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第4节　 幂函数与二次函数　
[课标要求]　(1)幂函数：通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数．
(2)二次函数：①理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．②能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
图象
性质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
单调性 在R上单调递增 (－∞，0]上单调递减；(0，＋∞)上单调递增 R上单调递增 [0，＋∞)上单调递增 (－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
公共点 (1，1)
2．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
3．二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 R R
值域
单调性 在x∈上单调递减；在x∈上单调递增 在x∈上单调递增；在x∈上单调递减
对称性 函数的图象关于x＝－对称
(一)必背常用结论
1．幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的三个重要结论
(1)当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增．
(2)当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减．
(3)当x∈(0，1)时，α越大，函数值越小，当x∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大．
2．根与系数的关系
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝b2－4ac＞0时，其图象与x轴有两个交点M1(x1，0)，M2(x2，0)，这里的x1，x2是方程f(x)＝0的两个根，且|M1M2|＝|x1－x2|＝．
(二)盘点易错易混
1．二次函数图象特征及性质把握不准；
2．对于函数y＝ax2＋bx＋c，若它是二次函数，则必须满足a≠0．当题目条件中未说明a≠0时，就要分a＝0和a≠0两种情况讨论；
3．解决含参的二次函数最值问题时，不要忽视对称轴；
4．要注意区分幂函数与指数函数．
【小题热身】
1．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝(　　 )
A． B．4
C． D．
解析：设f(x)＝xα，∵图象过点，∴f(4)＝4α＝，解得α＝－，∴f(2)＝2－＝．
答案：C
2．如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为(　　 )
A．cC．b解析：根据幂函数的性质，当α>0时，y在(0，＋∞)上单调递增，α<0时，y在(0，＋∞)上单调递减，所以a<0，b、c>0，又②增的快，所以b>c，即b>c>a．故选D．
答案：D
3．(2022·辽宁实验中学模拟)幂函数f＝xm2－2在为增函数，则m的值是(　　 )
A．－1 B．3
C．－1或3 D．1或－3
解析：∵f为幂函数，∴m2－2m－2＝1，解得：m＝－1或m＝3；
当m＝－1时，f＝x－1，则f在上为减函数，不合题意；
当m＝3时，f＝x7，则f在上为增函数，符合题意．
综上所述：m＝3．
答案：B
4．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于(　　 )
A．3 B．2或3
C．2 D．1或2
解析：函数f(x)＝x2－2x＋2在[1，b]上递增，
由已知条件得即解得b＝2．
答案：C
5．[易错题]当x∈(0，1)时，函数y＝xm的图象在直线y＝x的上方，则m的取值范围是________．
解析：当m>0时，根据题意知m<1，所以0答案：(－∞，1)
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__幂函数的图象与性质[自主演练]
1．幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　　 )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3＜0，即－1＜m＜3；又从图象看，函数是偶函数，故m2－2m－3为负偶数，将m＝0，1，2分别代入，可知当m＝1时，m2－2m－3＝－4，满足要求．
答案：C
2．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是(　　 )
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
解析：设幂函数f(x)＝xα，代入点(3，)，得＝3α，解得α＝，所以f(x)＝x，可知函数为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增．
答案：C
3．(2021·重庆三模)已知幂函数y＝xm在上单调递减，则m＝___________．
解析：由题意m2－3m－3＝1，解得m＝－1或m＝4，
若m＝4，则函数为y＝x4，在(0，＋∞)上单调递增，不合题意．
若m＝－1，则函数为y＝，在(0，＋∞)上单调递减，满足题意．
答案：－1
4．若，则实数a的取值范围是________________________．
解析：不等式等价于a＋1>3－2a>0或3－2a答案：(－∞，－1)∪
[思维升华]　(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
考点2__求二次函数的解析式[典例引领]
【例1】　(一题多法)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
解：法一　(利用二次函数的一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
故所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7．
法二　(利用二次函数的顶点式)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝＝．
∴m＝，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，
∴y＝f(x)＝a＋8．
∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7．
法三　(利用零点式)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1．
