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第3节　函数的奇偶性与周期性
　
[课标要求]　①结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．②结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且 f(－x)＝f(x) 关于y轴对称
奇函数 f(－x)＝－f(x) 关于原点对称
2．函数的周期性
(1)周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
(一)必背常用结论
1．函数奇偶性的四个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0．
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
(4)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)，其图象关于点(a，0)对称；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)，其图象关于x＝a对称．
2．周期性的几个常用结论
对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则
(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则T＝2a(a＞0)；
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)；
(3)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)；
(4)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)．
3．函数的图象的对称性
(1)对于函数y＝f(x)，若有f(M)＝f(N)且M＋N＝a(常数)，则其图象关于直线x＝对称；
(2)对于函数y＝f(x)，若有f(M)＋f(N)＝b(常数)且M＋N＝a(常数)，则其图象关于点中心对称；
(3)若函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称和x＝b对称，则函数具有周期性，且周期T＝2|a－b|；
若函数y＝f(x)的图象关于点和点对称，则函数具有周期性，且周期T＝2；
若函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称和点(b，0)对称，则函数具有周期性，且周期T＝4|a－b|．
(二)盘点易错易混
1．具有奇偶性的函数易忽视定义域的对称性这一必要条件；
2．利用奇偶性求解析式时忽视定义域，如在利用奇函数性质求定义域为R的函数在对称区间上的解析式时，容易忽略x＝0，即f(0)＝0的情况；
【小题热身】
1．下列函数中为偶函数的是(　　 )
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
解析：A中函数为奇函数，B中函数为偶函数，C与D中函数均为非奇非偶函数．故选B．
答案：B
2．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝log3(x＋1)＋a，则f(－8)＝(　　 )
A．－3－a B．3＋a
C．－2 D．2
解析：因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝a＝0，f(－8)＝－f(8)＝－log3(8＋1)＝－2．
答案：C
3．
设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．
解析：由函数f(x)为奇函数，作出函数在[－5，0)上的图象，如图所示，由图象知，不等式f(x)<0的解集为(－2，0)∪(2，5]．
答案：(－2，0)∪(2，5]
4．已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＝－，当x∈(0，2]时，f (x)＝2x－1，则f (9)＝________．
解析：因为f (x＋2)＝－，所以f (x＋4)＝－＝f (x)，得T＝4，f (9)＝f (1)＝1．
答案：1
5．[易错题]已知f(x)是R上的奇函数，且对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(2 022)＝________．
解析：∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(0)＝0，又对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，
∴当x＝－3时，有f(3)＝f(－3)＋f(3)＝0，
∴f(－3)＝0，f(3)＝0，∴f(x＋6)＝f(x)，周期为6．
故f(2 022)＝f(0)＝0．
答案：0
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__函数的奇偶性[多维讲练]
函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是高考考查的热点，常以客观题呈现，难度偏小．常见考查角度有：(1)函数奇偶性的判断；(2)利用奇偶性求值；(3) 利用奇偶性求解析式；(4) 利用奇偶性求参数．
角度1　函数奇偶性的判断
【例1】　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3) f(x)＝
(4)f(x)＝log2(x＋)．
解：(1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，关于原点对称．
