资源简介

1.1集合的概念
知识点一 元素与集合的概念及符号表示
1.元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.
2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.
3.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.
4. 元素与集合的符号表示：通常用大写拉丁字母表示集合，用小写拉丁字母表示集合中的元素.
5.元素与集合的关系
关系 含义 记法 示例
属于 是集合中的元素，就说属于集合 所有正实数构成的集合记为，则，
不属于 不是集合中的元素，就说不属于集合
知识拓展
（1）集合的三个特性：
①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明.
②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象.
③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象.
（2）集合的分类：
根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.
①有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.
②无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.
（3） 对元素与集合关系的理解：
（1）或取决于是不是集合的元素，根据集合中元素的确定性，知对任何因素与集合，在与这两种情况中必有一种且只有一种成立.
（2）符号“”与“”是表示元素与集合之间的关系，不能用来表示集合与集合之间的关系，这一点要切记.
知识点二 集合中元素的特性
元素的特性 理 解
确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.
互异性 一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.
无序性 集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性.
知识拓展
集合中元素特性的应用
（1）确定性的应用：确定性是判断一组对象是否形成集合的标准，给定一个集合，则任何一个对象都能明确它是否为这个集合的元素，如“著名的科学家”中“著名的”是一个含糊不清的概念，没有统一的标准，所以它不能构成一个集合.
（2）互异性的应用：在同一个集合中，没有相同的元素，因而可以根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验，如一元二次方程的根组成的集合只含有一个元素1.
（3）无序性的应用：无序性主要应用在判断两个集合是否相等，只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的，如集合和是相等的.
知识点三 常用的数集及其记法
数集 含义 记法
非负整数集（自然数集） 全体非负整数组成的集合 Ｎ
正整数集 所有正整数组成的集合 Ｎ＊或Ｎ+
整数集 全体整数组成的集合 Ｚ
有理数集 全体有理数组成的集合 Ｑ
实数集 全体实数组成的集合 Ｒ
知识拓展
（1）通常情况下，大写英文字母Ｎ，Ｎ＊，Ｎ+，Ｚ，Ｑ，Ｒ不再表示其他的集合，否则会引起“混乱”的局面.
（2）对于上述常用的数集的意义是约定俗成的，解题中作为已知使用，不必重述它们的意义.
（3）对常用数集的记法要做到范围明确，即明确各数集符号所包含的元素，并且书写要规范.
（4）要记住0是最小的自然数.
知识点四 集合的表示方法
1. 自然语言法
自然语言 用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法
示例 不大于10的正整数组成的集合
2. 列举法
列举法 把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法叫做列举法
一般形式
示例 “中国古代四大发明”组成的集合用列举法表示为｛火药，造纸术，活字印刷，指南针｝
3. 描述法
描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.具体方法是，在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征
一般形式 ，其中是表示集合元素的一般符号，是这个集合中元素的共同特征
示例 不等式的解集用描述法表示为
知识拓展
（1）对于元素的个数确定的集合或元素的个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法.
用列举法表示集合时应注意：
①元素间用“，”而不是用“、”隔开；
②元素不能重复，不考虑顺序；
③集合中元素个数较多或无限（无限集）时，一般不采用列举法，但如果构成集合的元素有明显的规律时，可以采用列举法，但必须把元素间的规律表示清楚后才能用省略号.
（2）对于元素的个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法.
用描述法不是集合时应注意：
①先确定该集合元素的一般符号；
②写清楚元素的共同特征；
③不能出现未被说明的字母；
④多个特征之间的关系应正确使用“且”与“或”来描述；
⑤元素的共同特征尽量用数学符号表示；
⑥在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分，如｛直角三角形｝；
⑦如果从上下文的关系来看，表示代表元素的范围，如是明确的，此时可以省略，以求简洁.
基础题型
题型一：辨别是否构成集合
例1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）
A．某班视力较好的同学B．长寿的人C．的近似值D．倒数等于它本身的数
【答案】D
【详解】
对于A，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合；
对于B，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合；
对于C， 的近似值没有明确近似到小数点后面几位，
不是明确的定义，故不能构成集合；
对于D，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合；
故选：D.
例2．给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近的实数的全体；③方程的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（ ）
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【详解】
解：
① 联合国的常任理事国有：中国、法国、美国、俄罗斯、英国.所以可以构成集合.
② 中的元素是不确定的，不满足集合确定性的条件，不能构成集合.
③ 方程的实数根是确定，所以能构成集合.
④ 全国著名的高等院校.不满足集合确定性的条件，不构成集合.
故选：A
例3．判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由．
(1)北京各区县的名称；
(2)尾数是5的自然数；
(3)我们班身高大于1.7m的同学．
【答案】(1)能；有限集；
(2)能；无限集；
(3)能；有限集.
【分析】
根据集合的基本概念即得.
