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1.2　集合间的基本关系
知识清单
1.子集
1.1子集的概念
定义 一般地，对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集
记法与读法 记作 (或 )，读作“含于”(或“包含”)
图示
结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 . (2)对于集合，若 ，且 ，则
1.2对子集概念的理解
(1)集合是集合的子集的含义是：集合中的任何一个元素都是集合中的元素，即由能推出。例如，则，。
(2)如果集合中存在着不是集合的元素，那么集合不包含于，或不包含，此时记作或。
(3)注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，如，而不能写成；“”只能用于元素与集合之间，如，而不能写成。
2.集合相等
2.1集合相等的概念
如果集合是集合的子集()，且集合是集合的子集()，此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作。
2.2对两集合相等的认识
（1）若，且，则；反之，如果，则，且。这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证，只需证与同时成立即可。
（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关。
3.真子集
3.1真子集的概念
定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集。
记法 记作(或)
图示
结论 （1）且，则； （2）且，则。
　　
3.2对真子集概念的理解
（1）在真子集的定义中，首先要满足，其次至少有一个，但。
（2）若不是的子集，则一定不是的真子集。
4.空　集
4.1空集的概念
定义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集。
记法
规定 空集是任何集合的子集，即
特性 （1）空集只有一个子集，即它的本身， （2），则
4.2 与的区别
（1）是不含任何元素的集合；
（2）是含有一个元素的集合，。
典型例题
母题1：集合间关系的判断
判断集合间关系的方法
（1）用定义判断
首先，判断一个集合中的任意元素是否属于另一集合，若是，则，否则不是的子集；　
其次，判断另一个集合中的任意元素是否属于第一个集合，若是，则，否则不是的子集；
若既有，又有，则。
（2）数形结合判断
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍。
下列各式中，正确的个数是(　　)
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．　 　　B．　　 　　C．　　　 　D．
[解]　选B　对于①，是集合与集合的关系，应为{0}?{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以 ?{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的．
指出下列各组集合之间的关系：
①，；
②，；
③，.
[解] ①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
③法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N?M.
法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N?M.
已知集合，，则与的关系为(　　)
A． B． C． D．
解析：选D　①对于任意x∈M，x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5，
∵a∈N*，∴a＋2∈N*，
∴x∈P，由子集定义知M P.
②∵1∈P，此时a2－4a＋5＝1，即a＝2∈N*，而1 M，
∴1＋a2＝1在a∈N*时无解．
综合①②知，.
能正确表示集合和集合关系的图是(　　)
答案　B
解析　x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，
易得，其对应的Venn图如选项B所示．
下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥。其中正确的个数是(　　)
A．　　　　　　B． C． D．
解析：选C　①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误， 表示空集，而{ }表示的是含 这个元素的集合，是元素与集合的关系，应改为 ∈{ }；④错误， 表示空集，而{0}表示含有一个元素0的集合，并非空集，应改为 ?{0}；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，是元素与集合的关系．
已知，，，那么之间的关系是(　　)
A． B． C． D．
解析：选B　集合A，B，C关系如图．
设集合，，则正确的是(　　)
A． B．
C． D．M与N的关系不确定
解析：选B　集合M中的元素x＝＋＝(k∈Z)，集合N中的元素x＝＋＝(k∈Z)，而2k＋1为奇数，k＋2为整数，因此
已知集合，则下列集合是集合的子集的为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D　先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P中的元素－3 M，集合Q中的元素2 M，集合R中的元素－3 M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S M，且S?M.
已知非空集合满足：①，②若，则，符合上述条件的集合的个数是(　　)
A． B． C． D．
解析：选C　由a∈P,6－a∈P，且P {1,2,3,4,5}可知，P中元素在取值方面应满足的条件是1,5同时选；2,4同时选；3单独选，可一一列出满足条件的全部集合P为{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,5,2,4}，{1,2,3,4,5}，共7个．
已知集合和，那么(　　)
A． B． C． D．
解析：选C　∵∴∴M＝P.
设，，，则的关系是________．
解析：B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}．故B?A.
答案：B?A
图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：
A为________；B为________；C为________；D为________．
解析：由Venn图可得A?B，C?D?B，A与D之间无包含关系，A与C之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A为小说，B为文学作品，C为叙事散文，D为散文．
答案：小说　文学作品　叙事散文　散文
母题2：有限集合子集的确定
公式法求有限集合的子集个数
（1）含个元素的集合有个子集；
（2）含个元素的集合有个真子集；
（3）含个元素的集合有个非空子集；
（4）含有个元素的集合有个非空真子集；
（5）若集合有个元素，集合有个元素，且，则符合条件的集合有个。
已知集合，则的真子集的个数是(　　)
A． B． C． D．
[答案]　C　
[解析]　(1)∵A＝{x|0≤x＜3且x∈N}＝{0,1,2}，∴集合A的真子集的个数为23－1＝7.
满足的集合有________个。
[答案] 7
[解析]　由题意可得{1,2}?M {1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
含有五个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足题意的集合M共有7个．
已知集合，且中至少有一个元素为奇数，则这样的集合共有多少个？并用恰当的方法表示这些集合。
解：这样的集合共有3个．
∵{x∈N|－1＜x＜3}＝{0,1,2}，A?{0,1,2}且A中至少有一个元素为奇数，
∴当A中含有1个元素时，A可以为{1}；当A中含有2个元素时，A可以为{0,1}，{1,2}.
已知，，定义某种运算：，则中最大的元素是________，集合的所有子集的个数为________。
解析：由题意知A*B＝{2,3,4,5}，∴A*B中最大的元素是5，集合A*B有4个元素，∴所有子集个数为24＝16.