从而f(x)＝＋＝0．
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称．
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝．
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(3) 法一　由函数f(x)＝知其图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．
法二　易知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2＋x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)，故原函数是偶函数．
法三　f(x)还可以写成f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故f(x)为偶函数．
(4)显然函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝log2[－x＋]
＝log2(－x)
＝log2(＋x)－1
＝－log2(＋x)＝－f(x)
故f(x)为奇函数．
[思维升华]　判定函数奇偶性的3种常用方法
(1)定义法
(2)图象法
(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
角度2　利用奇偶性求值
【例2】　(2021·宁夏六盘山高级中学一模)设函数f＝的最大值为M，最小值为m，则m＋M＝___________．
解析：f＝＝1＋，令g(x)＝，则g(x)为奇函数，
所以g(x)的最大值和最小值和为0，又g(x)＝f(x)－1．
有M－1＋m－1＝0，即m＋M＝2．
答案：2
角度3　利用奇偶性求解析式
【例3】　(2019·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)等于(　　 )
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
解析：当x<0时，－x>0，
∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，
∴f(－x)＝e－x－1．
又∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1．
答案：D
角度4　利用奇偶性求参数
【例4】　(2021·上海位育中学)若函数f(x)＝xloga是偶函数，则a＝______．
解析：由于f(x)＝xloga为偶函数，所以f(1)＝f(－1)，
则：loga＝－loga，
loga＋loga＝0，
所以：loga[]＝0，
即：loga2a2＝0，所以：2a2＝1，解得：a＝．
答案：
[思维升华]　利用函数奇偶性可以解决以下问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式区间上的函数值．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象．
(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．
[对点练]　1．(多选)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上是增函数的有(　　 )
A．y＝2－|x| B．
C．y＝x2－1 D．y＝x3
解析：对于A，令y＝f(x)＝2－|x|，f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，是偶函数，但在(0，＋∞)上，y＝2－x是减函数，故A错误；对于B，令y＝f(x)＝，f(－x)＝，是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，故B正确；对于C，令y＝f(x)＝x2－1，f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，故C正确；对于D令y＝f(x)＝x3，f(－x)＝ (－x)3＝－x3＝－f(x)，是奇函数，故D错误．故选BC．
答案：BC
2．(2021·陕西宝鸡二模)已知f是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)＋t，f＝______．
解析：∵f是定义在R上的奇函数，又当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)＋t，
∴f＝log2(0＋2)＋t＝0，
∴t＝－1，
∴当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－1，
∴f＝－f＝－＝－＝－2．
答案：－2
3．函数f是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f＝a－2x，则f(x) ＝____________．
解析：f＝a－1＝0，a＝1，当x<0时，－x>0，f＝－x＋1－2－x＝－f
即f＝x－1＋2－x，f＝
答案：
4．已知函数f＝是奇函数，则f的值等于__________
解析：∵f为奇函数，∴f＝－f，即＝－，
∴＝＝，整理可得：2x－a2·2x＝a2·2x－2x，
∴a2＝1，解得：a＝±1；
当a＝1时，f＝，
∴f＝f＝＝－；
当a＝－1时，f＝，
∴f＝f＝＝3；
综上所述：f＝－或3．
答案：－或3
考点2__函数的周期性[典例引领]
【例5】　(1)(2021·湖南六校联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 020)＝(　　 )
A．5 B．
C．2 D．－5
