资源简介

高中数学-递推函数
【典型题示例】
例1 设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1).若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　B
【分析】
【解析一】∵时，，
∴当时，，故，
同理，当时，，∴
当时，，
∴
所以，当，
当时，，令，解之得：
为使对任意，都有，则m的取值范围是.
故选B.
【解析二】　当－1f(x)＝由此作出函数f(x)的图象，如图所示.由图可知当2例2 已知函数f(x)是定义在[1，＋∞)上的函数，且f(x)＝则函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上的零点个数为________．
【答案】11　
【解析一】由题意得当1≤x<2时，f(x)＝设x∈[2n－1,2n)(n∈N*)，则∈[1,2)，又f(x)＝f，
当∈时，则x∈[2n－1,3·2n－2]，所以f(x)＝f＝，所以2xf(x)－3＝2x·－3＝0，整理得x2－2·2n－2x－3·22n－4＝0.解得x＝3·2n－2或x＝－2n－2.由于x∈[2n－1,3·2n－2]，所以x＝3·2n－2；
当∈时，则x∈(3·2n－2,2n)，所以f(x)＝f＝，所以 2xf(x)－3＝2x·－3＝0，整理得x2－4·2n－2x＋3·22n－4＝0.解得x＝3·2n－2或x＝2n－2.由于x∈(3·2n－2,2n)，所以无解．
综上所述，x＝3·2n－2.由x＝3·2n－2∈(1,2 015)，得n≤11，所以函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.
【解法二】由题意得当x∈[2n－1,2n)时，因为f(x)＝·f，所以f(x)max＝f＝.令g(x)＝.当x＝·2n－1时，g(x)＝g＝，所以当x∈[2n－1,2n)时，x＝·2n－1为y＝2xf(x)－3的一个零点．
下面证明：当x∈[2n－1,2n)时，y＝2xf(x)－3只有一个零点．
当x∈[2n－1,3·2n－2]时，y＝f(x)单调递增，y＝g(x)单调递减，f(3·2n－2)＝g(3·2n－2)，所以x∈[2n－1,3·2n－2]时，有一零点x＝3·2n－2；当x∈(3·2n－2,2n)时，y＝f(x)＝－，k1＝f′(x)＝－，g(x)＝，k2＝g′(x)＝－∈，所以k1【解法三】分别作出函数y＝f(x)与y＝的图像，如图，交点在x1＝，x2＝3，x3＝6，…，xn＝3·2n－2处取得．由x＝3·2n－2∈(1,2 015)，得n≤11，所以函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.
例3 已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数，函数有4个零点，即有四个不同交点.画出函数图像如下图所示：
由图可知，当时，设对应二次函数顶点为，则，，
当时，设对应二次函数的顶点为，则，.所以.当直线与时的函数图像相切时与函数图像有三个交点，此时，化简可得.，解得 （舍）；当直线与时的函数图像相切时与函数图像有五个交点，此时，化简可得.，解得 （舍）；故当有四个不同交点时.故选：B.
【巩固训练】
1. 已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为________．
2. 已知函数f(x)＝其中[x]表示不超过x的最大整数.若直线y＝k(x＋1)(k＞0)与函数y＝f(x)的图象恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是________.
3.已知函数，当时，关于的方程的所有解的和为 。
4.已知函数,则方程根的个数为 .
5.已知函数的定义域为R，且，当x[0，π)时，．若存在(，m]，使得，则m的取值范围为 ．
6.已知函数f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝那么函数g(x)＝xf(x)－1在[－7，＋∞)上的所有零点之和为________.
7.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（ ）
A． 4 B．6 C．8 D．10
[能力提升]
8．[2022·全国乙卷(理)，12]已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图像关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则f(k)＝(　　)
　
A．－21 B．－22
C．－23 D．－24
9．[2022·江西省临川高三模拟]已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)，函数y＝f(x＋1)为偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋a)，则f(2 022)＋f(2 023)＝(　　)
A．－1 B．1
C．504 D．无法确定
10．[2022·贵州省高三适应性测试] 函数y＝f(x)(x∈R)的图像关于点(0，0)与点(1，0)对称．当x∈(－1，0]时，f(x)＝－x2，则f()＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
