＝(　　 )
A．－16ln 2 B．16ln 2
C．－8ln 2 D．－32ln 2
(2)(2021·江西南昌三模)若函数f(x)＝，则f＝(　　 )
A．－ B．
C．1 D．
解析：(1)由题意可知，f＝2f＝4f＝8f＝－8ln 2．
(2)函数f(x)＝
则f＝4sin ＝－4sin ＝4sin ＝2
所以f＝f＝log22＝log22＝．
答案：(1)C　(2)D
[思维升华]　分段函数的求值问题的解题思路
(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
角度2　分段函数与方程问题
【例3】　(2021·吉林长春模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　　 )
A．－3　　　B．－1　　　C．1　　　D．3
解析：∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2，
当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3，
当a>0时，f(a)＝2a＝－2，方程无解，
综上有a＝－3．
答案：A
[思维升华]　求参数或自变量的值
解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
角度3　分段函数与不等式问题
【例4】　(一题多法)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f >1的x的取值范围是______．
解析：法一 当x>时，2x＋2x－>1恒成立，∴x>，
当01，即2x＋x>恒成立，∴0当x≤0时，x＋1＋x－＋1>1，解得－综上有x的取值范围是．
法二　将不等式f(x)＋f >1变形为f >1－ f(x)，
令y1＝f ，y2＝1－ f(x)，作出两个函数的图象如图所示：
由图象可知，f >1－ f(x)的x的取值范围是．
答案：
[对点练]　1．(2021·四川成都模拟)已知函数f(x)＝则f(－2)＋f(ln 4)＝(　　 )
A．2　　　B．4　　　C．6　　　D．8
解析：f＝log24＝2，f＝eln 4＝4，故f(－2)＋f(ln 4)＝6，
答案：C
2．(2021·河南焦作模拟)已知函数f(x)＝且f(m)＝－2，则f(6＋m)＝(　　 )
A．－16　　B．16　　C．26　　D．27
解析：若f(m)＝3m－1－1＝－2，
则3m－1＝－1，方程无解，
故f(m)＝－1－log3(m＋5)＝－2，
可得log3(m＋5)＝1，解得m＝－2，
所以f(6＋m)＝f(4)＝34－1－1＝26．
答案：C
3．(2021·山东青岛一模)若f＝不等式f>的解集为(　　 )
A．∪
B．∪
C．∪
D．∪
解析：当x≥0时，log3(x＋1)>＝log3 x＋1>　∴x>－1，
当x<0时，2x>＝2－1 x>－1，
∴－1综上不等式f>的解集为∪．
答案：A
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养(教师独有)
(师)与高等数学接轨的三类函数
高考数学与高等数学知识(如欧拉公式、高斯函数、狄利克雷函数)的接轨，常以小题的形式呈现，意在培养学生的探究、创新精神，拓宽思维，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养．
角度1　欧拉公式
【例1】　(2020·河南郑州模拟)欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是当x＝π时，eiπ＋1＝0，欧拉公式被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于(　　 )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：由题意得e2i＝cos 2＋isin 2，所以e2i表示的复数在复平面中对应的点为(cos 2，sin 2)．因为2∈，所以cos 2＜0，sin 2＞0，所以e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B．
答案：B
[思维升华]　此类以欧拉公式为背景考查复数几何意义的试题，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解此类题的关键：一是会揭开数学文化的面纱，读懂题意；二是会进行三角运算，如本题，在读懂题意的基础上，需利用弧度制，判断角的范围，从而判断角的三角函数值的符号，即可得出复数在复平面中对应的点的位置．
[对点练]　1．已知欧拉公式为eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)，若α∈(0，2π)，且e－iα表示的复数在复平面中对应的点位于第三象限内，则sin α＋cos α的取值范围是(　　 )
A．(1，] B．[－，]
C．(－1，1) D．[－，－1)
解析：因为e－iα＝cos (－α)＋isin (－α)＝cos α－isin α，所以结合题意可知点(cos α，－sin α)位于复平面的第三象限内，所以cos α＜0且－sin α＜0，又α∈(0，2π)，所以α∈，所以α＋∈，所以sin ∈．
故sin α＋cos α＝sin ∈(－1，1)．
