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第8节　函数与方程
[课标要求]　①结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系．②结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程的近似解，了解二分法求方程近似解具有一般性．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点的等价关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
(3)函数零点的判定(函数零点存在定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点
零点个数 2 1 0
3．二分法
(1)定义：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0．
②求区间(a，b)的中点c．
③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
(ⅰ)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
(ⅱ)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
(ⅲ)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c．
④判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②～④．
盘点易错易混
1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，不要把它当成一个点．
2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象等综合考虑．
3．忽视分类讨论，如：函数f(x)＝ax2＋bx＋c有且只有一个零点，要注意讨论a是否为零．
【小题热身】
1．(多选)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法中不正确的是(　　 )
A．若f(a)f(b)＞0，则不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
C．若f(a)f(b)＞0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
D．若f(a)f(b)＜0，则有可能不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
解析：对函数f(x)＝x2，f(－1)f(1)＞0，但f(0)＝0，故A错；对于函数f(x)＝x3－x，f(－2)f(2)＜0，但f(0)＝f(－1)＝f(1)＝0，故B错；函数f(x)＝x2满足C，故C正确；由零点存在性定理知D错．
答案：ABD
2．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数零点的是(　　 )
解析：对于选项C，由题图可知零点附近左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解．
答案：C
3．(2021·新疆乌鲁木齐三模)函数f＝2x＋ln x－1的零点所在的区间为(　　)
A． B．
C． D．
解析：函数f＝2x＋ln x－1为上的增函数，
由f＝1>0，f＝－ln 2－1<－ln 2－1＝－ln 2<－ln ＝－＝0，
可得函数f的零点所在的区间为．
答案：D
4．已知函数f(x)＝ln x－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈N*)，则k的值为________．
解析：因为f′(x)＝－1，所以当x>1时，f′(x)<0，f(x) 单调递减．又因为f(3)＝ln 3－1>0，f(4)＝ln 4－2<0，所以该函数的零点在区间(3，4)内，所以k＝3．
答案：3
5．[易错题]函数f(x)＝kx＋1在[1，2]上有零点，则k的取值范围是________．
解析：由f(1)·f(2)≤0得，(k＋1)(2k＋1)≤0，解得R∈．
答案：
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__函数零点区间的判定[自主演练]
1．(2022·黑龙江大庆实验中学模拟)函数f＝ln －的零点所在的区间是(　　 )
A． B．
C． D．
解析：由题得f＝ln 3－2＝ln 3－ln e2<0，f＝ln 4－1＝ln 4－ln e>0，所以f(1)f(2)<0，
由零点存在定理得函数f＝ln －的零点所在的区间是．
答案：D
2．方程2x＝2－x的根所在区间是(　　)
A． B．
C． D．
解析：法一(利用零点存在定理)　令f(x)＝2x＋x－2, 因为f＝2＋1－2＝1>0，f＝1＋0－2＝－1<0，
所以D正确．
法二(数形结合)　作出函数y＝2x和y＝2－x的图象如图，由图象可知方程2x＝2－x的根所在区间是．
