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高中数学——以分段函数为背景的解不等式
【入门小练习】
1.设函数f(x)＝则满足f(x)＋f(x－)＞1的x的取值范围是________．
答案．(－，＋∞)
解析：由题意知，可对不等式分x≤0，0＜x≤，x＞三段讨论．
当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋＞1，
解得x＞－，∴－＜x≤0.
当0＜x≤时，原不等式为2x＋x＋＞1，显然成立．
当x＞时，原不等式为2x＋2x－＞1，显然成立．
综上可知，x＞－.
【典型题示例】
[2022·江西省南昌市高三二模]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a<0，b<0)，则函数f(x)的图像可能是(　　)
例1 (2021·全国乙卷·理23改编)已知函数．（1）当时，不等式的解集是 ;（2）若，则实数a的取值范围是 ．
【答案】（1）.（2）.
【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.
（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.
【解析】（1）当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，
则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，
当或时所对应数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，
∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，
所以的解集为.
（2）依题意，即恒成立，
，
当且仅当时取等号，,故，
所以或，
解得.
点评：
解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件.
例2 已知函数,则不等式的解集是 ．
【答案】.
【分析】在同一直角坐标系内作出函数、的图象，根据图象即可解出．
【解析】将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：
由，解得．
所以不等式的解集为．
【巩固训练】
1.已知函数，则关于x的不等式的解集为 ．
2.设函数f(x)＝则满足f(x＋1)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
3.已知f (x)＝(x＋1) |x|－3x．若对于任意x∈R，总有f (x)≤f (x＋a)恒成立，则常数a的最小值是______．
4.已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 .
5.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ．
6.已知函数，则不等式的解集为__________.
7. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若对于任意x∈R，有f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为 ．
8．[2022·广西四市高三质检] 设函数f(x)＝若方程f(x)＝logax(a>0且a≠1)有唯一实根，则a的取值范围是(　　)
A.(，1)∪(，＋∞)
B．(，1)∪(1，)
C．(0，)∪(，＋∞)
D．(0，)∪(1，)
9．[2022·江西省高三二模]已知函数f(x)＝，f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，且x1A．－2 B．－
C．－1 D．－
【答案与提示】
1.【答案】
【分析】作出函数图象，考察动区间间图象的单调性，易得，当
即时，，此即为“临界值”，而动区间右移时满足题意，故,
所以不等式的解集为.
2.【答案】　D
【解析】　法一：分类讨论法
①当即x≤－1时，
f(x＋1)即－(x＋1)<－2x，解得x<1.
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当时，不等式组无解．
③当即－1f(x＋1)因此不等式的解集为(－1,0)．
④当即x>0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式f(x＋1)法二：数形结合法
∵f(x)＝
∴函数f(x)的图象如图所示．
结合图象知，要使f(x＋1)则需或
∴x<0，故选D.
3.【答案】3＋．
【提示】f (x)＝，作出函数f (x)的图象得：
作平行于x轴的直线l与f(x)图象有三个交点，设最左边与最右边的交点分别为M，N，如图所示，则a的最小值即为线段MN长的最大值．设直线l的方程为y＝t，
可得MN＝3＋＋＝3＋＝3＋
≤3＋＝3＋
所以，a的最小值是3＋
【说明】
1.本题的难点是要能结合函数的图象发现常数a的最小值即为线段MN长的最大值．
2.本题也可使用导数知识解决.
4.【答案】
【解析】设，则对任意的恒成立，意即将图象上的每一点向左平移个单位后，所得到的图象不可能在的上方.
因为
如图，由图象得，，又因为，故.
5.【答案】
【提示】利用奇函数，求出时，，代入分段求出，或直接使用图象，数形结合求出.
6.【答案】
【提示】去绝对值，分段求出，或直接使用图象，数形结合求出.
7.【答案】[－，].
8．D　若x∈[2n－1，2n)(n∈N*)，即∈[，1)，
有f(x)＝f()＋n＝n＋1－，
作出函数y＝f(x)，y＝logax的图像，如图，
由图像，可以发现当a∈[2，＋∞)时，两者无公共点，当f(2)＝loga2时，即loga2＝，a＝时，有两个公共点，故由图像可知，当a∈(1，)时，两者有唯一公共点，当a<1时，由f(x)＝1－x与y＝logax相切于点(1，0)时，由k＝y′|x＝1＝＝－1可得a＝，
结合图像可知，a∈(0，)时，两者有唯一公共点．
综上，a的取值范围是(0，)∪(1，).
9．D　设g(x)＝2x＋2－x－2，因为g(－x)＝g(x)，所以g(x)是偶函数，g(0)＝0，g(x)＝2x＋2－x－2≥2－2＝0(当且仅当x＝0时等号成立)，
故g(x)是偶函数，且最小值为0，
函数y＝2x－1＋21－x－2可以由函数y＝2x＋2－x－2的图像向右平移1个单位长度得到，
函数f(x)图像如图所示：
则x3＋x4＝2，且f(x3)≤f(0)＝，
因为f(x1)＝f(x2)，
所以log4(－x1)＝－log4(－x2)，
所以log4(－x1)＋log4(－x2)＝0，
即(－x1)(－x2)＝1，
因为|log4(－x2)|≤，
即log4(－x2)≥－，所以x2∈(－1，－]，
所以x1＋x2＝＋x2，
又因为h(t)＝t＋，t∈(－1，－]，
任取t1，t2∈(－1，－]，且t1则h(t1)－h(t2)＝t1＋－t2－＝(t1－t2)＋＝，
因为t1－t2<0，t1t2－1<0，
所以h(t1)－h(t2)>0，即h(t1)>h(t2).
所以y＝h(t)＝t＋在t∈(－1，－]上单调递减，
所以x1＋x2≥－2－＝－，
所以x1＋x2＋x3＋x4的最小值是－.

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