答案：C
角度2　 高斯函数
【例2】　(2020·湖南长沙长郡中学模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[－2．1]＝－3，[3．1]＝3．已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域是(　　 )
A．{0，1} B．(0，2)
C．(0，1) D．{－1，0，1}
解析：法一　因为f(x)＝＝＝2－∈(0，2)，
所以当f(x)∈(0，1)时，y＝[f(x)]＝0；
当f(x)∈[1，2)时，y＝[f(x)]＝1．
所以函数y＝[f(x)]的值域是{0，1}．故选A．
法二　因为y＝[f(x)]不可能为小数，所以排除B，C；
又2x＞0，所以f(x)＝＞0，所以y＝[f(x)]≠－1，排除D．选A．
答案：A
[思维升华]　求解此类题的关键是理解高斯函数的含义，若是以选择题的形式考查，可用取特值法达到秒解，如本题的法二，对特殊值的敏感和对已知选项的挖掘，常常可从中提取有效的信息，而对它们的视而不见，则会导致与简便解法“擦肩而过”．注意对特值的选定，一要典型，能定性说明问题，二要简单，便于计算．
[对点练]　2．(2020·山东淄博一模)高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：[2．3]＝2，[－1．5]＝－2．则下列结论：①[－2．1]＋[1]＝－2；②[x]＋
[－x]＝0；③若[x＋1]＝3，则x的取值范围是2≤x≤3；④当－1≤x＜1时，[x＋1]＋[－x＋1]的值为1或2．其中正确的结论有________．(写出所有正确结论的序号)
解析：①[－2．1]＋[1]＝－3＋1＝－2，正确；
②[x]＋[－x]＝0，错误，例如：[2．5]＝2，[－2．5]＝－3，2＋(－3)≠0；
③若[x＋1]＝3，则x的取值范围是2≤x＜3，故错误；
④当－1≤x＜1时，0≤x＋1＜2，0＜－x＋1≤2，
∴[x＋1]＝0或1，[－x＋1]＝0或1或2，
当[x＋1]＝0时，[－x＋1]＝1或2；
当[x＋1]＝1时，[－x＋1]＝1或0；
所以[x＋1]＋[－x＋1]的值为1或2，故正确．
答案：①④
角度3　狄利克雷函数
【例3】　(2020·上海徐汇区模拟)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，函数f(x)＝被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，关于函数f(x)有如下四个命题：
①f(f(x))＝0；
②函数f(x)是偶函数；
③任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意的x∈R恒成立；
④存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等边三角形．
其中真命题的个数是(　　 )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：对于①，当x为有理数时，f(x)＝1，f(f(x))＝f(1)＝1，故①是假命题．
对于②，若x∈Q，则－x∈Q；若x∈ RQ，则－x∈ RQ，所以，无论x是有理数还是无理数，都有f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，故②是真命题．
对于③，当x为有理数时，x＋T为有理数，满足f(x＋T)＝f(x)＝1；当x为无理数时，x＋T为无理数，满足f(x＋T)＝f(x)＝0，故③是真命题．
对于④，当A，B，C三点满足A，B(0，1)，C时，△ABC为等边三角形，故④是真命题．
综上所述，真命题的个数是3．故选C．
答案：C
[思维升华]　破解本题的关键如下：一是明晰狄利克雷函数的实质是分段函数，注意理解集合 RQ表示无理数集；二是会活用函数的奇偶性、周期性的定义判断函数的奇偶性、周期性；三是判断含有存在量词命题真假的关键是找到一个满足题意的条件．
[对点练]　3．(2020·陕西长安一中质检)已知著名的狄利克雷函数f(x)＝其中R为实数集，Q为有理数集，若m∈R，则f(f(f(m)))的值为(　　 )
A．0 B．1
C．0或1 D．无法求
解析：若m∈Q，则f(m)＝1，所以f(f(f(m)))＝f(f(1))＝f(1)＝1．
若m∈ RQ，则f(m)＝0，所以f(f(f(m)))＝f(f(0))＝f(1)＝1．故选B．
答案：B
课下巩固培优卷(五)
【A/基础巩固题组】
1．(多选)下面各组函数中是同一函数的是(　　 )
A．y＝与y＝x
B．y＝与y＝|x|
C．y＝·与y＝
D．f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1
解析：选项A中，两个函数的对应关系不同，不是同一函数；选项B中，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数；选项C中，两个函数的定义域不同，不是同一函数；选项D中，两个函数的定义域和对应关系都相同，是同一函数．
答案：BD
2．已知f＝，则f＝(　　 )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：∵f＝log24＝2，
∴f＝f＝2－3＝－1．
答案：B