答案：D
3．若aA．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析：函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0．所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．
答案：A
[思维升华]　确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0．若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
考点2__函数零点个数的判定[典例引领]
【例1】　(1)(2022·陕西汉中模拟)关于函数f(x)＝－2ln x，下列说法正确的是(　　 )
A．函数f(x)有2个零点
B．函数f(x)有4个零点
C．e是函数f(x)的一个零点
D．2e是函数f(x)的一个零点
(2)(一题多法)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(　　 )
A．0 B．1
C．2 D．3
(3)函数y＝()|x－1|与函数y＝－cos (πx)的图象在x∈的交点个数为(　　 )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：(1)令－2ln x＝ln x·＝0，解得x＝1或x＝e2，所以函数f有2个零点．
(2)法一　∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，
∴函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点．
法二　设y1＝2x，y2＝2－x3，
在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，
在区间(0，1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数．
故函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点．
(3)y＝()与y＝－cos (πx)均关于直线x＝1轴对称，且均过，
在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：
由两函数图象可知，总共有9个交点．
答案：(1)A　(2)B　(3)D
[思维升华]　判断函数零点个数的3种方法
(1)解方程法：若对应方程f(x)＝0可解，通过解方程，则方程有几个解就对应有几个零点．
(2)函数零点的存在性定理法：利用定理不仅要判断函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数．
(3)数形结合法：合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．
[对点练]　1．(一题多法)函数f(x)＝的零点个数为(　　 )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：法一(方程法)　由f(x)＝0，
得或解得x＝－2或x＝e．
因此函数f(x)共有2个零点．
法二(图形法)　函数f(x)的图象如图所示，
由图象知函数f(x)共有2个零点．
答案：B
2．函数f(x)＝2x－1的零点个数为________．
解析：令f＝2x－1＝0，即|log0．5x|＝
画出函数y＝|log0．5x|与函数y＝＝的图象，如下图所示
由图象可知，函数y＝|log0．5x|与函数y＝＝有2个交点，
所以函数f＝2x－1有2个零点．
答案：2
考点3__函数零点的应用[多维讲练]
高考中主要以选择、填空题的形式考查利用函数零点存在定理或函数的图象，对函数是否存在零点(方程是否存在实根)进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，难度中等，特别是函数零点、方程实根的存在问题，仍将是2023年高考考查的重要内容．
角度1　根据函数零点个数求参数
【例2】　(2020·天津高考)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围是(　　)
A．∪(2，＋∞)
B．∪(0，2)
C．(－∞，0)∪(0，2)
D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
解析：令h(x)＝|kx2－2x|，函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4个零点，即y＝f(x)与y＝h(x)的图象恰有4个不同交点．
当k＝－时，h(x)＝＝，
在同一直角坐标系中作出y＝f(x)，y＝h(x)的图象，如图所示．
由图可知y＝f(x)与y＝h(x)的图象恰有4个不同交点，即函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|恰有4个零点，排除A，B；当k＝1时，h(x)＝|x2－2x|，作出y＝h(x)与y＝f(x) 的图象，如图所示．
