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第9节　函数模型及其应用　
[课标要求]　①理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．②结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．③收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2．三种函数模型的性质
　　　函数性质　　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
值的比较 存在一个x0，使得当x>x0时，有logax(一)必背常用结论
形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
(1)该函数在(－∞，－)]和[，＋∞)内单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．
(2)当x＞0时，x＝时取最小值2，
当x＜0时，x＝－时取最大值－2．
(二)盘点易错易混
1．解应用题的关键是审题，要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”)，常会因读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错．
2．解应用题建模后一定要注意函数的定义域．
【小题热身】
1．已知f (x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　 )
A．f (x)＞g(x)＞h(x)
B．g(x)＞f (x)＞h(x)
C．g(x)＞h(x)＞f (x)
D．f (x)＞h(x)＞g(x)
解析：当x∈(4，＋∞)时，易知增长速度由大到小依次为g(x)＞f (x)＞h(x)．故选B．
答案：B
2．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是(　　 )
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为，由<，得n≥10．
所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．
答案：C
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，
当x＝18时，L(x)有最大值．
答案：18
4．已知某物体的温度Q(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律为Q＝m·2t＋21－t(t≥0，且m>0)．若物体的温度总不低于2摄氏度，则m的取值范围是________．
解析：由题意得，m·2t＋21－t≥2恒成立(t≥0，且m>0)，
又m·2t＋21－t≥2，∴2≥2，∴m≥．
答案：
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__利用函数图象刻画实际问题[自主演练]
1．
高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中匀速流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是(　　)
解析：我们可将水“流出”设想成“流入”，这样水深h越大，水的体积v就越大，故函数v＝f(h)是增函数，排除A、C；根据鱼缸形状可知，每当h增加一个单位增量Δh时，函数v的变化，开始其增量Δv越来越大，但经过中截面后其增量越来越小，故v＝f(h)的函数图象是先凹后凸的，曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小，故选B．
答案：B
2．
(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km．如图所示的是甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是(　　)
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B．甲从家到公园的时间是30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
解析：在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；由题中图象知，B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝，D正确．
答案：BD
3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　)
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多
C．甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
解析：根据图象所给数据，逐个验证选项．
根据图象知，当行驶速度大于40千米/时时，消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；
以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；
甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；
最高限速80千米/时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．
答案：D
[思维升华]　判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
考点2__已知函数模型求解实际问题[典例引领]
【例1】　小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
解：(1)每件产品售价为5元，
则x万件产品的销售收入为5x万元．
当0L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3；
当x≥8时，
L(x)＝5x－－3＝35－．
故L(x)＝
(2)当0L(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－6)2＋9；
当x＝6时，L(x)取最大值为L(6)＝9(万元)；
当x≥8时，
L(x)＝35－≤35－2＝15(万元)，．
综上，当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
[思维升华]　已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
[对点练]　1．(2020·全国卷Ⅲ)logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0．95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)(　　 )
A．60 B．63
C．66 D．69
解析：由题意可知，当I(t*)＝0．95K时，＝0．95K，
即＝1＋e－0．23(t*－53)，e－0．23(t*－53)＝，e0．23(t*－53)＝19，∴0．23(t*－53)＝ln 19≈3，
∴t*≈66．故选C．
答案：C
2．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．
解析：根据图表，把(t，p)的三组数据(3，0．7)，(4，0．8)，(5，0．5)分别代入函数关系式，
联立方程组得
消去c化简得解得
所以p＝－0．2t2＋1．5t－2＝－(t2－t＋)＋－2＝－＋，所以当t＝＝3．75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3．75分钟．
答案：3．75
考点3__构建函数模型求解实际问题[多维讲练]
根据实际问题建立数学模型解决问题是必备的关键能力，高考对此知识的考查常与函数的图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，选择题、填空题、解答题均有可能，属于中档题．综合考查数据分析、数学抽象、数学建模、数学运算素养．在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．
(3)解模：求解函数模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．
角度1　分段函数模型
【例2】　(2021·河北唐山一中模拟)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4(1)当0(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？求出最大值．
解：(1)由题意得，当0当4由已知得解得
所以v＝－x＋．
故函数v＝
(2)设年生长量为f (x)千克/立方米，依题意，
由(1)得f (x)＝
当0当4所以，当0故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12．5千克/立方米．
[思维升华]　解决分段函数模型问题的注意点
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；
(2)构造分段函数模型时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；
(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者．
角度2　指数、对数函数模型
【例3】　一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的．