(1)
因为北京各区县的名称是确定的，故北京各区县的名称能构成集合；因为北京各区县是有限的，故该集合为有限集；
(2)
因为尾数是5的自然数是确定的，故尾数是5的自然数能构成集合；因为尾数是5的自然数是无限的，故该集合为无限集；
(3)
因为我们班身高大于1.7m的同学是确定的，故我们班身高大于1.7m的同学能构成集合；因为我们班身高大于1.7m的同学是有限的，故该集合为有限集.
练习1．下面各组对象中不能形成集合的是（ ）
A．所有的直角三角形 B．一次函数
C．高一年级中家离学校很远的学生 D．大于2的所有实数
【答案】C
【详解】
所有的直角三角形，能形成直角三角形集合，一次函数，元素是确定的，可以形成集合，大于2的所有实数，能形成集合，
而高一年级中家离学校很远的学生，这里的“很远”的标准不确定，因而这里的学生就不确定，所以高一年级中家离学校很远的学生不能形成集合，
故选：C
练习2．下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与非常接近的全体实数
B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．高一年级很有才华的老师
【答案】B
【详解】
对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合，ACD错误；
B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确.
故选：B.
练习3．以下各组对象不能组成集合的是______（用题号填空）.
①中国古代四大发明 ②地球上的小河流
③方程的实数解 ④周长为10cm的三角形
⑤接近于0的数
【答案】②⑤
【详解】
①中国古代四大发明是造纸术，指南针，火药和印刷术，是确定的，能构成集合；
②地球上的小河流，不确定，不能构成集合；
③方程的实数解是1或-1，是确定的，能构成集合；
④周长为10cm的三角形，是确定的，能构成集合；
⑤接近于0的数，不确定，不能构成集合.
故答案为：②⑤
题型二：判断是否是相同集合
例1．下列各组中M、P表示不同集合的是（ ）
A．，
B．
C．，
D．，
【答案】BD
【详解】
选项A中，根据集合的无序性可知；
选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；
选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=，=，故M=P；
选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合，故．
故选：BD．
例2．已知集合，，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
解：∵是单元素集，集合中的元素是，
，
，
，集合中的元素是点，
.
∴.
故选：D.
例3．下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．
（1）它们各自的含义是什么？
（2）它们是不是相同的集合？
【答案】（1）各个含义见解析；（2）不同的集合.
【详解】
解：（1）集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的x∈R，
所以实质上{x|y＝x2＋1}＝R；
集合②的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，
所以实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；
集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，
所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．
（2）由（1）中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合．
练习1．下列各组中M，P表示不同集合的是（ ）
A．M＝{3，－1}，P＝{3，－1}
B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}
C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
【答案】BD
【详解】
选项A中，根据集合的无序性可知；
选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；
选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}=，故M=P；
选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合，故．
故选：BD．
练习2．下列四组集合中表示同一集合的为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【详解】
对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确；
对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确；
对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确；
对D，是以为元素的集合，是空集，则D不正确．
故选：B．
练习3．设集合，则下列集合中与集合相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
两个集合的元素相同，两个集合相等，集合中有2个元素，分别是1和2，所以与集合相等的集合是.
故选：C
练习4．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】
对于A，两个集合都为点集，与是不同点，故M、N为不同集合，故A错误；
对于B，M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误；
对于C，M是数集，N是点集，故M、N为不同集合，故C错误；
对于D，，，故M、N为同一集合，故D正确.
故选：D.
练习5．有下列三个集合：①{x|y＝x2+1，y≥1，y∈R}；②{y|y＝x2+1，x∈R}；③{（x，y）|y＝x2+1}；
（1）它们是不是相同的集合？
（2）它们的各自含义是什么？
【答案】（1）不是；（2）答案见解析.
【详解】
解：（1）①{x|y＝x2+1，y≥1，y∈R}＝[0，+∞）；②{y|y＝x2+1，x∈R}＝[1，+∞）；③{（x，y）|y＝x2+1}是点集，它们不是相同的集合；
（2）①{x|y＝x2+1，y≥1，y∈R}表示函数的定义域；②{y|y＝x2+1，x∈R}，表示函数的值域；③{（x，y）|y＝x2+1}表示点的集合.
题型三：判断元素与集合的关系
例1．下列关系中，正确的是（ ）
A． B． Q C．－3∈N D． ∈Z
【答案】AB
【详解】
根据常见数集的范围：
，故A正确；
不是有理数，所以 Q.故B正确；
N为自然数集合，所以－3N.故C错误；
为无限不循环小数，所以.故D错误.
故选：AB
例2．给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】
是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确.
所以正确的个数为2.
故选：B.
例3．给出下列关系：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】
和是正确的；①②正确；
因为，故③是错误的；因为故④是错误的；
故⑤是错误的．
故选：B.