此时，函数y＝f(x)与y＝h(x)的图象仅有2个交点，不合题意，排除C，故选D．
答案：D
[思维升华]　已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围．
角度2　根据函数零点所在区间求参数范围
【例3】　(1)若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，则实数a的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，所以方程4x－2x－a＝0在[－1，1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1，1]上有解．方程a＝4x－2x可变形为a＝－，因为x∈[－1，1]，所以2x∈，所以－∈．所以实数a的取值范围是．
答案：
(2) 函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　 )
A．(1，3) B．(1，2)
C．(0，3) D．(0，2)
解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)<0，解得0答案：C
[思维升华]　根据函数零点的情况求参数范围有三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
[对点练]　1．(2021·浙江台州二模)若函数f(x)＝x＋－1在(0，2)上有两个不同的零点，则a的取值范围是(　　 )
A．[－2，] B．(－2，)
C．[0，] D．(0，)
解析：函数f(x)＝x＋－1在(0，2)上有两个不同的零点等价于方程x＋－1＝0在(0，2)上有两个不同的解，即a＝－x2＋x在(0，2)上有两个不同的解．
此问题等价于y＝a与y＝－x2＋x(0答案：D
2．已知2解析：方程logax＝－x＋b的解，
即为函数f(x)＝logax＋x－b的零点，
∴x0为f(x)＝logax＋x－b的零点，
∵2∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(2)＝loga2＋2－b<0，f(3)＝loga3＋3－b>0，
∴x0∈(2，3)，即n＝2．
答案：2
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养
嵌套零点问题
在某些情况下，需要将某函数作为另一个函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数．在函数里面调用另外一个函数，就叫做函数嵌套．如果调用自身，就叫递归调用，也叫递归嵌套．
嵌套函数是最近几年的热门考点，以其绕的晕和审题难而著称，嵌套函数和一些复杂的分段函数求零点也是一种常考题型．在解关于x的方程g[f(x)]＝0根(或根的个数)时，要分两层来分析，第一层是解关于g(t)＝0的方程，第二层是解f(x)＝t的方程，将x的个数汇总后即为g[f(x)]＝0根的个数．综合考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象素养．
【典例】　(1)(2022·山东聊城模拟)已知1A．2 B．3
C．4 D．5
[思维点拨]　先由方程4f2(x)－2(a＋1)f(x)＋a＝0解出f(x)＝t，然后作出函数f(x)的图象，考查函数y＝f(x)和y＝t图象的交点个数．
解析：因为4f2(x)－2(a＋1)f(x)＋a＝0，
所以[2f(x)－1][2f(x)－a]＝0，
所以f(x)＝或f(x)＝，画出f(x)的大致图象，如图，
因为>，所以<<<，
因为直线y＝与函数y＝f(x)的图象有1个交点，
直线y＝与函数y＝f(x)的图象有2个交点，
故方程4f2(x)－2(a＋1)f(x)＋a＝0的解的个数是3．
答案：B
(2)已知函数f(x)＝－，关于x的方程f2(x)＋a|f(x)|＋b＝0(a，b∈R)恰有6个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．
[思维点拨]　将方程f2(x)＋a|f(x)|＋b＝0，(a，b∈R)转化为|f(x)|2＋a|f(x)|＋b＝0(a，b∈R)，作出函数y＝|f(x)|的图象，结合图象可知方程|f(x)|2＋a|f(x)|＋b＝0，(a，b∈R)应有两解f1(x)，f2(x)，结合根与系数的关系，由－a＝f1(x)＋f2(x)求解．
解析：方程f2(x)＋a|f(x)|＋b＝0(a，b∈R)转化为|f(x)|2＋a|f(x)|＋b＝0(a，b∈R)，
因为f(x)＝
作出函数y＝|f(x)|的图象，如图，
由图象可知，若方程f2(x)＋a|f(x)|＋b＝0，(a，b∈R)有6个不同的实数解，
则必有f1(x)＝2，0所以－a＝f1(x)＋f2(x)∈(2，4)，解得－4答案：(－4，－2)
[思维升华]　求嵌套函数y＝g[f(x)]零点的技巧
(1)此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题时一般要先作出函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象．