又函数有最大值ymax＝8，即＝8．
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7．
[思维升华]　求二次函数解析式的方法
[对点练]　1．(零点式)已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为_____________．
解析：∵f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，
∴f(x)图象的对称轴为直线x＝2，
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3，
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，
∵f(x)的图象过点(4，3)，
∴3a＝3，∴a＝1，
∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3．
答案：f(x)＝x2－4x＋3
2．(顶点式)已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________________．
解析：设f(x)＝a＋49(a≠0)，方程a＋49＝0的两个根分别为x1，x2，则|x1－x2|＝2＝7，所以a＝－4，
所以f(x)＝－4x2－12x＋40．
答案：f(x)＝－4x2－12x＋40
考点3__二次函数的图象和性质[多维讲练]
二次函数作为一个重要的函数类型贯穿整个高中数学，因此必须熟练掌握，高考对二次函数的考查主要是小题，常与其他知识(如导数、解析几何等等)结合考查．常见的考查角度有：(1)二次函数的图象；(2)二次函数的单调性；(3)二次函数的最值．
角度1　二次函数的图象
【例2】　(1)已知函数f (x)＝ax2－x－c，且f (x)>0的解集为(－2，1)，则函数y＝f (－x)的图象为(　　 )
(2)(多选题)
如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1．下面四个结论中正确的是(　　 )
A．b2>4ac B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0 D．5a解析：(1)因为函数f (x)＝ax2－x－c，且f (x)>0的解集为(－2，1)，所以－2，1是方程ax2－x－c＝0的两根．所以a＝－1，c＝－2．所以f (x)＝－x2－x＋2．所以函数y＝f (－x)＝－x2＋x＋2，可知其图象开口向下，与x轴的交点坐标分别为(－1，0)和(2，0)．
(2)因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，A正确；二次函数的图象的对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，得2a－b＝0，B错误；结合图象知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，C错误；因为函数的图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a答案：(1)D　(2)AD
[思维升华]　1．解决二次函数图象问题的基本方法
(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；
(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．
2．分析二次函数图象问题的要点
一是看二次项系数的符号；二是看对称轴和顶点；三是看函数图象上的一些特殊点．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也能从图象中得到如上信息．
角度2　二次函数的单调性
【例3】　(1)函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是(　　 )
A．[－3，0) B．(－∞，－3]
C．[－2，0] D．[－3，0]
(2)设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0，1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是________．
解析：(1)当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上递减知
解得－3≤a<0．
综上，a的取值范围为[－3，0]．
(2)依题意a≠0，二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c图象的对称轴是直线x＝1，因为函数f(x)在区间[0，1]上单调递减，所以a>0，即函数图象的开口向上，所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2．
答案：(1)D　(2)[0，2]
[思维引申]　(1)(变条件)本例(1)变为“函数f(x)的单调减区间是[－1，＋∞)”，则a＝________．
解析：由题意知，f(x)必为二次函数且a<0，又＝－1，所以a＝－3．
答案：－3
(2)(变条件) 本例(1)变为“函数f(x)在区间[－1，＋∞)上不单调”，则实数a的取值范围是______ ．
解析：由题意知，f(x)必为二次函数，且满足＞－1，解得，a＜－3或a＞0．
答案：(－∞，－3)∪(0，＋∞)
(3)(变条件)本例(2)中“递减”改为“递增”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________．
解析：依题意a≠0，二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c图象的对称轴是直线x＝1，因为函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，所以a<0，即函数图象的开口向下，所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有m≤0或m≥2．
答案：(－∞，0]∪[2，＋∞)
[思维升华]　对于二次函数的单调性，关键是确定其图象的开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．
角度3　二次函数的最值
【例4】　(1)若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为________．
解析：(1)∵f(x)＝a(x＋1)2＋1－a．
①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
②当a>0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
③当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3．