例4．若集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
∵集合，∴，故B正确．
故选：B．
例5．元素与集合的关系及常用数集
（1）如果a是集合A的元素，就说a___________集合A，记作a___________A；如果a不是集合A中的元素，就说a___________集合A，记作a___________A．
（2）数学中一些常用的数集及其记法
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 _____ _____ _____ _____ _____
【答案】 属于 不属于
例6．元素与集合的相关概念
（1）元素：一般地，把___________统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
（2）集合：把一些___________组成的总体叫做集合，简称为___________，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
（3）集合相等：构成两个集合的元素是___________的．
（4）集合中元素的特性：___________、互异性和无序性．
【答案】 集合中的每个对象 指定的对象 集 相同 确定性
练习1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由可知，故D正确，A项表示不正确，，故ABC错误.
故选：D
练习2．用“”或“”填空．
___________N；___________Z；___________Q；___________R．
【答案】 ∈ ∈
练习3．已知集合，那么正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由或
故A对，B、C、D错
故选：A
练习4．用符号“”和“”填空：
（1）______N； （2）1______； （3）______R；
（4）______； （5）______N； （6）0______．
【答案】
【详解】
由所表示的集合，由元素与集合的关系可判断
（1）（2）（3）（4）（5）（6）.
故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）（6）.
练习5．用符号“”或“”填空：
（1）______；（2）______；（3）______；（4）______.
【答案】 ， ，
【详解】
解：；；；.
故答案为：，，，
练习6．若实数，集合，则与的关系是______.
【答案】
【详解】
因为，满足，所以.
故答案为：.
练习7．选用适当的符号填空：
（1）若集合，，则______， ______
（2）若集合，则______
【答案】
题型四：集合的表示方法
自然语言表示集合
例1．用自然语言描述下列集合：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)小于10的正奇数构成的集合；
(2)大于的实数构成的集合；
(3)大于2且小于20的所有质数构成的集合.
练习1．下列集合的表示方法正确的是(　　)
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的解集为{x<5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
【答案】D
【详解】
A. 第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R},故A不正确；
B. 不等式x－1<4的解集为，故B不正确；
C. {全体整数}不用大括号即可，故C不正确；
D. 实数集可表示为R，正确.
故选D.
描述法表示集合
例1．一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有___________的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．
【答案】共同特征p（x）
例2．判断正误．
（1）集合是用描述法表示的一个集合．( )
（2）集合是有限集．( )
（3）集合与集合表示同一个集合．( )
【答案】 √ × √
【详解】
（1）根据集合的描述法表示的概念可知正确；
（2）由于，故该集合不是有限集，故错误；
（3），故集合，故正确.
例3．选择适当的方法表示下列集合：
(1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A；
(2)所有正奇数组成的集合B；
(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C；
(4)直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
例4．表示方程的根的集合，用列举法可以表示为______，用描述法可表示为______.
【答案】 ## （答案不唯一）
例5．用描述法表示所有奇数组成的集合________．
【答案】
练习1．用描述法表示所有偶数组成的集合__________．
【答案】
练习2．用描述法表示下列集合．
（1）小于5的正有理数组成的集合：______；
（2）平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的所有点组成的集合：______；
（3）偶数集：______；
（4）抛物线上的所有点组成的集合：______．
【答案】
练习3．用描述法表示下列集合：
(1)奇数组成的集合；
(2)平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合．
【答案】(1)；
(2).
练习4．用描述法表示下列集合：
（1）小于1500的正偶数组成的集合；（2）所有矩形组成的集合.
【答案】（1）且；（2）是矩形.
练习5．用适当的方法表示下列集合：
（1）方程组的解集；
（2）方程的实数根组成的集合；
（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；
（4）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合.
【答案】（1）；（2）；（3）且；（4）.
练习6．用描述法表示下列集合：
（1） 所有被3整除的整数组成的集合；
（2） 集合{1， 3， 5， 7， 9}；
（3） 方程x2＋x＋1＝0的所有实数解组成的集合；
（4） 抛物线y＝－x2＋3x－6上所有点组成的集合；
【详解】
（1） {x|x＝3k， k∈Z}．
（2） {x|x＝2n＋1， 0≤n≤4且n∈N}．
（3） {x|x2＋x＋1＝0， x∈R}．
（4） {(x， y)|y＝－x2＋3x－6}．
列举法表示集合
例1．设M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，那么集合M等于（ ）
A．{长江，黄河} B． {长江，黑龙江}
C． {长江，珠江} D． {长江，黄河，黑龙江，珠江}
【答案】D
【详解】
∵M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，
∴M ={长江，黄河，黑龙江，珠江}.
故选：D.
例2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为，或，或，
所以，
故选：D
例3．方程的所有实数根组成的集合为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由，解得或，所以方程的所有实数根组成的集合为；
故选：C
例4．集合用列举法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为，所以，可得，
因为，所以，集合，
故选：B.
