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高中数学——三次函数的对称性、穿根法作图象
【入门小练习】
1.[2022·江西省南昌市高三二模]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a<0，b<0)，则函数f(x)的图像可能是(　　)
答案．B　由题f′(x)＝x2＋2ax＋b(a<0，b<0)，Δ＝4a2－4b>0，
导函数有两个变号零点即原函数有两个极值点x1，x2，
且x1＋x2＝－2a>0，x1·x2＝b<0，只有B图符合．
【典型题示例】
例1 (2021·全国乙卷·理10)设，若为函数的极大值点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.综上所述，成立.故选：D
例2 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ．
【答案】.（公众号：钻研数学）
【解析】 .
函数的一个极值点是，所以以为界与比较，进行分类讨论.
①当时，如图一，由得，或，欲使函数在区间上单调递增，只需，即.
②当时，如图二，在区间上单调递增，满足题意.
综上知，实数的取值范围是．
点评:
作三次函数f (x)＝a(x－x1) 2(x－x2)（其中a≠0，x1≠x2）示意图的方法要点有二：
（1）当a＞0时，三次函数的图象为N字型（最右区间增）；当a＜0时，三次函数的图象为反N字型（最右区间减）.
（2）x1既是函数的零点，又是函数的极值点，从形上看，函数图象此时与x轴相切（或称“奇穿偶回”，即x1、x2都是函数的零点，x1是二重根，图象到此不穿过x轴，即“回”，这种作函数图象的方法称为“穿根法”）.
例3 已知a，bR且ab≠0，若(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0在x≥0上恒成立，则（ ）
A. a<0 B. a>0 C. b<0 D. b>0
【答案】C
【分析】本题的实质是考察三次函数的图象，设，欲满足题意，从形上看则必须在x≥0 时有两个重合的零点才可以，对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.
【解析】因为，所以且，设，则的零点为
当时，则，，要使，必有，且，即，且，所以；
当时，则，，要使，必有.
综上一定有.
故选：C
【巩固训练】
1.函数图象的对称中心为_____.
2.已知直线与曲线有三个不同的交点，，，且，则__________.
3.若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ．
4.已知函数的导函数为，若函数在处取到极小值，则实数的取值范围是 ．
5.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ．
6. 设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝______________．
7. 已知函数，，其中，且，如果函数的值域是，则实数的取值范围为________.
8.已知函数，则函数y＝f (x)在区间[1,2]上的最小值是 .
9.已知函数的定义域是，值域是，则实数的取值范围是 .
10．[2022·郑州市高中第二次质检] 已知函数f(x)＝ex－2，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，h(x)＝kx－2k＋1(k∈R)，给出下列四个命题，其中真命题有________．(写出所有真命题的序号)
①存在实数k，使得方程|f(x)|＝h(x)恰有一个根；
②存在实数k，使得方程|f(x)|＝h(x)恰有三个根；
③任意实数a，存在不相等的实数x1，x2，使得f(x1)－f(x2)＝g(x1)－g(x2)；
④任意实数a，存在不相等的实数x1，x2，使得f(x1)－f(x2)＝g(x2)－g(x1).
【答案与提示】
1.【答案】
【解析一】由题意设对称中心的坐标为，则有对任意均成立，代入函数解析式得，
整理得到：
，
整理得到 对任意均成立，
所以 ，所以，.
即对称中心．
【解析二】∵f ″(x)＝6x－6 令f ″(x)＝6x－6＝0 解得x＝1
将x＝1代入得f (x)得f (1)＝2 ∴对称中心．
2.【答案】3
【解析】由题意，函数是奇函数，则函数的图象关于原点对称，
所以函数的函数图象关于点对称，
因为直线与曲线有三个不同的交点，
且，
所以点为函数的对称点，即，且两点关于点对称，
所以，于是.
3.【答案】
【解析】因为,且由得: 或
所以函数的图象是增-减-增型，且在或处取得极值
欲使函数在内有且只有一个零点，当且仅当
解之得.
当时，增；时，减，
故，，
所以在上的最大值与最小值的和为．
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8. 【答案】
【解析】设此最小值为m.
①当
因为:
则f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以m=f(1)=1-a..
②当1③当a>2时，在区间[1，2]上，
若在区间(1，2)内f/(x)>0,从而f(x)为区间[1，2]上的增函数，由此得：m=f(1)=a-1.
若2当
当
因此，当2当;
当
综上所述，所求函数的最小值
9.【答案】
【解析一】易知：当，增；当，减；当，增，且.
当时，增
∴，；
当时， ，；
当时，，；
综上，.
【解析二】仅考虑函数在时的情况，可知函数在时，取得极大值16．
令，解得，．
作出函数的图象（如右图所示）．
函数的定义域为，值域为，分为以下情况考虑：（1）当时，函数的值域为，有，所以，因为，所以；（2）当时，函数的值域为，有，所以，因为，所以；（3）当时，函数的值域为，有，所以，因为，所以；综上所述，实数a的取值范围是．
10．①②④
解析：画出|f(x)|＝|ex－2|的函数图像，如图：
h(x)＝kx－2k＋1经过定点(2，1)，从图中可以看出存在实数k，使得方程|f(x)|＝h(x)恰有一个根；①正确；
存在实数k，使得方程|f(x)|＝h(x)恰有三个根，②正确；
要想对任意实数a，存在不相等的实数x1，x2，使得f(x1)－f(x2)＝g(x1)－g(x2)，只需函数f(x)＝ex－2，g(x)＝x2＋ax(a∈R)始终有两个交点，当a＝1时，g(x)＝x2＋x＝(x＋)2－，开口向上，且最小值为－，此时图像如图所示：由于指数函数的增长速度高于二次函数，显然此时两函数只有一个交点，故③错误；
要想对任意实数a，存在不相等的实数x1，x2，使得f(x1)－f(x2)＝g(x2)－g(x1)，即f(x1)－f(x2)＝－[g(x1)－g(x2)]，只需f(x)＝ex－2与－g(x)＝－x2－ax，无论a取何值，都有两个交点，其中－g(x)＝－x2－ax＝－(x＋)2＋开口向下，且有最大值为≥0，且恒过(0，0)，画出两函数图像如下，其中－g(x)＝－x2－ax＝－(x＋)2＋为一组抛物线，用虚线表示：
无论a取何值，都有两个交点，④正确．

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