综上可知，a的值为或－3．
答案：或－3
(2)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为直线x＝1．
当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，在x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；
当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2．
综上可知，f(x)min＝
[思维升华]　解决二次函数图象与性质问题时的注意事项
(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是求定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．
(3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
[对点练]　1．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是(　　 )
解析：若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故排除A；若a＜0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故排除D；对于选项B，看直线可知a＞0，b＞0，从而－＜0，而图中二次函数图象的对称轴在y轴的右侧，故排除B．故选C．
答案：C
2．函数y＝在上单调递增，则实数a的取值范围是_________．
解析：∵y＝在上单调递增，
∴f(x)＝x2－ax－a在单调递减，则－≤，即a≥－1，
同时 需满足f(－2)f(－)>0，即(a＋4)(2a－1)<0，解得－4综上可知a∈．
答案：
3．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则m的取值范围______．
解析：∵f(x)＝x2－3x－4＝(x－)2－，
∴f()＝－，又f(0)＝f＝－4，
故由二次函数图象可知：
要使函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，
m的值最小为；最大为3．
m的取值范围是：≤m≤3．
答案：≤m≤3
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养
与二次函数有关的能成立和恒成立问题
二次函数中的能成立和恒成立问题是常见的题型，解决此类问题关键是利用数形结合及单调性，求出函数的最值，再根据条件求解．考查数学运算和逻辑推理素养．
【典例】　已知两函数f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x2＋4x＋4，其中k为实数．
(1)对任意x∈[－3，3]，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围；
(2)存在x∈[－3，3]，使f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围；
(3)对任意x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值范围．
[思维点拨]　(1)构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，根据h(x)max≤0求解；
(2) 构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，根据h(x)min≤0求解；
(3)根据题意，根据f(x)max≤g(x)min求解．
解：(1)设h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k，问题转化为x∈[－3，3]时，h(x)≤0恒成立，故h(x)max≤0．由二次函数的性质可知h(x)max＝h(3)＝86－k，有86－k≤0，得k≥86．
(2)由题意，存在x∈[－3，3]，使f(x)≤g(x)成立，即h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k≤0在x∈[－3，3]上有解，故h(x)min≤0．由二次函数的性质可知h(x)min＝h(－1)＝－10－k，有－10－k≤0，得k≥－10．
(3)对任意x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)成立，所以f(x)max≤g(x)min，x∈[－3，3]．由二次函数的性质可得f(x)max＝f(3)＝120－k，g(x)min＝g(－1)＝2．故有120－k≤2，得k≥118．
[思维升华]　1．由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min．
2．ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在区间[m，n]上恒成立的条件．设f(x)＝ax2＋bx＋c，则
ax2＋bx＋c＞0(a＜0)在区间[m，n]上恒成立的条件．设f(x)＝ax2＋bx＋c，则
[对点练]　1．设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋4恒成立，则实数m的取值范围为(　　 )
A．(－∞，0] B．
C．(－∞，0)∪ D．
解析：由题意，f(x)<－m＋4对于x∈[1，3]恒成立，即m(x2－x＋1)<5对于x∈[1，3]恒成立．
∵当x∈[1，3]时，x2－x＋1∈[1，7]，∴不等式f(x)<－m＋4等价于m<．∵当x＝3时，取最小值，∴若要不等式m<对于x∈[1，3]恒成立，则必须满足m<，因此，实数m的取值范围为，故选D．
答案：D
2．
已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．
解析：作出二次函数f(x)的草图如图所示，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，
则有即
解得－＜m＜0．
答案：
课下巩固培优卷(八)
【A/基础巩固题组】
1．若f(x)＝x2－ax＋1有负值，则实数a的取值范围是(　　 )
A．(－∞，－2] B．(－2，2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(1，3)
解析：∵f(x)＝x2－ax＋1有负值，
∴Δ＝a2－4>0，则a>2或a<－2．
答案：C
2．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝(　　 )
A．1 B．2
C．1或2 D．3