例5．用列举法表示下列集合：
(1){x|x是14的正约数}；
(2){(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}；
(3){(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}；
(4){x|x＝(－1)n, n∈N}；
(5){(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}.
【答案】(1){1, 2, 7, 14}
(2){(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
(3)
(4){－1, 1}
(5){(0, 8), (2, 5), (4, 2)}
练习1．集合用列举法表示是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
.
故选：D．
练习2．已知集合，则集合=______．（用列举法表示）
【答案】
【详解】
因，而，所以.
故答案为：
练习3．若、、且、，集合，则用列举法可表示为______.
【答案】
【详解】
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以用列举法可表示为.
故答案为：.
练习4．集合用列举法表示为______.
【答案】{2,3}##{3,2}
【详解】
方程的两个解为2或3，故集合
故答案为：
练习5．用列举法表示下列集合．
（1）不超过11的所有素数组成的集合：______；
（2）：_______；
（3）：_______．
【答案】
练习6．将集合用列举法表示为______．
【答案】
【详解】
因为，所以
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
综上，.
故答案为：
练习7．用列举法表示下列集合：
(1)组成中国国旗的颜色名称的集合；
(2)方程组的解集．
【答案】(1){红色，黄色}；
(2).
常考题型
题型一：根据元素与集合，集合与集合关系求参数
例1．若，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【详解】
若，则，不符合集合元素的互异性；
若，则或（舍），此时，符合题意；
综上所述：.
故选：A.
例2．已知集合 ，且 ，则实数m的值为（ ）
A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3
【答案】A
【详解】
解：因为，且，所以或，解得或或，当时，即集合不满足集合元素的互异性，故，当时集合不满足集合元素的互异性，故，当时满足条件；
故选：A
例3．若，则a2020+b2020的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．1或﹣1
【答案】C
【详解】
∵，根据集合中元素的性质可得：
∴，解得a=﹣1，b=0，
∴a2020+b2020=（﹣1）2020+0=1.
故选：C.
例4．设集合，，若，且，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【详解】
因为，， ，且，所以.
故选：C.
例5．设集合，集合，这里是某个正数，且，求集合．
【答案】B＝{0，7，3，1}．
【详解】
解：由题得， 解得或.
因为，所以.
当时， B＝{0，7，3，1}.
故集合B＝{0，7，3，1}．
练习1．已知集合，，则为（ ）
A．2 B． C．5 D．
【答案】BC
【详解】
依题意，
当时，或，
若，则，符合题意；
若，则，对于集合，不满足集合元素的互异性，所以不符合.
当时，或，
若，则，对于集合，不满足集合元素的互异性，所以不符合.
若，则，符合题意.
综上所述，的值为或.
故选：BC
练习2．已知集合，若，则（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．3
【答案】C
【详解】
因为，所以或，
而无实数解，所以.
故选：C.
练习3．若，则的可能值为（ ）
A．0，2 B．0，1
C．1，2 D．0，1，2
【答案】A
【详解】
因为，
当时，集合为，不成立；
当时，集合为，成立；
当时，则（舍去）或，当时，集合为，成立；
∴或.
故选：A
练习4．已知集合M有两个元素3和，且，则实数___________．
【答案】3
因为，且集合M有两个元素3和a+1，
所以或，
又不成立，所以
∴
故答案为：3
练习5．集合中所有元素之和为，则实数________．
【答案】
【详解】
由得或
所以或
依题意得，得
故答案为：．
练习6．若集合，且，则实数___________.
【答案】或.
【详解】
由题意，集合，且，
若时，可得，此时集合，符合题意；
若时，可得，此时，不满足集合元素的互异性，舍去；
若时，可得或（舍去），
当时，集合，符合题意，
综上可得，实数的值为或.
故答案为：或.
题型二：根据集合中元素个数求参数
例1．已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由题意可知，可得.
故选：D
例2．已知集合中有且只有一个元素，那么实数的取值可能是（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】AC
【详解】
当时，，符合题意.
当时，，符合题意.
故选：AC
例3．已知集合A是方程的解集．
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A是单元素集（集合中只有一个元素），求a的值；
(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)1
(3)
(1)
若，则或，当时，方程为，
其解为，所以A是单元素集．
当时，方程为，无实数解，所以A为空集．
所以，若A是空集，
则或
即，所以a的取值范围为；
(2)
由（1）可知，若A是单元素集，则或即；
(3)
由（1）（2）知，若A中至多只有一个元素，即A为空集或单元素集，则a的取值范围为.
练习1．已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值的集合是______
【答案】
【详解】
当时，只有一个解，
则集合有且只有一个元素，符合题意；
当时，若集合A中只有一个元素，
则一元二次方程有二重根，
即，即
综上，或，故实数a的取值的集合为
故答案为：
练习2．若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素，则a=________．
【答案】4
【详解】
解：中只有一个元素，
若，方程等价为，等式不成立，不满足条件．
若，则方程满足，即，解得或（舍去）．
故答案为：4
练习3．已知集合.
