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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
【考点梳理】
一、一元二次不等式的相关概念
1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
2、一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）
3、一元二次不等式的解集
使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解；
一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集；
将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形。
二、一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
三、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1四、解一元二次不等式的步骤
第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
第二步：写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；
②时，求根；
③时，方程无解
第三步：根据不等式，写出解集.
五、含参数的一元二次不等式讨论依据
1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；
2、当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；
3、当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。
【题型归纳】
题型1解不含参数一元二次不等式
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
题型2解含参数一元二次不等式
4．若，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
5．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知条件p：，条件q：（其中），若p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型3由一元二次不等式的解确定参数
7．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
8．已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为
题型4一元二次不等式恒成立与有解问题
10．“不等式在R上恒成立”的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
11．若不等式对一切都成立，则a的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
12．若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
13．若不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
15．若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．设一元二次不等式的解集为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
17．不等式的解集为（ ）
A．或 B． C．或 D．
18．若“”是“”的充分不必要条件，则实数k不可以是（ ）
A． B． C．1 D．4
19．若，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
20．若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
21．一元二次不等式2x2+x﹣6≥0的解集为（　　）
A． B． C． D．
22．关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
23．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
24．若0A． B．或
C．或 D．
25．不等式的解集为（ ）
A．或 B． C．或 D．
26．在R上定义运算：a b＝(a＋1)b.已知1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x) (m＋x)<4成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．{m|－2C．{m|－327．已知不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为（　　）
A．{x|＜x＜1} B．{ x|x＜或x＞}
C．{x|＜x＜} D．{x|x＜或x＞1}
28．若不等式对任意的恒成立，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
29．已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或 D．
30．若不等式组的解集非空，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
31．若，则“”是 “”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
32．不等式的解集是（ ）．
A． B． C．或 D．
33．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．或
34．已知函数（），则该函数的（ ）．
A．最小值为3 B．最大值为3
C．没有最小值 D．最大值为
二、多选题
35．已知关于的不等式解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为
36．若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ）
A． B．且
C． D．不等式的解集是
三、填空题
37．若不等式在时有解，则实数a的取值范围为______．
38．不等式的解集为__________.
39．已知不等式x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤2或x≥3}，则a+b＝_____．
40．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为________________．
四、解答题
41．设函数
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若，求的最小值
42．已知恒成立．
(1)求的取值范围；
(2)解关于的不等式.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
先求出集合A，B，再求两集合的交集即可
【详解】
由，得，
所以，
由，得，解得，
所以，
所以，
故选：B
2．C
【解析】
【分析】
化简集合后结合集合交集运算法则进行计算即可.
【详解】
因为，所以，
因为，所以集合中元素为所有小于等于2的整数，
所以.
故选：C
3．A
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的求解可化简，根据集合的交运算即可求解.
【详解】
，则．
故选：A
4．D
【解析】
【分析】
按照开口向上一元二次不等式解法，解之即可.
【详解】
由
可得或
则不等式的解集是
故选：D
5．C
【解析】
【分析】
由题设可得，讨论的大小关系求解集，并判断满足题设情况下m的范围即可.
【详解】
不等式，即，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故；
当时，不等式解集为，此时不符合题意；
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故；
故实数m的取值范围为．
故选：C
6．C
【解析】
【分析】
分别解出两个不等式，再根据p是q的必要而不充分条件，可得对应得集合是对应得集合的真子集，列出不等式组，从而可得出答案.
【详解】
解：由，得，
所以，
由，得，
所以，
因为P是q的必要而不充分条件，
所以
所以，解得，
即实数m的取值范围为.
故选：C.
7．B
【解析】
【分析】
根据不等式的解集，得到，代入中即可求解.
【详解】
由题意得，即，
所以即，解得．
故选：B
8．D
【解析】
【分析】
由已知可得，，进而不等式可化为，由此可求不等式的解集．
【详解】
解：关于x的不等式的解集为，
，，
可化为，
，
关于x的不等式的解集是．
故选：D．
9．B
【解析】
【分析】
根据解集形式确定选项A错误；化不等式为即可判断选项B正确；设，则，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.
【详解】
解：因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；
由题得，所以为.所以选项B正确；
设，则，所以选项C错误；
不等式为，所以选项D错误.
故选：B
10．A
【解析】
【分析】
根据不等式在R上恒成立，求得，再由，说明不等式在R上恒成立，即可得答案.
【详解】
∵不等式在R上恒成立，
∴ ，解得，
又∵，∴，则不等式在R上恒成立，
∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件,
故选:A.
11．D
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质，根据对称轴的位置分类讨论可得..
【详解】
记，
要使不等式对一切都成立，则：
或或
解得或或，即.