(2)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________．
解析：(1)由f(x)＝－f(x＋2)，
得f(x＋4)＝f(x)，
所以函数f(x)是周期为4的周期函数，
所以f(2 020)＝f(505×4)＝f(0)＝－f(0＋2)
＝－(22＋log22)＝－5．
(2)由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，
可知函数f(x)的周期是4，
所以f(15)＝f(－1)＝＝，
所以f(f(15))＝f＝cos ＝．
答案：(1)D　(2)
[思维升华]　函数周期性有关问题的求解策略
(1)求解与函数周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性．
[对点练]　1．已知f(x)满足 x∈R，f(x＋2)＝f(x)，且x∈[1，3)时，f(x)＝log2x＋1，则f(2 021)的值为(　　 )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：因为f(x)满足 x∈R，f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为2，又2 021＝2×1 010＋1，且x∈[1，3)时，f(x)＝log2x＋1，因此f(2 021)＝f(1)＝1．
答案：C
2．(2022·重庆八校联考)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f＝________．
解析：∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f(x)，
∴f＝f，又2≤x≤3时，f(x)＝x，
∴f＝，∴f＝．
答案：
考点3__函数性质的综合应用[多维讲练]
对函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合考查一直是高考的热点，主要以选择题、填空题为主，难度中等．常见考查角度有：(1)函数的单调性与奇偶性相结合；(2)函数的奇偶性与周期性相结合；(3)函数的单调性、奇偶性和周期性相结合等．
角度1　函数的单调性与奇偶性相结合
【例6】　(2020·新高考全国卷Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　 )
A．[－1，1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞)
D．[－1，0]∪[1，3]
解析：因为定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上也是单调递减，且f(－2)＝0，f(0)＝0，
所以当x∈(－∞，－2)∪(0，2)时，f(x)>0；
当x∈(－2，0)∪(2，＋∞)时，f(x)<0．
所以由xf(x－1)≥0可得
或
或x＝0，
解得－1≤x≤0或1≤x≤3，所以满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3]．
答案：D
[思维升华]　(1)利用偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，实现不等式的等价转化．
(2)注意偶函数的性质f(x)＝f(|x|)的应用．
角度2　函数的奇偶性与周期性相结合
【例7】　(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(x－1)．若当x∈[－，0]时，f(x)＝2－x，则f(514)＝________．
思维建模：
解析：∵f(x＋2)＝f(x－1)，
∴f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)的周期为3，
∵514＝171×3＋1，∴f(514)＝f(1)．
又f(x)为偶函数，
∴f(514)＝f(1)＝f(－1)＝2．
答案：2
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)＝－f(x＋1)，数列是首项为1、公差为1的等差数列，则f＋f＋f＋…＋f的值为(　　 )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：∵f(x)＝－f(x＋1)，
∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
即f(x)是以2为周期的函数，
而f(x)＝－f(x＋1)，∴f(1)＋f(2)＝0，
又∵数列是首项为1、公差为1的等差数列，∴an＝n，
∴f＋f＋f＋…＋f
＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(51)
＝25＋f＝f(1)，
又∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，
而f(x)＝－f(x＋1)，∴f(0)＋f(1)＝0，∴f(1)＝0，
∴f＋f＋f＋…＋f＝0．
答案：B
[思维升华]　利用函数的奇偶性和周期性把所求的函数值转化到已知函数解析式的区间上的函数值，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质．
角度3　函数单调性、奇偶性和周期性相结合
【例8】　定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，2)上单调递减，则下列结论正确的是(　　 )
A．0C．f(1)<0[思维点拨]　由奇偶性与单调性可知函数在(－2，2)上单调递减，然后利用周期性把f(3)转化到单调区间(－2，2)上即可．
解析：由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0．