(1)若A是空集，求的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
(3)若A中至少有一个元素，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)当时集合，当时集合；
(3)
(1)
解： 是空集，
且，
，解得，
的取值范围为：；
(2)
解：①当时，集合，
②当时，，
，解得，此时集合，
综上所求，当时集合，当时集合；
(3)
解：中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或；
当中有2个元素时，则且，即，解得且；
综上可得时中至少有一个元素，即
练习4．已知．根据下列条件，求实数a的值构成的集合．
(1)当；
(2)当M是单元素集（只含有一个元素的集合）；
(3)当M是两个元素的集合.
【答案】(1)
(2)
(3)
(1)
，，，所以的范围是；
(2)
时，，满足题意，
，，此时，满足题意，
(3)
由题意方程有两个不等实根，且，解得且，
所以的范围是，．
题型三：根据性质求元素个数
例1．若以方程和的所有的解为元素组成集合，则中元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
或，
或，
所以，集合有个元素.
故选：C
例2．已知集合M＝{x∈N|4－x∈N}，则集合M中元素个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】
依题意，
，符合，
，符合，
，符合，
，符合，
，符合，
所以，共有个元素.
故选：C
例3．设集合A由实数构成，且满足：若（且），则．
(1)若，试证明集合A中有元素－1，；
(2)判断集合A中至少有几个元素，并说明理由；
(3)若集合A是有限集，求集合A中所有元素的积．
【答案】(1)证明见解析
(2)3个，理由见解析
(3)1或－1
(1)
证明：∵，∴．
∵，∴．
∴集合A中有元素－1，；
(2)
由题意，可知若（且），
则，，，
且，，，
故集合A中至少有3个元素；
(3)
由（2）知A中元素的个数为．
又集合A是有限集，且，
所以若为奇数，则集合A中所有元素的积为；
若为偶数，则集合A中所有元素的积为1．
所以集合A中所有元素的积为1或－1．
例4．设关于的方程的解集为．
（1）求证：中至少有2个元素；
（2）若中有3个元素，求的值及中3个元素之和．
【答案】（1）证明见解析；（2）；当时，中3个元素之和为；当时，中3个元素之和为3．
【详解】
（1）方程等价于或．
记方程的解集为，
因为，所以中含有2个元素．
又因为，所以中至少有2个元素．
（2）记方程的解集为，由（1）知，中恰有1个元素．
所以，因此，．
当时，，中2个元素之和为-2，所以中3个元素之和为；
当时，，中2个元素之和为2，所以中3个元素之和为3．
例5．设数集满足条件：①AR；②且；③若，则．
（1）若，则中至少有多少个元素；
（2）证明： 中不可能只有一个元素．
【答案】（1）三个元素； （2）证明见解析
【详解】
（1）若，则，∴ ，∴ ．
∴中至少有三个元素；
（2）假设中只有一个元素，设这个元素为a，由已知，即，此方程无实数解，这与A中只有一个元素a矛盾，所以A中不可能只有一个元素．
练习1．已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
由题意，当时， ，当，时， ，
当，时， ，
即C中有三个元素，
故选：C
练习2．已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题，当时最小为，最大为，且可得，故集合
故选：D
练习3．已知集合，则A中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【详解】
由，得，，
又，，所以，，
易知与的任意组合均满足条件，所以A中元素的个数为.
故选：A.
练习4．已知集合，，则集合B中元素个数为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【详解】
集合，，
则当时，有，当时，或，当时，或，
所以，集合B有中5个元素.
故选：A
练习5．已知集合A的元素全为实数，且满足：若，则．
（1）若，求出A中其他所有元素；
（2）是不是集合A中的元素？请你设计一个实数，再求出A中的元素；
（3）根据（1）（2），你能得出什么结论？
【答案】（1）；（2）不是A的元素；答案见解析；；（3）答案见解析．
【详解】
(1)由题意可知：，则，，，，
所以A中其他所有元素为；
(2)假设，则，而当时，不存在，假设不成立，
所以0不是A的元素，
取，则，，，，
所以当，A中的元素是：，，，；
(3)猜想中没有元素，0，1；中有4个元素，其中两个元素互为负倒数，另两个元素也互为负倒数.
由(2)知：，
若，则，与矛盾，则有，即都不在集合A中，
若实数，则，，
，，
又由集合元素互异性知，A中最多只有4个元素且，
显然否则，得无实数解，同理，，即A中有4个元素，
所以中没有元素；中有4个元素，其中两个元素互为负倒数，另两个元素也互为负倒数.
课后练习
1．已知集合，，则集合B中元素的个数是（ ）
A．6 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】
集合中的元素有，，，共4个，
故选：C.