故选：D
12．D
【解析】
【分析】
设，由题意可得，从而可求出实数a的取值范围
【详解】
设，开口向上，对称轴为直线，
所以要使不等式在区间(2，5)内有解，只要即可，
即，得，
所以实数a的取值范围为，
故选：D
13．B
【解析】
【分析】
化简不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合不等式的解集是的子集，即可求解.
【详解】
由题意，原不等式，
当时，不等式的解集为，
要使得不等式的解集是的子集，则满足，即；
当时，不等式的解集为，此时满足不等式的解集是的子集；
当时，不等式的解集为，
要使得不等式的解集是的子集，则满足，即，
综上可得，实数的取值范围是.
故选：B.
14．B
【解析】
【分析】
先把分式不等式转化为整式不等式，结合二次不等式的求解方法可得解集.
【详解】
不等式等价于，解之得.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查分式不等式的解法，分式不等式一般转化为整式不等式进行求解，转化时需要注意等价性，不要忽视了分母不为零，侧重考查数学的核心素养.
15．D
【解析】
【分析】
当时，直接分析即可；当时，根据一元二次不等式恒成立的思想进行分析.
【详解】
当时，即，此时恒成立，满足条件；
当时，因为对任意实数都成立，
所以，解得，
综上可知，，
故选：D.
16．B
【解析】
【分析】
根据和是方程的两个根，由韦达定理解得和，可得结果.
【详解】
由题意可知方程的根为，
由韦达定理得：，，
解得，所以.
故选：B.
17．D
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】
解：因为的实数根为和，
所以根据一元二次不等式与方程的关系得不等式的解集为.
故选：D
18．B
【解析】
【分析】
分别解一元二次不等式并根据充分不必要条件的集合关系得是的真子集，进而得或，再依次讨论各选项即可.
【详解】
解：解不等式，得 ．
解不等式得 或．
“”是“”的充分不必要条件，
∴ 是的真子集，
∴ 或，解得：或，
则实数可以是ACD.
故选：B
19．B
【解析】
【分析】
结合含参一元二次不等式的解法即可.
【详解】
解：方程的两个根为和，
因为，所以，
故不等式的解集为．
故选：B．
20．D
【解析】
根据不等式的解集中恰有3个正整数，得出，再由不等式的解集求出实数的取值范围.
【详解】
因为不等式的解集中恰有个正整数，
即不等式的解集中恰有个正整数，
所以，所以不等式的解集为
所以这三个正整数为，所以，即
故选：D
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
21．A
【解析】
【分析】
一元二次不等式化为≥0，求出解集即可．
【详解】
一元二次不等式2x2+x﹣6≥0可化为
≥0，
解得x≤﹣2或x≥，
所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是简单题．
22．A
【解析】
【分析】
不等式的解集是，即对于，恒成立，即，分和两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.
【详解】
解：不等式的解集是，
即对于，恒成立，
即，
当时，，
当时，，
因为，
所以，
综上所述.
故选：A.
23．C
【解析】
【分析】
由可得，然后可得答案.
【详解】
因为，所以，所以
故选：C
【点睛】
本题考查的是一元二次不等式的解法，较简单.
24．D
【解析】
【分析】
利用一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】
∵01>m，
故原不等式的解集为，
故选：D．
25．D
【解析】
【分析】
不等式等价于，即，且，由此求得不等式的解集．
【详解】
不等式等价于，即，且，解得，
故不等式的解集为，
故选：D．
26．C
【解析】
【分析】
根据定义求出(m－x) (m＋x)＝m2－x2＋m＋x，将不等式分离参数后，转化为最大值使不等式成立，根据二次函数求出最大值后，解一元二次不等式即可得解.
【详解】
依题意得(m－x) (m＋x)＝(m－x＋1)(m＋x)＝m2－x2＋m＋x，
因为1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x) (m＋x)<4成立，
所以存在1≤x≤2，使不等式m2＋m即当1≤x≤2时，m2＋m<(x2－x＋4)max.
因为1≤x≤2，所以当x＝2时，x2－x＋4取最大值6，
所以m2＋m<6，解得－3故选：C．
【点睛】
本题考查了对新定义的理解能力，考查了不等式能成立问题，考查了二次函数求最值，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.
27．A
【解析】
根据不等式ax2﹣bx+2＞0的解集求出a、b的值，再代入不等式2x2+bx+a＜0中求解集．
【详解】
不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|＜x＜2}，
所以，2是方程ax2-bx+2＝0的两个实数根，且a＜0，
由根与系数的关系知，解得；
所以不等式2x2+bx+a＜0化为2x2﹣x﹣1＜0，
解得＜x＜1；
所以不等式2x2+bx+a＜0的解集为{x|＜x＜1}．
故选：A．
【点睛】
结论点睛：若一元二次不等式的解集为或，则是方程的两个根.