3．函数f＝的定义域为(　　 )
A． B．
C．∪ D．∪
解析：由已知得(log2x)2－1>0，即log2x>1＝log22或log2x<－1＝log2，解得x>2或0答案：C
4．已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝x＋2，则f(x)＝(　　 )
A．x＋1 B．2x－1
C．－x＋1 D．x＋1或－x－1
解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则由f(f(x))＝x＋2，可得k(kx＋b)＋b＝x＋2，即k2x＋kb＋b＝x＋2，所以k2＝1，kb＋b＝2．解得k＝1，b＝1，所以f(x)＝x＋1．故选A．
答案：A
5．已知函数f(x)＝那么不等式f(x)≥的解集为(　　 )
A．(0，1] B．(0，2]
C．[1，4] D．[1，6]
解析：作出函数y＝f(x)与y＝的图象：
由图可知：不等式f(x)≥的解集为[1，4]．
答案：C
6．(多选)设函数f(x)＝则使f(a)＝的a的值为(　　 )
A．－1 B．1
C． D．
解析：由题意知，若a≤0，则2a＝，解得a＝－1；
若a>0，则|log2a|＝，解得a＝2或a＝2－．
即a＝或a＝．故选ACD．
答案：ACD
7．已知函数f(x)＝则满足f(2x＋1)A．(－∞，0] B．(3，＋∞)
C．[1，3) D．(0，1)
解析：由f(x)＝可得当x<1时，f(x)＝1，当x≥1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(1)＝log22＝1，要使得f(2x＋1)3，
即不等式f(2x＋1)答案：B
8．函数y＝x＋log2的定义域为______．
解析：因为函数y＝x＋log2，
所以解得0≤x<1，
所以函数定义域为[0，1)，
答案：[0，1)
9．已知函数f(x)满足f＝log2，则f(x)的解析式是________________．
解析：根据题意知x>0，所以f＝log2x，则f(x)＝log2＝－log2x．
答案：f(x)＝－log2x
10．若函数f＝(a>0且a≠1)的值域是，则实数a的取值范围是__________．
解析：由于函数f＝
的值域是，故当x≤2时，满足f＝6－x≥4，当x>2时，由f＝3＋logax≥4，所以logax≥1，所以loga2≥1 1答案：(1，2]
【B/能力提升题组】
11．已知函数f的定义域为，若g＝f－f有定义，则实数a的取值范围是(　　 )
A． B．
C． D．
解析：由题意可得
解得
因为g有定义，所以当a<0时，由－1－a≤a，得－≤a<0；
当a>0时，由a－1≤－a，得0当a＝0时，－1≤x≤0，恒成立．
综上，实数a的取值范围是．
答案：D
12．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为(　　 )
A．(1，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：当a＝0时，显然不成立．
当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0等价于a2－2a>0，解得a>2．
当a<0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0等价于a2＋2a>0，解得a<－2．
综上所述，a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
答案：D
13．(多选)设函数f(x)的定义域为D， x∈D， y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称f(x)为“美丽函数”．下列所给出的函数中，是“美丽函数”的是(　　 )
A．y＝x2 B．y＝
C．y＝ln (2x＋3) D．y＝2x＋3
解析：函数f(x)的定义域为D， x∈D， y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，所以函数f(x)的值域关于原点对称．
对于选项A，函数y＝x2的值域为[0，＋∞)，不关于原点对称，不符合题意；
对于选项B，函数y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，符合题意；
对于选项C，函数y＝ln (2x＋3)的值域为R，关于原点对称，符合题意；
对于选项D，函数y＝2x＋3的值域为R，关于原点对称，符合题意．故选BCD．
答案：BCD
14．(2021·青海西宁一模)函数f的定义域为，图象如图1所示，函数g的定义域为，图象如图2所示．若集合A＝，B＝，则A∩B中有___________个元素．
解析：若f＝0，则g＝0或－1或1，
∴A＝，
若g＝0，则f＝0或2，
∴B＝，
∴A∩B＝．
答案：3
15．已知函数y＝(a∈R)的值域是，则常数a＝________，m＝________．
解析：y＝ y(x2＋1)＝x＋a yx2－x＋(y－a)＝0．∵函数y＝(a∈R)的值域为，
∴Δ＝(－1)2－4y(y－a)≥0 4y2－4ay－1≤0，
∴－，m是方程4y2－4ay－1＝0的两根，
∴
答案：　1

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