2．若方程和方程的所有实数根组成的集合为M，则M中的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
解：方程和方程的实数根分别是2，3和2，-1，
又集合中的元素具有互异性，所以集合M中的元素个数为3个.
故选：C
3．若，则实数____________.
【答案】1.5或
【详解】
因为，
所以，解得.
故答案为：.
4．已知集合，若，求实数a的值_______
【答案】##
【详解】
由题可知：集合，
所以或，则或
当时，，不符合集合元素的互异性，
当时，，符合题意
所以，
故答案为：
5．已知集合A中含有两个元素和，若，则实数______．
【答案】或##或
【详解】
因为，所以或，解得或
故答案为：或
6．已知，则___________.
【答案】
【详解】
因为，所以或，
解得：或，
当时，，不满足元素的互异性，所以不成立，
当时，集合为，所以符合题意，
故答案为：.
7．已知集合，，若且，则_____．
【答案】
【详解】
因为，，所以可能的取值为，
因为，，所以的值不能取，
所以，
故答案为：.
8．已知集合，若，则实数___________.
【答案】
【详解】
解：由，，
若，解得：，
当时，，符合题意；
当时，，不满足元素的互异性，故不符合题意；
所以实数.
故答案为：.
9．若集合，则________．
【答案】
【详解】
解：由题意得：
集合
显然，，
故答案为：
10．已知集合与相等，则实数__________．
【答案】2
【详解】
因为集合与相等，则，解得．
故答案为：2.
11．已知实数集合，，若，则________．
【答案】-1
【详解】
根据集合中元素的互异性，在集合B中，由元素的互异性，可得：x+y≠|x|≠0，解得x≠0，x≠-y，因为A=B，所以集合A中只能=0，即y=0.此时A={x，0，1}，B={|x|，x，0}，则有|x|=1，且|x|≠x，所以x=-1.所以-1-0=-1.
故答案为：-1.
12．已知集合，且，则集合_____.
【答案】
【详解】
由题意，集合，且，
若，可得，此时集合不满足集合中元素的互异性，（舍去）；
若，可得或（舍去），
当时，可得，即.
故答案为：.
试卷第1页，共3页1.1集合的概念
知识点一 元素与集合的概念及符号表示
1.元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.
2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.
3.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.
4. 元素与集合的符号表示：通常用大写拉丁字母表示集合，用小写拉丁字母表示集合中的元素.
5.元素与集合的关系
关系 含义 记法 示例
属于 是集合中的元素，就说属于集合 所有正实数构成的集合记为，则，
不属于 不是集合中的元素，就说不属于集合
知识拓展
（1）集合的三个特性：
①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明.
②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象.
③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象.
（2）集合的分类：
根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.
①有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.
②无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.
（3） 对元素与集合关系的理解：
（1）或取决于是不是集合的元素，根据集合中元素的确定性，知对任何因素与集合，在与这两种情况中必有一种且只有一种成立.
（2）符号“”与“”是表示元素与集合之间的关系，不能用来表示集合与集合之间的关系，这一点要切记.
知识点二 集合中元素的特性
元素的特性 理 解
确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.
互异性 一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.
无序性 集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性.
知识拓展
集合中元素特性的应用
（1）确定性的应用：确定性是判断一组对象是否形成集合的标准，给定一个集合，则任何一个对象都能明确它是否为这个集合的元素，如“著名的科学家”中“著名的”是一个含糊不清的概念，没有统一的标准，所以它不能构成一个集合.
（2）互异性的应用：在同一个集合中，没有相同的元素，因而可以根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验，如一元二次方程的根组成的集合只含有一个元素1.
（3）无序性的应用：无序性主要应用在判断两个集合是否相等，只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的，如集合和是相等的.
知识点三 常用的数集及其记法
数集 含义 记法
非负整数集（自然数集） 全体非负整数组成的集合 Ｎ
正整数集 所有正整数组成的集合 Ｎ＊或Ｎ+
整数集 全体整数组成的集合 Ｚ
有理数集 全体有理数组成的集合 Ｑ
实数集 全体实数组成的集合 Ｒ
知识拓展
（1）通常情况下，大写英文字母Ｎ，Ｎ＊，Ｎ+，Ｚ，Ｑ，Ｒ不再表示其他的集合，否则会引起“混乱”的局面.
（2）对于上述常用的数集的意义是约定俗成的，解题中作为已知使用，不必重述它们的意义.
（3）对常用数集的记法要做到范围明确，即明确各数集符号所包含的元素，并且书写要规范.
（4）要记住0是最小的自然数.
知识点四 集合的表示方法
1. 自然语言法
自然语言 用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法
示例 不大于10的正整数组成的集合
2. 列举法
列举法 把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法叫做列举法
一般形式
示例 “中国古代四大发明”组成的集合用列举法表示为｛火药，造纸术，活字印刷，指南针｝
3. 描述法
描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.具体方法是，在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征
一般形式 ，其中是表示集合元素的一般符号，是这个集合中元素的共同特征
示例 不等式的解集用描述法表示为
知识拓展
（1）对于元素的个数确定的集合或元素的个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法.