28．B
【解析】
【分析】
由选项可知，故原不等式等价于
，当时，不满足题意，故，再由二次函数的性质即可求解
【详解】
由选项可知，故原不等式等价于
，
当时，显然不满足题意，故，
由二次函数的性质可知，此时必有，即，
故选：B
29．C
【解析】
由一元二次方程存在两个实根，有判别式即可求的取值范围.
【详解】
由题意知：，解之得或，
故选：C
30．A
【解析】
【分析】
分别解出两个不等式的解，再根据集合交集的概念求解．
【详解】
由题意，∴，即，解得．
故选：A．
【点睛】
本题考查不等式组的解，考查集合的交集运算，属于基础题．
31．A
【解析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】
当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
【点睛】
易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
32．A
【解析】
【分析】
先对不等式因式分解，进而求得答案.
【详解】
由题意知，，所以原不等式的解集为.
故选：A.
33．C
【解析】
由等价于，进而可求出不等式的解集.
【详解】
由题意，等价于，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
【点睛】
本题考查分式不等式的解集，考查学生的计算能力，属于基础题.
34．D
【解析】
【分析】
先由基本不等式得到，再转化得到（），最后判断选项即可.
【详解】
解：因为，所以，，
由基本不等式：，
当且仅当即时，取等号.
所以，即，所以（），
当且仅当即时，取等号.
故该函数的最大值为：
故选：D
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，是基础题.
35．BCD
【解析】
根据已知条件得和是方程的两个实根，且，根据韦达定理可得，根据且,对四个选项逐个求解或判断可得解.
【详解】
因为关于的不等式解集为，
所以和是方程的两个实根，且，故错误；
所以，，所以，
所以不等式可化为，因为，所以，故正确；
因为，又，所以，故正确；
不等式可化为，又，
所以，即，即，解得,故正确.
故选：BCD.
【点睛】
利用一元二次不等式的解集求出参数的关系是解题关键.本题根据韦达定理可得所要求的关系，属于中档题.
36．AB
【解析】
结合不等式的解集与方程的根之间的关系，求得且，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，不等式的解集是，
可得是方程的两个根，所以，且，所以A正确；
又由，所以，所以B正确；
当时，此时，所以C不正确；
把代入不等式，可得，
因为，所以，即，此时不等式的解集为，
所以D不正确.
故选：AB.
37．
【解析】
【分析】
由，得在上有解，令，然后求出函数的最小值即可
【详解】
由，得，
因为，所以有解，
令，则在上单调递增，
所以，
所以，
故答案为：
38．
【解析】
【分析】
对和讨论，转化为整式不等式即可解得.
【详解】
不等式可化为：
或，
解得：或无解，
所以原不等式的解集为.
故答案为：.
39．1
【解析】
【分析】
根据不等式的解集可得方程x2+ax+b＝0的两根为x＝2或x＝3，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．
【详解】
∵不等式x2+ax+b≥0解集为{x|x≤2或x≥3}，
故方程x2+ax+b＝0的两根为x＝2或x＝3，
由根与系数的关系可得，∴，∴a+b＝1．
故答案为：1．
40．
【解析】
【分析】
由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，应用韦达定理把用表示，化待求式为一元函数，再利用基本不等式得结论．
【详解】
由不等式解集知，由根与系数的关系知
，则，
当且仅当，即时取等号．
故答案为：．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
41．（1）；（2）9．
【解析】
【分析】
（1）由不等式的解集．，3是方程的两根，由根与系数的关系可求，值；
（2）由，将所求变形为展开，整理为基本不等式的形式求最小值．
【详解】
解析：（1）∵不等式ax2＋bx＋3>0的解集为(－1，3)，∴－1和3是方程ax2＋bx＋3＝0的两个实根，
从而有 解得．
（2）∵a＋b＝1，又a>0，b>0，∴＋＝ (a＋b)= 5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当即时等号成立，
∴的最小值为9．
【点评】
本题考查了二次函数的图象和性质，运用基本不等式求最值，属于中档题．
42．(1)；
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）分、两种情况讨论，在时，直接验证即可，在时，由已知条件可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围；
（2）将所求不等式变形为，对与的大小进行分类讨论，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集.
(1)
解：因为恒成立．
①当时，恒成立，合乎题意；
②当时，则，解得.
综上所述，.
(2)
解：由得.
①当时，即当时，原不等式的解集为；
②当时，即当时，原不等式的解集为；
③当时，即当时，原不等式的解集为.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
试卷第1页，共3页

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