11．[2022·陕西省西安中学高三三模]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝sin πx，且满足当x>1时，f(x)＝2f(x－2)，若对任意x∈[－m，m]，f(x)≤2成立，则m的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
【答案与提示】
1.【答案】(－∞，1)
【解析】x≤0时，f(x)＝2－x－1，
0＜x≤1时，－1＜x－1≤0，
f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1.
故x＞0时，f(x)是周期函数，
如图所示．
若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，
故a＜1，即a的取值范围是(－∞，1)．
2.【答案】
【解析】　根据[x]表示的意义可知，当0≤x＜1时，f(x)＝x，当1≤x＜2时，f(x)＝x－1，当2≤x＜3时，f(x)＝x－2，以此类推，当k≤x＜k＋1时，f(x)＝x－k，k∈Z，当－1≤x＜0时，f(x)＝x＋1，作出函数f(x)的图象如图，直线y＝k(x＋1)过点(－1，0)，当直线经过点(3，1)时恰有三个交点，当直线经过点(2，1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k∈.
3.【答案】10000
【提示】当时，，，此时的两根之和是1
当时，，，此时的两根之和是3
当时，，，此时的两根之和是5
以此类推，当时， 的两根之和是199
所以方程的所有解的和为1+3+5+···+199=10000.
4.【答案】6
【提示】转化为两函数、交点个数.
5.【答案】[，)
【解析】根据题意作出函数图像，如下：
故m≥．
6.【答案】8
【提示】转化为两函数、在[－7，＋∞)上的所有交点横坐标和的问题，两函数均为奇函数，故在[－7，7]上横坐标和为0，只需考虑x∈(－7，＋∞)即可，利用递推关系作出图象.
7.【答案】D
【分析】由为偶函数可得：只需作出正半轴的图像，再利用对称性作另一半图像即可，当时，可以利用利用图像变换作出图像，时，，即自变量差2个单位，函数值折半，进而可作出，，……的图像，的零点个数即为根的个数，即与的交点个数，观察图像在时，有5个交点，根据对称性可得时，也有5个交点.共计10个交点
8．D　若y＝g(x)的图像关于直线x＝2对称，则g(2－x)＝g(2＋x).因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(－x)＋g(2＋x)＝5，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．由g(2)＝4，f(0)＋g(2)＝5，得f(0)＝1.由g(x)－f(x－4)＝7，得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，代入f(x)＋g(2－x)＝5，得f(x)＋f(－x－2)＝－2，所以f(x)的图像关于点(－1，－1)中心对称，所以f(1)＝f(－1)＝－1.由f(x)＋f(－x－2)＝－2，f(－x)＝f(x)，得f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)为周期函数，且周期为4.由f(0)＋f(2)＝－2，得f(2)＝－3.又因为f(3)＝f(－1)＝f(1)＝－1，所以f(4)＝－2－f(2)＝1，所以f(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.故选D.
9．A　因为函数y＝f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－f(x)，
所以函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝log2a＝0，解得a＝1，
即f(x)＝log2(x＋1)，f(1)＝log22＝1；
因为y＝f(x＋1)为偶函数，
所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，
即y＝f(x)的图像关于x＝1对称，
又y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋1)＝－f(x－1)，
则f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即函数y＝f(x)是周期函数，周期为4，
则f(2 022)＋f(2 023)＝f(2)＋f(3)＝－f(0)－f(1)＝－1.
10．A　因为y＝f(x)图像关于点(0，0)与点(1，0)对称，所以f(－x)＋f(x)＝0，且f(2－x)＋f(x)＝0，所以f(2－x)＝f(－x)，即f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，当x∈(－1，0]时，f(x)＝－x2，所以f()＝f(－＋2)＝f(－)＝－(－)2＝－.
11．B　由题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝sin πx，
当x∈[－1，0)时，f(x)＝－f(－x)＝－sin (－πx)＝sin πx，即f(x)＝sin πx，x∈[－1，1]，又由当x>1时，f(x)＝2f(x－2)，可画出函数图像，如图所示．
由图知，当3≤x≤5时，f(x)＝4f(x－4)＝4sin (πx－4π)＝4sin πx；
则当－5≤x≤－3时，f(x)＝－f(－x)＝4sin πx；
当－5≤x≤－3时，令4sin πx＝2，
解得x1＝－，x2＝－(舍去)，
若对任意x∈[－m，m]，f(x)≤2成立，所以m的最大值为.

展开更多......

收起↑