用列举法表示集合时应注意：
①元素间用“，”而不是用“、”隔开；
②元素不能重复，不考虑顺序；
③集合中元素个数较多或无限（无限集）时，一般不采用列举法，但如果构成集合的元素有明显的规律时，可以采用列举法，但必须把元素间的规律表示清楚后才能用省略号.
（2）对于元素的个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法.
用描述法不是集合时应注意：
①先确定该集合元素的一般符号；
②写清楚元素的共同特征；
③不能出现未被说明的字母；
④多个特征之间的关系应正确使用“且”与“或”来描述；
⑤元素的共同特征尽量用数学符号表示；
⑥在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分，如｛直角三角形｝；
⑦如果从上下文的关系来看，表示代表元素的范围，如是明确的，此时可以省略，以求简洁.
基础题型
题型一：辨别是否构成集合
例1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）
A．某班视力较好的同学B．长寿的人C．的近似值D．倒数等于它本身的数
例2．给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近的实数的全体；③方程的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（ ）
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
例3．判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由．
(1)北京各区县的名称；(2)尾数是5的自然数；(3)我们班身高大于1.7m的同学．
练习1．下面各组对象中不能形成集合的是（ ）
A．所有的直角三角形 B．一次函数
C．高一年级中家离学校很远的学生 D．大于2的所有实数
练习2．下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与非常接近的全体实数
B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学 D．高一年级很有才华的老师
练习3．以下各组对象不能组成集合的是______（用题号填空）.
①中国古代四大发明 ②地球上的小河流③方程的实数解 ④周长为10cm的三角形⑤接近于0的数
题型二：判断是否是相同集合
例1．下列各组中M、P表示不同集合的是（ ）
A．， B．
C．，
D．，
例2．已知集合，，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
例3．下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．
（1）它们各自的含义是什么？（2）它们是不是相同的集合？
练习1．下列各组中M，P表示不同集合的是（ ）
A．M＝{3，－1}，P＝{3，－1}
B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}
C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
练习2．下列四组集合中表示同一集合的为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
练习3．设集合，则下列集合中与集合相等的是（ ）
A． B． C． D．
练习4．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．
练习5．有下列三个集合：①{x|y＝x2+1，y≥1，y∈R}；②{y|y＝x2+1，x∈R}；③{（x，y）|y＝x2+1}；
（1）它们是不是相同的集合？
（2）它们的各自含义是什么？
题型三：判断元素与集合的关系
例1．下列关系中，正确的是（ ）
A． B． Q C．－3∈N D． ∈Z
例2．给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例3．给出下列关系：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
例4．若集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
例5．元素与集合的关系及常用数集
（1）如果a是集合A的元素，就说a___________集合A，记作a___________A；如果a不是集合A中的元素，就说a___________集合A，记作a___________A．
（2）数学中一些常用的数集及其记法
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 _____ _____ _____ _____ _____
例6．元素与集合的相关概念
（1）元素：一般地，把___________统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
（2）集合：把一些___________组成的总体叫做集合，简称为___________，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
（3）集合相等：构成两个集合的元素是___________的．
（4）集合中元素的特性：___________、互异性和无序性．
练习1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
练习2．用“”或“”填空．
___________N；___________Z；___________Q；___________R．
练习3．已知集合，那么正确的是( )
A． B． C． D．
练习4．用符号“”和“”填空：
（1）______N； （2）1______； （3）______R；
（4）______； （5）______N； （6）0______．
练习5．用符号“”或“”填空：
（1）______；（2）______；（3）______；（4）______.
练习6．若实数，集合，则与的关系是______.
练习7．选用适当的符号填空：
（1）若集合，，则______， ______
（2）若集合，则______
题型四：集合的表示方法
自然语言表示集合
例1．用自然语言描述下列集合：
(1)； (2)； (3).
练习1．下列集合的表示方法正确的是(　　)
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的解集为{x<5}
C．{全体整数} D．实数集可表示为R
描述法表示集合
例1．一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有___________的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．
例2．判断正误．
（1）集合是用描述法表示的一个集合．( )
（2）集合是有限集．( )
（3）集合与集合表示同一个集合．( )
例3．选择适当的方法表示下列集合：
(1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A；
(2)所有正奇数组成的集合B；
(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C；
(4)直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D．
例4．表示方程的根的集合，用列举法可以表示为______，用描述法可表示为____ __.
