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高中数学——指数型函数的单调性、对称性
【方法点拨】
1. 指数复合型函数的对称中心为.
记忆方法：横下对，纵半分（即横坐标是使分母取对数的值，但真数为保证有意义，取的是绝对值而已，而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半）.
2.函数的性质如下：
（1）定义域是R； （2）值域是（－1,1）；
（3）在（－∞，+∞）单增； （4）是奇函数，其图象关于坐标原点对称.
说明：形如的函数，即指数函数与一次分式函数复合类型的函数是重要的考察的载体，通过变形（部分分式），可得到、等.
【典型例题】
1.函数f(x)＝()1－x2的单调减区间为(　　)
A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－1，1)
答案C　由复合函数的单调性可知，函数f(x)的单调减区间为(－∞，0).
例1 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】的对称中心是，其定义域为R且单减
令，则为R上的单调递减的奇函数
由得
即
因为为奇函数，故
所以
又在R上单减，所以，解之得
所以实数的取值范围是.
例2 已知，设函数，的最大值、最小值分别为，则的值为 .
【答案】4039
【分析】研究函数的对称性，利用函数（其中是奇函数）在对称区间上的最大值、最小值的和为.
【解析】
设
则
所以的图象关于点对称
所以的图象关于点对称
故的值为4039.
【巩固练习】
1.已知函数的图象关于坐标原点对称，则实数的值为_____.
2. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是 .
3.已知，则的值为 ．
4. 已知函数在区间[－k,k]上的值域为[m,n]，则m＋n=________．
5. 已知函数是定义域为的奇函数,当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
6．[2022·福建省高三质检]某地在20年间经济高质量增长，GDP的值P(单位，亿元)与时间t(单位：年)之间的关系为P(t)＝P0(1＋10%)t，其中P0为t＝0时的P值．假定P0＝2，那么在t＝10时，GDP增长的速度大约是________．(单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年)注：1.110≈2.59，当x取很小的正数时，ln (1＋x)≈x.
12．[2022·广东省高三三模]已知函数f(x)＝2x＋a·2－x的图像关于原点对称，若f(2x－1)>，则x的取值范围为________．
7．[2022·广东省惠州市一模] 已知f(x)＝，则当x≥0时，f(2x)与f(x2)大小关系是(　　)
A．f(2x)≤f(x2) B．f(2x)≥f(x2)
C．f(2x)＝f(x2) D．不确定
14．[2022·海南省诊断性测试]设a＝2e－0.2，b＝e0.2，c＝1.2，则(　　)
A．aC．b8．已知常数a>0，函数f(x)＝的图像经过点P(p，)、Q(q，－).若2p＋q＝36pq，则a＝________.
9．已知函数y＝4x＋m·2x－2在区间[－2，2]上单调递增，则m的取值范围是________
【答案与提示】
1.【答案】－1
【提示】由立得.
2.【答案】
【提示】的对称中心是，其定义域为R且单增.
3.【答案】
【思路一】从所求式中自变量的特征，被动发现函数的对称性.设若，尝试去求
的值，易得.
【思路二】主动发现函数的对称性，，设，则其对称中心为，则的对称中心也为，故.
4. 【答案】2
【提示】，奇，单增.
5. 【答案】.
【解析】∵函数是定义域为的奇函数，
∴，解得.
经检验，当时，函数为奇函数，即所求实数的值为.
设且，则
，
∵，∴，，
∴，即，所以是上的减函数.
由，可得.
∵是上的奇函数，∴，
又是上的减函数，
所以对恒成立，
令，∵，∴，
∴对恒成立，
思路一：（转化为二次函数区间上的最大值≤0）
令，，该函数开口朝上，故或取得最大值
∴，解得，所以实数的取值范围为.
思路二：（分离变量）即对恒成立，
设，则在区间上单减，在区间上单增
所以
所以，故实数的取值范围为.
、.
6．x>1
解析：定义在R上的函数f(x)＝2x＋a·2－x的图像关于原点对称，
则f(0)＝20＋a·20＝0，解之得a＝－1，经检验符合题意，
y＝2x、y＝－2－x均为R上增函数，则f(x)＝2x－2－x为R上的增函数，
又f(1)＝21－2－1＝，
则不等式f(2x－1)>等价于2x－1>1，解之得x>1.
7．B　由函数f(x)＝，
得函数f(x)在(－∞，4)上递增，在(4，16)上递减，在(16，＋∞)上递增，
作出函数y＝2x和y＝x2的图像，如图所示，
令2x＝x2，得x＝2或4，
结合图像可知，当0≤x<2时，4>2x>x2≥0，则f(2x)>f(x2)，
当2≤x≤4时，4≤2x≤x2≤16，则f(2x)≥f(x2)，
当x>4时，2x>x2>16，则f(2x)>f(x2)，
综上所述，当x≥0时，f(2x)≥f(x2).
8．D　设f(x)＝ex－x－1，可得f′(x)＝ex－1，
令f′(x)＝0，解得x＝0，
当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)>f(0)＝0，即ex>x＋1，
则a＝2e－0.2>2×(－0.2＋1)＝1.6，
b＝e0.2>0.2＋1＝1.2，所以c＝1.2最小，
又由＝＝，因为e0.4所以＝<1，所以b综上可得c9．6
解析：由题意得f(p)＝，f(q)＝－，
所以
①＋②，
得＝1，
整理得2p＋q＝a2pq，又2p＋q＝36pq，
∴36pq＝a2pq，又pq≠0，
∴a2＝36，∴a＝6或a＝－6，又a>0，得a＝6.
16.
解析：设t＝2x，则y＝4x＋m·2x－2＝t2＋mt－2.
因为x∈[－2，2]，所以t∈.
又函数y＝4x＋m·2x－2在区间[－2，2]上单调递增，
即y＝t2＋mt－2在区间上单调递增，
故有－≤，解得m≥－.
所以m的取值范围为.

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