解析：∵函数f(x)为幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2．当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件；当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．
答案：A
3．已知abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　 )
解析：对于A项，因为a<0，－<0，所以b<0．
又因为abc>0，所以c>0，而f(0)＝c<0，故A错．
对于B项，因为a<0，－>0，所以b>0．
又因为abc>0，所以c<0，而f(0)＝c>0，故B错．
对于C项，因为a>0，－<0，所以b>0．又因为abc>0，
所以c>0，而f(0)＝c<0，故C错．
对于D项，因为a>0，－>0，所以b<0，因为abc>0，所以c<0，而f(0)＝c<0，故选D．
答案：D
4．(2021·湖北襄阳一模)已知定义在R上的幂函数f＝xm(m为实数)过点A(2，8)，记a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　 )
A．aC．c解析：由题得8＝2m，∴m＝3，∴f(x)＝x3．
函数f(x)＝x3是R上的增函数．
因为log0．53所以log0．53所以f(log0．53)所以a答案：A
5．(多选)已知函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是单调函数，则y＝2ax＋b的图象可能是(　　 )
解析：①当a＝0，b≠0时，y＝2ax＋b的图象可能是A；②当a>0时，－≥0 b≤0，y＝2ax＋b的图象可能是C；③当a<0时，－≥0 b≥0，y＝2ax＋b的图象可能是D．故选ACD．
答案：ACD
6．(多选)(2021·山东淄博模拟)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，则函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是(　　 )
A．f(－1) B．f(1)
C．f(2) D．f(5)
解析：因为对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝2，当a＞0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小值是f(2)；当a＜0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小值是f(－1)和f(5)．
答案：ACD
7．已知α∈{－2，－1，－，，1，2，3}，若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________．
解析：因为幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，所以α为负数，
因为α∈，所以α＝－1．
答案：－1
8．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是________．
解析：不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，x∈(1，4)．
令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，
所以f(x)答案：(－∞，－2)
9．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，
由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x．
所以2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，
因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1．
(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，
所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立，
即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立．
所以令g(x)＝x2－3x＋1＝－，
因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，
所以m<－1．故实数m的取值范围为(－∞，－1)．
【B/能力提升题组】
10．幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－等于(　　 )
A．0 B．1
C． D．2
解析：由BM＝MN＝NA，点A(1，0)，B(0，1)，
∴M，N，
将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，
得a＝log，b＝log，
∴a－＝log－＝0．
答案：A
11．已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)解析：∵f(x)＝x－＝(x>0)，易知x∈(0，＋∞)时f(x)为减函数，又f(a＋1)∴解得∴3答案：(3，5)
12．若函数f(x)＝x2＋a|x－2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝x2＋a|x－2|，
∴f(x)＝
又∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴∴－4≤a≤0，
∴实数a的取值范围是[－4，0]．
答案：[－4，0]
13．已知函数f＝，g＝x2－ax＋1．
(1)若对任意x∈R，a∈，不等式f≤g＋3恒成立，求t的取值范围．
(2)若存在a∈R，对任意x1∈，总存在唯一x0∈，使得f＝g成立，求a的取值范围．
解：(1)因为 x∈R，＝1＋x2－2x≥0，所以1＋x2≥2x，
所以 x∈R，≤1，故f＝4，
要使对任意x∈R，a∈，不等式f≤g＋3恒成立，只需f≤t2－at＋4，
所以t2－at＋4≥4，即－ta＋t2≥0．
记h＝－ta＋t2，因为a∈，所以只需，即
解得t≤－1或t＝0或t≥1．
故t的取值范围为t≤－1或t＝0或t≥1．
(2)当x＝0时，f＝0；
当x∈时，f＝＝，因为x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时，等号成立，所以f＝∈，
所以函数f在上的值域为．
因为对任意y∈，总存在唯一x0∈，使得y＝g成立．
故 ，
以下分三种情况讨论：
①当≤－1，即a≤－2时，则，解得a≤－2；
②当≥2，即a≥4时，则，解得a≥4；
③当－1<<2，即－2解得2≤a<4，综上a≤－2或a≥2．

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