(2)若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于f(x)的方程g[f(x)]＝0中f(x)解的个数，再根据f(x)解的个数与f(x)的图象的特点，分配每个函数值fi(x)被几个x所对应，从而确定fi(x)的取值范围，进而确定参数的范围．
[对点练]　
1．若函数f(x)＝则函数g＝f－2的零点个数为(　　 )
A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6
解析：函数g＝f－2的零点即f＝2的根，
设t＝f(x)，则f(t)＝2，
当t<2时|2t－1|＝2得t＝log23；
当t≥2时＝2得t＝．
如图，作出函数f(x)＝的图象，
方程f(x)＝log23∈和方程f(x)＝∈各有两个解，即方程f＝2共有4个解，故g＝f－2的零点有4个．
答案：B
2．(2022·河北石家庄联考)已知函数f(x)＝若函数y＝f(f(x))－a有且
只有1个零点，则实数a的取值范围是(　　 )
A．(－∞，－1)∪[2，＋∞)
B．(－∞，0)∪[4，＋∞)
C．(－∞，1)∪[4，＋∞)
D．(－∞，1)∪[2，＋∞)
解析：由函数f(x)＝
当x<0时，f(x)＝3－f(－x)＝3－．
作出f(x)的图象如图所示：
令f(x)＝t，t∈R，因为f(t)＝a有且只有一个根，
所以，当t≥2时，对应的x只有一个解，此时f(t)≥4，即a≥4；
当t<－1时，对应的x只有一个解，此时f(t)<1，即a<1；
综上所述：实数a的取值范围是(－∞，1)∪[4，＋∞)．
答案：C
课下巩固培优卷(十二)
【A/基础巩固题组】
1．下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是(　　)
A．y＝logx　　　　　　　B．y＝2x－1
C．y＝x2－ D．y＝－x3
解析：函数y＝logx在定义域上单调递减，y＝x2－在(－1，1)上不是单调函数，y＝－x3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝2x－1，当x＝0时，y＝0，且y＝2x－1在R上单调递增．故选B．
答案：B
2．函数f＝ln x＋x－6的零点一定位于区间(　　 )
A． B．
C． D．
解析：由题意得f＝ln x＋x－6为连续函数，且在(0，＋∞)单调递增，
f(2)＝ln 2－4<0，f(3)＝ln 3－3<0，f(4)＝ln 4－2ln e－1＝0，
根据零点存在性定理，f(4)f(5)<0，
所以零点一定位于区间．
答案：C
3．(多选)(2021·山东青岛模拟)某同学求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
f(2)≈－1．307 f(3)≈1．099 f(2．5)≈－0．084
f(2．75)≈0．512 f(2．625)≈0．215 f(2．562 5)≈0．066
则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度0．1)可取为(　　 )
A．2．52 B．2．56
C．2．66 D．2．75
解析：由表格可知方程ln x＋2x－6＝0的近似根在(2．5，2．562 5)内，因此选项A中2．52符合，选项B中2．56也符合，故选AB．
答案：AB
4．函数f＝sin 2x－cos x在上的零点个数为(　　 )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：当x∈时，由f＝sin 2x－cos x＝2sin x cos x－cos x＝cos x＝0．
若cos x＝0，可得x＝、、；
若sin x＝，可得x＝、、、．
综上所述，函数f＝sin 2x－cos x在上的零点个数为7．
答案：C
5．(2021·重庆七校三模)已知函数f＝2x＋x－1，g＝log2x＋x－1，h＝x3＋x－1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小为(　　 )
A．c>b>a B．b>c>a
C．c>a>b D．a>c>b
解析：令f(x)＝0，则2x＋x－1＝0，得x＝0，即a＝0，
令g(x)＝0，则log2x＋x－1＝0，得x＝1，即b＝1，
因为函数h＝x3＋x－1在R上为增函数，且h(0)＝－1<0，h(1)＝1>0，所以h(x)在区间(0，1)存在唯一零点c，且c∈(0，1)，
综上，b>c>a．
答案：B
6．(多选)已知函数f(x)＝若x1A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1
C．1解析：由函数f(x)＝作出其函数图象如图所示：
由图可知，x1＋x2＝－2，－2当y＝1时，|log2x|＝1，有x＝，2，
所以由f(x3)＝f(x4)，得|log2x3|＝|log2x4|，
即log2x3＋log2x4＝0，
所以x3x4＝1，
由图可知0答案：BCD
7．(多选)定义域和值域均为[－a，a](常数a>0)的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，则下列说法正确的有(　　)
A．方程f(g(x))＝0有两个正数解和一个负数解
B．方程g(f(x))＝0最多只有三个解