由f(x＋2)＝－f(x)，
得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
故函数f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(3)＝f(－1)．
又f(x)在[0，2)上单调递减，
所以函数f(x)在(－2，2)上单调递减，
所以f(－1)>f(0)>f(1)，
即f(1)<0答案：C
[思维升华]　解决函数的周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．
[对点练]　1．奇函数f满足f＝f，当x∈时，f＝log2，则f＝(　　 )
A．0 B．1
C．2 D．－1
解析：因为函数f为奇函数，则f＝log2a＝0，解得a＝1，
所以，当x∈时，f＝log2，
由已知条件可得f＝f＝－f＝f，
所以，函数f是以4为周期的周期函数，则f＝f＝log22＝1．
答案：B
2．已知奇函数f (x)在R上是增函数，g(x)＝xf (x)．若a＝g(－log25．1)，b＝g(20．8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　 )
A．aC．b解析：易知g(x)＝xf (x)在R上为偶函数，
因为奇函数f (x)在R上单调递增，且f (0)＝0．
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又3>log25．1>2>20．8，且a＝g(－log25．1)＝g(log25．1)，
所以g(3)>g(log25．1)>g(20．8)，即c>a>b．
答案：C
3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1，0)对称．以下关于f(x)的结论：
①f(x)是周期函数；
②f(x)在(0，2)上单调递减；
③f(x)满足f(x)＝f(4－x)；
④f(x)＝cos 是满足条件的一个函数．
其中正确的结论是________．(填序号)
解析：因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，因为f(x)的图象关于点(1，0)对称，故有f(－x)＝－f(2＋x)，故f(x＋2)＝－f(x)，故有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的周期函数，故①正确．由f(－x)＝f(x)＝f(x＋4)，把x替换成－x可得f(x)＝f(4－x)，故③正确．f(x)＝cos 是定义在R上的偶函数，(1，0)是它的图象的一个对称中心，可得④正确．取f(x)＝－cos 时满足题设条件，但它在(0，2)上单调递增，故②错误．
答案：①③④
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养
活用函数性质中的三类“二级结论”
在解决与函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性四大性质有关问题时，若能够灵活运用它们所衍生出的“二级结论”，则可以大大提高效率，节省时间，起到“事半功倍”的效果．
结论一　若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c．
[结论简证]
由于函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋c＋f(x)＋c＝2c．
【例1】　对于函数f(x)＝a sin x＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是(　　 )
A．4和6 B．3和1
C．2和4 D．1和2
解析：　设g(x)＝a sin x＋bx，则f(x)＝g(x)＋c，且函数g(x)为奇函数．注意到c∈Z，所以f(1)＋f(－1)＝2c为偶数．故选D．
答案：D
[思维升华]　由上述例题可知，这类问题的求解关键在于观察函数的结构，构造出一个奇函数．有些问题是直观型的，直接应用即可，但有些问题是复杂型的，需要变形才能成功．
[对点练]　已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于(　　 )
A．0 B．2
C．4 D．8
解析：f(x)＝＝2＋，设g(x)＝，因为g(x)的定义域为R，关于原点对称，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0．因为M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4．
答案：C
结论二　若函数f(x)是奇函数，则函数g(x)＝f(x－a)＋h的图象关于点(a，h)对称．
[结论简证]
函数g(x)＝f(x－a)＋h的图象可由f(x)的图象平移得到，不难知道结论成立．
【例2】　函数f(x)＝＋＋的图象的对称中心为(　　 )
A．(－4，6) B．(－2，3)
C．(－4，3) D．(－2，6)
解析：　设g(x)＝－－－，则g(－x)＝－－－＝＋＋＝－g(x)，故g(x)为奇函数．易知f(x)＝3－＝g(x＋2)＋3，所以函数f(x)的图象的对称中心为(－2，3)．故选B．
答案：B
[思维升华]　此类问题求解的关键是从所给函数式中分离(或变形)出奇函数，进而得出图象的对称中心，然后利用图象的对称性实现问题的求解．
结论三　若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)．
[结论简证]
当x≥0时，|x|＝x，所以f(|x|)＝f(x)；
当x<0时，f(|x|)＝f(－x)，由于函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故f(|x|)＝f(x)．