例5．用描述法表示所有奇数组成的集合________．
练习1．用描述法表示所有偶数组成的集合__________．
练习2．用描述法表示下列集合．
（1）小于5的正有理数组成的集合：______；
（2）平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的所有点组成的集合：______；
（3）偶数集：______；
（4）抛物线上的所有点组成的集合：______．
练习3．用描述法表示下列集合：
(1)奇数组成的集合；
(2)平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合．
练习4．用描述法表示下列集合：
（1）小于1500的正偶数组成的集合；（2）所有矩形组成的集合.
练习5．用适当的方法表示下列集合：
（1）方程组的解集；
（2）方程的实数根组成的集合；
（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；
（4）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合.
练习6．用描述法表示下列集合：
（1） 所有被3整除的整数组成的集合；
（2） 集合{1， 3， 5， 7， 9}；
（3） 方程x2＋x＋1＝0的所有实数解组成的集合；
（4） 抛物线y＝－x2＋3x－6上所有点组成的集合；
列举法表示集合
例1．设M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，那么集合M等于（ ）
A．{长江，黄河} B． {长江，黑龙江}
C． {长江，珠江} D． {长江，黄河，黑龙江，珠江}
例2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
例3．方程的所有实数根组成的集合为（　　）
A． B． C． D．
例4．集合用列举法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
例5．用列举法表示下列集合：
(1){x|x是14的正约数}；
(2){(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}；
(3){(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}；
(4){x|x＝(－1)n, n∈N}；
(5){(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}.
练习1．集合用列举法表示是（ ）
A． B．
C． D．
练习2．已知集合，则集合=______．（用列举法表示）
练习3．若、、且、，集合，则用列举法可表示为______.
练习4．集合用列举法表示为______.
练习5．用列举法表示下列集合．
（1）不超过11的所有素数组成的集合：______；
（2）：_______；
（3）：_______．
练习6．将集合用列举法表示为______．
练习7．用列举法表示下列集合：
(1)组成中国国旗的颜色名称的集合；(2)方程组的解集．
常考题型
题型一：根据元素与集合，集合与集合关系求参数
例1．若，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
例2．已知集合 ，且 ，则实数m的值为（ ）
A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3
例3．若，则a2020+b2020的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．1或﹣1
例4．设集合，，若，且，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
例5．设集合，集合，这里是某个正数，且，求集合．
练习1．已知集合，，则为（ ）
A．2 B． C．5 D．
练习2．已知集合，若，则（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．3
练习3．若，则的可能值为（ ）
A．0，2 B．0，1
C．1，2 D．0，1，2
练习4．已知集合M有两个元素3和，且，则实数___________．
练习5．集合中所有元素之和为，则实数________．
练习6．若集合，且，则实数___________.
题型二：根据集合中元素个数求参数
例1．已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例2．已知集合中有且只有一个元素，那么实数的取值可能是（ ）
A． B．1 C．0 D．
例3．已知集合A是方程的解集．
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A是单元素集（集合中只有一个元素），求a的值；
(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
练习1．已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值的集合是______
练习2．若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素，则a=________．
练习3．已知集合.
(1)若A是空集，求的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
(3)若A中至少有一个元素，求的取值范围.
练习4．已知．根据下列条件，求实数a的值构成的集合．
(1)当；
(2)当M是单元素集（只含有一个元素的集合）；
(3)当M是两个元素的集合.
题型三：根据性质求元素个数
例1．若以方程和的所有的解为元素组成集合，则中元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例2．已知集合M＝{x∈N|4－x∈N}，则集合M中元素个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例3．设集合A由实数构成，且满足：若（且），则．
(1)若，试证明集合A中有元素－1，；
(2)判断集合A中至少有几个元素，并说明理由；
(3)若集合A是有限集，求集合A中所有元素的积．
例4．设关于的方程的解集为．
（1）求证：中至少有2个元素；
（2）若中有3个元素，求的值及中3个元素之和．
例5．设数集满足条件：①AR；②且；③若，则．
（1）若，则中至少有多少个元素；
（2）证明： 中不可能只有一个元素．
练习1．已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
练习2．已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
练习3．已知集合，则A中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
练习4．已知集合，，则集合B中元素个数为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
练习5．已知集合A的元素全为实数，且满足：若，则．
（1）若，求出A中其他所有元素；
（2）是不是集合A中的元素？请你设计一个实数，再求出A中的元素；
（3）根据（1）（2），你能得出什么结论？
课后练习
1．已知集合，，则集合B中元素的个数是（ ）
A．6 B．3 C．4 D．5
2．若方程和方程的所有实数根组成的集合为M，则M中的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若，则实数____________.
4．已知集合，若，求实数a的值_______
5．已知集合A中含有两个元素和，若，则实数______．
6．已知，则___________.
7．已知集合，，若且，则_____．
8．已知集合，若，则实数___________.
9．若集合，则________．
10．已知集合与相等，则实数__________．
11．已知实数集合，，若，则________．
12．已知集合，且，则集合_____.
试卷第1页，共3页

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