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高中数学——超越不等式
【方法点拨】
含有指对运算的方程(或不等式)称之为超越方程(或超越不等式),实现解这类方程、不等式，一般是构造函数，利用函数的单调性来解决.
【典型题示例】
1.．[2022·吉林省高三质量监测]函数f(x)＝sin x的图像大致是(　　)
答案．A　易知函数f(x)＝sin x的定义域为R，
且f(－x)＝sin (－x)＝sin (－x)＝sin x＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin x为偶函数，排除选项C，D；
又f(2)＝sin 2<0，所以排除选项B.
例1 （2021·江苏无锡天一·12月八省联考热身卷·7）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】考虑从“形”的角度切入，与已知圆同心且与相切的圆的半径与已知圆的半径之差即为所求
如下图
设该圆与相切的切点为
则由导数的几何意义、圆的切线性质得
即，此为超越方程，应先猜根，易知为其中一个根
设，则，单调递减
故为其唯一的一个根，此时切点为
所以的长度的最小值为，故选A.
例2 已知函数(aR)，其中e为自然对数的底数，若函数的定义域为R，且，求a的取值范围．
【答案】(2，4)
【解析】由函数f(x)的定义域为R，得x2－ax＋a≠0恒成立，
所以a2－4a＜0，解得0＜a＜4．
方法1（讨论单调性）
由f(x)＝，得f'(x)＝．
①当a＝2时，f(2)＝f(a)，不符题意．
②当0＜a＜2时，
因为当a＜x＜2时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(a，2)上单调递减，
所以f(a)＞f(2)，不符题意．
③当2＜a＜4时，
因为当2＜x＜a时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(2，a)上单调递减，
所以f(a)＜f(2)，满足题意．
综上，a的取值范围为(2，4)．
方法2（转化为解超越不等式，先猜根再使用单调性）
由f(2)＞f(a)，得＞．
因为0＜a＜4，所以不等式可化为e2＞(4－a)．
设函数g(x)＝(4－x)－e2， 0＜x＜4．
因为g'(x)＝ex·≤0恒成立，所以g(x)在(0，4)上单调递减．
又因为g(2)＝0，所以g(x)＜0的解集为(2，4)．
所以，a的取值范围为(2，4)．
例3 已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(ex)＜0的x的取值范围为 ．
【答案】
【解析】易得f(1)＝f(e)=0
∵
∴当时，，在单减；当时，，在单增
∴的解集是
令，得，故f(ex)＜0的x的取值范围为．
【巩固训练】
1.已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A. B.
C. D.
2. 关于的不等式的解集为___________.
3. 方程的根是___________.
4.已知、分别是方程、的根，则＋的值是 .
5.已知实数x、y满足，则的值是 .
6.不等式的解集是 .
7.方程的根是 .
8．[2022·广西四市高三质检] 设函数f(x)＝若方程f(x)＝logax(a>0且a≠1)有唯一实根，则a的取值范围是(　　)
A.(，1)∪(，＋∞)
B．(，1)∪(1，)
C．(0，)∪(，＋∞)
D．(0，)∪(1，)
【答案与提示】
1. 【答案】D
【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.
【解析】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
2.【答案】
【提示】设，则，，单增.
3. 【答案】
【解析】设，则，所以单调递增，
因为，所以.
4.【答案】－1
【提示】设，则，单增.
由，得
代入得，即，得＋＝－1.
5.【答案】2020
【提示】两边取自然对数得
设，则易得其为上的单增奇函数
所以，
故.
6.【答案】
【解法一】显然是方程一个根
令，则
故在单增，且
所以不等式的解集是.
【解法二】变形为
设，
而在单减，在单增，且图象均过（1,0）
所以不等式的解集是.
7.【答案】
【分析】利用“同构”构造函数，再利用函数的单调性.
【解析】原方程可化为
设，易得其为上的单增奇函数
所以，即为所求.
8．D　若x∈[2n－1，2n)(n∈N*)，即∈[，1)，
有f(x)＝f()＋n＝n＋1－，
作出函数y＝f(x)，y＝logax的图像，如图，
由图像，可以发现当a∈[2，＋∞)时，两者无公共点，当f(2)＝loga2时，即loga2＝，a＝时，有两个公共点，故由图像可知，当a∈(1，)时，两者有唯一公共点，当a<1时，由f(x)＝1－x与y＝logax相切于点(1，0)时，由k＝y′|x＝1＝＝－1可得a＝，
结合图像可知，a∈(0，)时，两者有唯一公共点．
综上，a的取值范围是(0，)∪(1，).

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