综上，若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)．
【例3】　设函数f(x)＝ln (1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是________．
解析：易知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为偶函数．当x≥0时，f(x)＝ln (1＋x)－，易知此时f(x)单调递增．所以f(x)>f(2x－1) f(|x|)>f(|2x－1|)，所以|x|>|2x－1|，解得答案：　
[思维升华]　若函数f(x)为偶函数且当x≥0时为增函数，则f(M)>f(N) |M|＞|N|．
[对点练]　若偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则f(x－2)>0的条件为________．
解析：由f(x)＝x3－8(x≥0)，知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0．所以，由已知条件可知f(x－2)>0 f(|x－2|)>f(2)．所以|x－2|>2，解得x<0或x>4．
答案：　{x|x<0或x>4}
课下巩固培优卷(七)
【A/基础巩固题组】
1．(2021·重庆一中月考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　 )
A．y＝x－1 B．y＝|x|＋1
C．y＝ D．y＝－x2
解析：对于A，y＝x－1在(0，＋∞)上递增，为非奇非偶函数，A错误；
对于B，y＝|x|＋1为偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，B正确；
对于C，y＝为奇函数，故C错误；
对于D，y＝－x2为偶函数，但在(0，＋∞)上单调递减，D错误．故选B．
答案：B
2．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是(　　 )
A．f(x)·g(x)是偶函数
B．|f(x)|·g(x)是奇函数
C．f(x)·|g(x)|是奇函数
D．|f(x)·g(x)|是偶函数
解析：∵f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．
对于A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，函数是奇函数，故A错误．
对于B，|f(－x)|·g(－x)＝|f(x)|·g(x)，函数是偶函数，故B错误．
对于C，f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|，函数是奇函数，故C正确．
对于D，|f(－x)·g(－x)|＝|f(x)·g(x)|，函数是偶函数，故D正确．
答案：CD
3．(2021·广东广州二模)已知函数f＝为奇函数，则a＝(　　 )
A．－1 B．
C．－ D．1
解析：函数的定义域为且
因为f＝为奇函数，所以定义域关于原点对称，则a＝1，
所以f＝＝，
因为f＝＝＝－f(x)，满足f(x)为奇函数．
答案：D
4．已知f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)＝x2＋ln x，则f(2 023)＝(　　 )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：由题意可得：f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－＝－1．
答案：A
5．(2020·湖北八校联考)定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f＝0，则满足f(logx)＞0的x的取值范围是(　　 )
A．(0，＋∞) B．∪(1，2)
C．∪ D．
解析：由已知得f＝－f＝0，且f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调递增，由f＞0，得logx＞或－＜logx＜0，解得0＜x＜或1＜x＜2，所以满足f(logx)＞0的x的取值范围是∪(1，2)． 故选B．
答案：B
6．偶函数f(x)满足f(－x)＝f(x＋)，且在x∈时，f(x)＝log2x－1，则f(－2－1)＝(　　 )
A．log27－2 B．1
C．log23－2 D．log27－1
解析：因为函数是偶函数，f(－x)＝f(x＋)，
所以f(－x)＝f(x＋＋)＝f(x＋1)＝f(x)，
所以函数的周期为1，所以f(－2－1)＝f(－)＝f()＝f()＝log2－1＝log27－2．
答案：A
7．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且在[0，1]上是增函数，则有(　　 )
A．fB．fC．fD．f解析：由题设知f(x)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．又函数f(x)是奇函数，其图象关于坐标原点对称，由于函数f(x)在[0，1]上是增函数，故f(x)在[－1，0]上也是增函数，综上函数f(x)在[－1，1]上是增函数，在[1，3]上是减函数．又f＝f＝f，所以f答案：B
8．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________________．
解析：∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝＋1，
∴当x<0时，－x>0，
f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，
即当x<0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1．
