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高中数学——双元类不等式能成立、恒成立问题
【典型题示例】
例1 已知函数，若对，总，使得，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】即.
当时，，故只需，所以即对恒成立，分参得，令，，，故；
当时，，故只需，所以，且，即对恒成立，分参得，令，，，故；
综上，实数的取值范围.
例2 已知函数，若对任意，都存在使成立，则实数b的取值范围是 .
【解析】由条件可知
因为，且、在[1，2]上单调递增
所以函数在[1，2]上单调递增，，
所以，即在恒成立，
即在恒成立，记，
易证在[1,2]上单调递增，
所以，，从而只需，即.
点评：
为避免求函数最小值时的含参讨论，逆向转化为在上恒成立，再利用分离参数求解.此种处理手段太重要，意味深长！！
例3 已知函数，，若(0，)，[﹣1，0]，使得成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】双变量问题，逐一突破，这里先处理不含参部分
由题意得，，，
当时，，
令，则，，
即在上为减函数，故
所以，
所以恒成立，
即恒成立，
又，当且仅当时取等号，
所以实数的取值范围为．
点评：
存在性和恒成立混合问题注意理解题意，不等关系转化为最值的关系.
例4 若对任意，存在，使不等式成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析一】先视为以“”为主元的二次不等式的恒成立，
即不等式在上恒成立，
所以，
即，存在，使不等式成立，
再视为以“”为元的二次不等式的存在性问题，即能成立，
设，则只需或，即或，
所以实数的取值范围为.
【解析二】先视为以“”为主元的二次不等式的恒成立，
即不等式在上恒成立，
所以，
即，存在，使不等式成立，
再视为以“”为元的二次不等式的存在性问题，即能成立，
即在能成立
分离变量得
设，则在区间上单增，
所以，故，即
所以实数的取值范围为.
点评：
二元存在性、恒成立问题应考虑“主次元”思想；
解法二用到了“分离参数”构造函数的方法，一般来说，求参变量范围问题，应尽量做到“能分则分”，以避免参数参与运算带来的分类讨论等不必要的麻烦.
例5 设a>0，函数f (x)＝x＋，g(x)＝x－ln x＋4，若对任意的x1∈[1，e]，存在x2∈[1，e]，都有f (x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围为___________．
【答案】
【分析】问题可转化为f (x)min≥g(x)min，函数g(x)不含参，易求得g(x)min＝g(1)＝5，接下来的思路有二，一是直接分类讨论求f (x)min，二是将f (x)min≥g(x)mi转化为f (x)＝x＋≥5恒成立，通过分离参数再解决
【解析】 问题可转化为f (x)min≥g(x)min.
当x∈[1，e]时，g′(x)＝1－≥0，故g(x)在[1，e]上单调递增，则g(x)min＝g(1)＝5.
思路一：又f ′(x)＝1－＝，令f ′(x)＝0，易知x＝a是函数f (x)的极小值．
当a≤1时，f (x)min＝1＋a2，则1＋a2≥5，不成立；
当1当a>e时，f (x)min＝f (e)＝e＋≥5显然成立，得a2>5e－e2，所以a>e.
综上所述，实数a的取值范围为.
思路二：故有f (x)min≥5，即f (x)＝x＋≥5恒成立，分离参数得a2≥x（5－ x），
易得[x（5－ x）]max=，又a>0，故a≥
所以实数a的取值范围为．
例6 已知函数f (x)＝x2－2ax＋1，g(x)＝，其中a>0，x≠0.
对任意的x∈[1,2]，都有f (x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
【解析】由题意知，f (x)－g(x)>0对x∈[1,2]恒成立，即x2－2ax＋1－>0对x∈[1,2]恒成立，即a<对x∈[1,2]恒成立，令φ(x)＝，只需a＜φ(x)min(x∈[1,2])．
由于φ′(x)＝>0，故φ(x)在x∈[1,2]上是增函数，
φ(x)min＝φ(1)＝，所以a的取值范围是.
(2) 对任意的x1∈[1,2]，存在x2∈[1,2]，使得f (x1)>g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】 由题意知x2－2ax＋1>min＝，即a<对x∈[1,2]恒成立．
令φ(x)＝，则φ′(x)＝>0对x∈[1,2]恒成立，
则φ(x)在[1,2]上是增函数，φ(x)min＝φ(1)＝，
所以a的取值范围是.
点评：
防止误将 x∈D，均有f(x) >g(x)恒成立，转化为f(x)min> g(x)max，一般应作差构造函数F(x)=f(x)－g(x)，转化为F(x) min>0恒成立.
【巩固训练】
1．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1,4]有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是________．
2．已知函数f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对 x1∈[0,3]， x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．
3. 已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若 x1∈， x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是________．
4.函数f(x)＝x3－12x＋3，g(x)＝3x－m，若对 x1∈[－1,5]， x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，则实数m的最小值是________．
5.已知函数f(x)＝x2－2x＋3a，g(x)＝.若对任意的x1∈[0，3]，总存在x2∈[2，3]，使得|f(x1)|≤g(x2)成立，则实数a的值为________．
6.已知函数f(x)＝x2＋x，g(x)＝ln(x＋1)－a，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＞g(x2) ，则实数a的取值范围是 .
7. 已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若 x1∈， x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________．
8.若对于，不等式都成立，则的取值范围是_________.
9. 若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是_________.
10.关于的一元二次方程有两个根，且满足，则实数的值是（ ）.
A．－2； B．－3； C．－4； D．－5.
【答案与提示】
1．【答案】(－∞，0)
【解析】f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x∈[1,4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，则f(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0，故实数m的取值范围是(－∞，0)．
2．【答案】
【解析】当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min
≥g(x)min，得0≥－m，所以m≥.
3.【答案】 (－∞，1]
【解析】由题意知，f(x)min≥g(x)min(x∈[2,3])，因为f(x)＝x＋，所以f′(x)＝1－，所以f(x)在上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝5，又因为g(x)在[2,3]上的最小值为g(2)＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1.
4.【答案】14
【解析】由f′(x)＝3x2－12，可得f(x)在区间[－1,2]上单调递减，在区间[2,5]上单调递增，
∴f(x)min＝f(2)＝－13，
∵g(x)＝3x－m是增函数，∴g(x)min＝1－m，
要满足题意，只需f(x)min≥g(x)min即可，解得m≥14，
故实数m的最小值是14.
5.【答案】
6.【答案】　
【解析】　依题意知f(x)max≤g(x)max.
∵f(x)＝x＋在上是减函数，∴f(x)max＝f＝.
又g(x)＝2x＋a在[2,3]上是增函数，∴g(x)max＝8＋a，
因此≤8＋a，则a≥.
7.【答案】a＞－4
【分析】问题可转化为f(x)max>g(x)min，易得f(x)max=4，g(x)min=－a，由f(x) max > g(x) min得：
4＞－a，故a＞－4即为所求.
点评：
理解量词的含义，将原不等式转化为[f(x)]max≤[g(x)]max；利用函数的单调性，求f(x)与g(x)的最大值，得关于a的不等式求得a的取值范围．
8.【答案】
9.【答案】
【解析】对不等式分离参数得：
设（），则
令，则
函数在区间单减，故，
所以，即实数的取值范围是.
10.【答案】BC
【解析】将方程分离参数得：
设，如图，则，所以，选BC.

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