C．方程f(f(x))＝0可能存在五个解
D．方程g(g(x))＝0有且仅有一个解
解析：设f(x)的零点分别为x1，x2，x3，则x10．f(g(x))＝0，即g(x)＝x1，有一个解为正数，g(x)＝x2，有一个解为正数，g(x)＝x3，有一个解为负数，故A正确；
g(f(x))＝0，则f(x)＝x4，根据图象知，函数最多有三个交点，故B正确；
f(f(x))＝0，即f(x)＝x1，可能为一个解，f(x)＝x2，可能为三个解，f(x)＝x3可能为一个解，故C正确；
g(g(x))＝0，故g(x)＝x4，故方程有且仅有一个解，D正确．
答案：ABCD
8．(2021·山东济南模拟)已知函数f(x)＝则f(x)的零点为________．
解析：令f(x)＝0得或
解得x＝1或x＝－1，
∴f(x)的零点为－1和1．
答案：－1和1
9．方程xex－|x|－1＝0的实数根的个数为______．
解析：显然x＝0不是方程xex－|x|－1＝0的实数根，所以方程xex－|x|－1＝0的实数根的个数等于两函数y＝ex与y＝图象的交点个数，画出函数y＝ex与y＝＝的大致图象，如图，
由图象可知，所以方程xex－|x|－1＝0的实数根的个数为1．
答案： 1
10．已知函数f(x)＝其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
解析：函数y＝|x|为偶函数，且左减右增．函数y＝x2－2mx＋4m(x＞m)图象的对称轴为x＝m，且在对称轴右侧单调递增．故当x≤m时函数f(x)先减后增，当x＞m时函数f(x)单调递增，画出函数大致图象如图所示．要使f(x)＝b有三个不同的根，则必须满足m＞m2－2m2＋4m，解得m＞3．
答案：(3，＋∞)
【B/能力提升题组】
11．已知函数f是定义在R上的偶函数，满足f＝f，当x∈时，f＝cos x，则函数y＝f－的零点个数是(　　 )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：∵f＝f，则函数f是周期T＝2的周期函数．
又∵函数f是定义在R上的偶函数，且x∈时，f＝cos x，
∴当x∈时，f＝f＝cos ＝cos x，
令f－＝0，则函数y＝f－的零点个数即为函数y＝f和g＝的图象交点个数，
分别作出函数y＝f和g＝的图象，如下图，
显然f与g在上有1个交点，在上有一个交点，
当>1时，g>1，而f≤1，
所以x>1或x<－1时，f与g无交点．
综上，函数y＝f和g＝的图象交点个数为2，即函数y＝f－的零点个数是2．
答案：A
12．(多选)(2021·广东高州二模)已知函数f＝若函数g＝f－x－a有且只有两个不同的零点，则实数a的取值可以是(　　 )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：
根据题意，作出f(x)的图象如下所示：
令g(x)＝0，得f(x)＝x＋a，
所以要使函数g(x)＝f(x)－x－a有且只有两个不同的零点，
所以只需函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同的交点，
根据图形可得实数a的取值范围为(－1，＋∞)，
答案：BCD
13．已知函数f(x)＝若函数g＝a－有四个零点x1，x2，x3，x4，且x1A．(1，＋∞) B．[4，＋∞)
C． D．
解析：函数g＝a－有四个零点x1，x2，x3，x4，即方程＝a有四个根x1，x2，x3，x4．
作出函数y＝的图象如图．
根据函数图象，方程＝a有四个根，则0log2＝－log2，则x1x2＝1 ，
＝，则x3＋x4＝4 ，
所以ax1x2＋＝a＋，
由对勾函数y＝x＋在上单调递减，所以a＋≥4，当a＝2时等号成立，
则ax1x2＋的取值范围是．
答案：B
14．已知f是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝则关于的函数F＝f－a的所有零点之和为(　　 )
A．2a－1 B．2－a－1
C．1－2a D．1－2－a
解析：∵x≥0时，
f＝
即x∈时，f＝log∈；
x∈时，f＝x－2∈；
x∈时，f＝4－x∈；
先画出x≥0时y＝f的图象，再利用奇函数的对称性，画出x<0时y＝f的图象，如图所示：
直线y＝a与y＝f共有5个交点，则方程f－a＝0共有五个实根，
最左边两根之和为－6，最右边两根之和为6，
∵x∈时，－x∈，
∴f＝log，又f＝－f，
∴f＝－log＝log＝log2，
∴中间的一个根满足log2＝a，即1－x＝2a，得x＝1－2a，
∴所有根的和为1－2a．
答案：C
15．设定义域为R的函数f(x)＝若关于x的方程2f2(x)＋2bf(x)＋1＝0有8个不同的实数根，则b的取值范围是________．
解析：
根据题意作出f(x)的简图：
由图象可得当f(x)∈(0，1)时，有四个不同的x与f(x)对应．再结合题中“方程2f2(x)＋2bf(x)＋1＝0有8个不同实数解”，可以分解为形如关于K的方程2K2＋2bK＋1＝0有两个不同的实数根K1，K2，且K1和K2均为大于0且小于1的实数．
列式如下：
即可得－1．5＜b＜－．
答案：－1．5＜b＜－

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