答案：－－1
9．已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln (1－x)，
函数f (x)＝若f (6－x2)>f (x)，则实数x的取值范围是________．
解析：因为g(x)是奇函数，所以当x>0时，g(x)＝－g(－x)＝ln (1＋x)．易知f (x)在R上是增函数，由f (6－x2)>f (x)，可得6－x2>x，即x2＋x－6<0，所以－3答案：(－3，2)
10．已知函数f是定义在R上的奇函数，若f＝－，则f＝______．
解析：因为函数f是定义在R上的奇函数，所以f＝－＝－＝0，解得a＝2，
即f＝－，经验证符合题意，
所以f＝－＝－＝－．
答案：－
【B/能力提升题组】
11．已知f＝为奇函数，则f＋g＝(　　 )
A．2＋log23 B．1
C．0 D．－log23
解析：因为f＝为奇函数，
所以g＝1－log22x．
所以g＝1－log24＝－1，
所以f＝f(－1)＝－1＋log22＝0．f＝－1＋log216＝3，
所以g＝g＝1－log26，
所以f＋g＝1－log26＝1－log22－log23＝－log23．
答案：D
12．(多选)已知函数f(x)对 x∈R，满足f(x)＝－f(6－x)，f(x＋1)＝f(－x＋1)，若f(a)＝－f(2 020)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上为单调函数，则下列结论正确的是(　　 )
A．f(3)＝0
B．a＝8
C．f(x)是周期为4的周期函数
D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称
解析：∵f(x)＝－f(6－x)，∴y＝f(x)的图象关于点(3，0)对称．∵f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴f(x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，D错误．又f(x)＝－f(6－x)，∴－f(6－x)＝f(2－x)，∴f(x)＝－f(x＋4)，∴f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x)，∴f(x)是周期为8的周期函数，C错误．∵f(a)＝－f(2 020)＝－f(252×8＋4)＝－f(4)＝f(0)，a∈[5，9]，∴a＝8，B正确．∵f(3)＝－f(6－3)＝－f(3)，∴f(3)＝0，A正确．故选AB．
答案：AB
13．(多选)(2021·重庆模拟)已知函数f＝ln ，g＝，则(　　 )
A．函数f与g的图象关于直线y＝x对称
B．函数f与g都为增函数，且都为偶函数
C．函数f与g都为增函数，且都为奇函数
D．g为奇函数，f既不是奇函数也不是偶函数
解析：f(－x)＝ln [－x＋]＝ln (－x)＝ln ＝－ln (x＋)＝－f(x)，且x∈R，故f(x)为奇函数，排除BD；
g(－x)＝＝＝－＝－g(x)，且x∈R，故g(x)为奇函数，
∵y＝x＋、y＝ln x单调递增，故f(x)单调递增；y＝ex、y＝－e－x单调递增，故g(x)单调递增，
∴C正确，
若y＝g(x)＝，即e2x－2yex－1＝0(ex>0)，则ex＝y＋，
∴x＝ln (y＋)，且g(x)与f(x)的定义域、值域均为R，即它们互为反函数，关于y＝x对称，即A正确．
答案：AC
14．(2021·四川南充第一次适应性考试)已知函数f(x)＝＋sin x，则f(－5)＋f(－4)＋f(－3)＋f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)的值是________．
解析：f(x)＝＋sin x＝＋sin x＝＋x＋sin x，所以f(－x)＝－x＋sin (－x)＝－x－sin x，所以f(x)＋f(－x)＝＋＝2，所以f(0)＋f(0)＝2，解得f(0)＝1，所以f(－5)＋f(－4)＋f(－3)＋f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝5×2＋1＝11．
答案：11
15．给出关于函数f(x)的一些限制条件：①在(0，＋∞)上单调递减；②在(－∞，0)上单调递增；③是奇函数；④是偶函数；⑤f(0)＝0．在这些条件中，选择必需的条件，补充在下面问题中，并解决这个问题．定义在R上的函数f(x)，________(填写你选定条件的序号)，且f(－1)＝0．求不等式f(x－1)＞0的解集．
解：由题意易知条件①和②只能选择一个，否则可能产生矛盾；条件③和④也只能选择一个，否则f(x)就变成恒等于0的常数函数，失去研究价值．
选择条件①③．由f(x)是定义在R上的奇函数，可知f(0)＝0，且f(x)在关于原点对称的区间上的单调性一致，且f(1)＝－f(－1)＝0，因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以当0＜x＜1或x＜－1时，f(x)＞0，当x≥1或－1≤x≤0时，f(x)≤0．f(x－1)＞0 0＜x－1＜1或x－1＜－1，即1＜x＜2或x＜0．
故不等式f(x－1)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，2)．
选择条件①④⑤．因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，注意到f(－1)＝0，所以f(x－1)＞0 f(x－1)＞f(－1) f(|x－1|)＞f(|－1|) |x－1|＜1 0＜x＜2，但x－1≠0，所以不等式f(x－1)＞0的解集为(0，1)∪(1，2)．
选择其他条件组合的解法类似．
如果同时选择条件③④．易知f(x)＝0恒成立，不等式f(x－1)＞0的解集为空集．

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