答案：5　16
已知集合，则集合的子集的个数为(　　)
A． B． C． D．
答案　D
解析　A＝{0,1,2,3,4}，含有5个元素的集合的子集的个数为25＝32.
母题3：集合相等
已知集合中含有两个元素，集合中含有两个元素，若，求实数的值。
解：因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.
①当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．
②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.
由①知x＝0应舍去．
综上知x＝1，y＝0.
下列四个集合中，不同于另外三个的是(　　)
A． B． C． D．
解析：选B　集合{x＝2}表示的是由一个等式组成的集合，其他选项所表示的集合都是含有一个元素2.
下列各组中集合与，表示同一个集合的是(　　)
A．是由元素构成的集合，是由元素构成的集合
B．是由构成的集合，是由构成的集合
C．是由构成的集合，是由有序数对构成的集合
D．是满足不等式的自然数构成的集合，是方程的解集
解析：选A　由于选项A中P，Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而选项B，C，D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．
方程的解集与集合相等，若集合中的元素是，则________。
解析：∵方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，
∴a，b是方程x2－2x－3＝0的两个根，
∴a＋b＝2.
答案：2
若集合，则________。
解析：由题意知a≠0，a＋b＝0，b＝1，则a＝－1，
所以a－b＝－2.
答案：－2
由“”三个元素构成的集合与由“”三个元素构成的集合是同一个集合，求的值。
解：根据集合相等，有或
解得或或
再根据集合元素的互异性，得或
母题4：利用集合的包含关系求参数的取值
利用集合关系求参数应关注三点
（1）分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合；
（2）此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示；
（3）此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集。
已知集合，，若，求实数的取值范围。
[解]　∵A B，
∴
解得
故3≤m≤4.
∴m的取值范围是{m|3≤m≤4}．
已知集合，，若，求实数的取值范围。
解：①当B＝ 时，m－6>2m－1，即m<－5；
②当B≠ 时，解得
即m∈ .
故实数m的取值范围是{m|m<－5}．
已知集合，，若，求实数的取值范围。
解：∵A≠B，
∴两不等式端点不可能同时成立，但最终答案与本例一致．
已知集合，，若，求实数的取值范围。
解：A＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}，
∵B A，
∴B＝ 或B＝{0}或B＝{－4}或B＝{0，－4}．
①当B＝ 时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无实数根，
则Δ<0，即4(a＋1)2－4(a2－1)<0.
∴a<－1.
②当B＝{0}时，有
∴a＝－1.
③当B＝{－4}时，有无解．
④当B＝{0，－4}时，由一元二次方程的根与系数的关系可得a＝1.
综上所述，实数a的取值范围是{a|a＝1或a≤－1}．
已知集合，，若，则实数________。
解析 ：∵B A，B＝{3,4}，A＝{－1,3，m}，
∴m∈A，∴m＝4.
答案：4
已知集合，。若，求实数的取值范围。
[解]　当B＝ 时，只需2a>a＋3，即a>3；
当B≠ 时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或
解得a<－4或2综上可得，实数a的取值范围为{a|a<－4或a>2}．
已知集合，，求满足的实数的取值范围。
解：①当a＝0时，A＝ ，满足A B.
②当a>0时，A＝.
又∵B＝{x|－1如图作出满足题意的数轴：
∴∴a≥2.
③当a<0时，A＝.
∵A B，如图所示，
∴
∴a≤－2.
综上所述，a的取值范围是{a|a＝0或a≥2或a≤－2}．
已知集合，。
（1）若是的真子集，求的取值范围；
（2）若是的子集，求的取值范围；
（3）若，求的取值范围。
解：(1)若A是B的真子集，即A?B，则a>2，即a的取值范围是{a|a＞2}．
(2)若B是A的子集，即B A，则a≤2，即a的取值范围是{a|a≤2}．
(3)若A＝B，则必有a＝2.
已知集合，，若，则的值是(　　)
A． B． C．或 D．,或
解析：选D　由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q P，知a＝1或a＝－1.
已知集合，若集合有且仅有个子集，则的取值构成的集合为________。
解析：因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．
当a＝0时，方程化为2x＝0，
∴x＝0，此时A＝{0}，符合题意．
当a≠0时，Δ＝22－4·a·a＝0，
即a2＝1，∴a＝±1.此时A＝{－1}，或A＝{1}，符合题意．∴a＝0或a＝±1.
答案：{0,1，－1}
已知，，且，求实数组成的集合。
解：由x2－3x＋2＝0，得x＝1，或x＝2.
∴A＝{1,2}．
∵B A，∴对B分类讨论如下：
①若B＝ ，即方程ax－2＝0无解，此时a＝0.
②若B≠ ，则B＝{1}或B＝{2}．
当B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2；
当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝1.
综上可知，符合题意的实数a所组成的集合C＝{0,1,2}．
设集合，，且，求的值。
解：∵A B，而a2－a＋1∈B，∴a2－a＋1∈A.
∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.
当a2－a＋1＝3时，a＝2或a＝－1.
(1)a＝2时，A＝{1,3,2}，B＝{1,3}，这时满足条件A B；
(2)a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，这时也满足条件A B.
当a2－a＋1＝a时，a＝1，此时A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，根据集合中元素的互异性，故舍去a＝1.
∴a的值为2或－1.
设集合，。
（1）当时，求的非空真子集的个数；
（2）若，求的取值范围。
解：化简集合A，得A＝{x|－2≤x≤5}．
(1)∵x∈Z，∴A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
即A中含有8个元素，
∴A的非空真子集数为28－2＝254(个)．
(2)①当m≤－2时，B＝ A；
②当m>－2时，B＝{x|m－1因此，要B A，
则只要 －1≤m≤2.
综上所述，知m的取值范围是
{m|－1≤m≤2或m≤－2}．

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