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
解：(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，
解得x＝1－．
(2)设经过m年剩余面积为原来的，
则a(1－x)m＝a，即＝，
即＝，解得m＝5．
故到今年为止，该森林已砍伐了5年．
[思维引申]　若本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？
解：设从今年开始，以后砍了n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n．
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，
≥，即≤，解得n≤15．
故今后最多还能砍伐15年．
[思维升华]　指数函数与对数函数模型的应用技巧
(1)要先学会合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．
角度3　 构建函数y＝ax＋(a＞0，b＞0)模型
【例4】　有次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业，其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为x2升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0．3升；③返回水面时，速度为每分钟0．5x米，每分钟用氧量为0．2升．设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升．
(1)将y表示为x的函数；
(2)若x∈[4，8]，求总用氧量y的取值范围．
解：(1)由题意，下潜所需时间为分钟，返回所用时间为分钟，所以总用氧量y＝×x2＋10×0．3＋×0．2＝＋＋3，x>0．
(2)因为x∈[4，8]，由(1)得y＝＋＋3≥2＋3＝7，当且仅当＝，即x＝6时，等号成立，即ymin＝7．
令f(x)＝＋＋3．
当x∈[4，6)时，任取x1，x2∈[4，6)，且x1则f(x1)－f(x2)＝(＋＋3)－(＋＋3)
＝＋＝(x1－x2)(－)．
因为4≤x1因此f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(－)>0，
所以函数f(x)＝＋＋3在[4，6)上单调递减；
同理，f(x)＝＋＋3在(6，8]上单调递增．
又f(4)＝＋＋3＝，f(8)＝＋＋3＝，>，所以f(x)max＝f(4)＝，
即ymax＝，所以总用氧量y的取值范围为[7，]．
[思维升华]　应用函数f(x)＝ax＋(a＞0，b＞0)模型的关键点
(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝叠加而成的．
(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)＝ax＋的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f(x)＝ax－的形式．
(3)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性，此时可借用导数来研究函数的单调性．
[对点练]　(2021·湖北武汉检测)如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
解：(1)如图，作PQ⊥AF于Q，
所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，
在△EDF中，＝，
所以＝，所以y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．
(2)设矩形BNPM的面积为S，
则S(x)＝xy＝x(10－)＝－(x－10)2＋50，
所以S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x＝10，
所以当x∈[4，8]时，S(x)单调递增，
所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米．
课下巩固培优卷(十三)
【A/基础巩固题组】
1．有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为x(小时)，货船距石塘的距离为y(千米)，则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是(　　 )
答案：A
2．有一组实验数据如下表所示：
t 1 2 3 4 5
s 1．5 5．9 13．4 24．1 37
下列所给函数模型较适合的是(　　 )
A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)
解析：由题表中数据可知，s随t的增大而增大且增长速度越来越快，A、D中的函数的增长速度越来越慢，B中的函数的增长速度保持不变，C中的函数在x>1时，y随x的增大而增大，且增长速度越来越快．故选C．
答案：C
3．(2022·广东佛山联考)核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量Xn与扩增次数n满足lg Xn＝n lg ＋lg X0，其中p为扩增效率，X0为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为(　　 )
(参考数据：100．2≈1．585，10－0．2≈0．631)
A．0．369 B．0．415
C．0．585 D．0．631
解析：由题意知，lg ＝10lg ＋lg X0，
即2＋lg X0＝10lg ＋lg X0，
所以1＋p＝100．2≈1．585，解得p≈0．585．
答案：C
4．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0．1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0．301，lg 3≈0．477)(　　 )
A．6 B．9
C．8 D．7
解析：设经过n次过滤，产品达到市场要求，
则×≤，即≤，
由n lg ≤－lg 20，即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，
得n≥≈7．4，故选BC．
答案：BC
5．
某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为9平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10．5米，则其腰长x的取值范围为(　　 )
A．[2，4] B．[3，4]
C．[2，5] D．[3，5]
解析：根据题意知，9＝(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2×＝BC＋x，h＝x，所以9＝(2BC＋x)x，得BC＝－，由得2≤x<6．所以y＝BC＋2x＝＋(2≤x<6)，由y＝＋≤10．5，解得3≤x≤4．因为[3，4] [2，6)，所以腰长x的取值范围为[3，4]．
答案：B
6．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4．1x－0．1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元．
解析：设公司在A地销售该品牌的汽车x(0≤x≤16且x∈N*)辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4．1x－0．1x2＋2(16－x)＝－0．1x2＋2．1x＋32＝－×＋×＋32．
因为x∈[0，16]且x∈N*，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．
答案：43
7．(2021·广东深圳一模)冈珀茨模型是由冈珀茨(Gompertz)提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律．已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：y＝k0·e1．4e－0．125t(当t＝0时，表示2020年初的种群数量)，若m年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m的最小值为_________．(ln 2≈0．7)
解析：令t＝m由题意知，k0·e1．4e－0．125m所以2ln 2≈0．7, 则1－e－0．125m>
所以e－0．125m<，解得m>≈＝5．6，所以m的最小值为6
答案：6
8．某校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S(平方米)的AMPN矩形健身场地．如图，
点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB＝60°，|AC|＝30米，|AM|＝x米，x∈[10，20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为元(k为正数)．
(1)试用x表示S，并求S的取值范围；
(2)求总造价T关于面积S的函数T＝f(S)；
(3)如何选取|AM|，使总造价T最低(不要求求出最低造价)
解：(1)在Rt△PMC中，显然|MC|＝30－x，∠PCM＝60°，|PM|＝|MC|·tan ∠PCM＝(30－x)，
∴矩形AMPN的面积S＝|PM|·|AM|＝x(30－x)，x∈[10，20]，
由x(30－x)≤＝225，
可知当x＝15时，S取得最大值为225，
当x＝10或20时，S取得最小值为200，
∴S的取值范围为[200，225]．
(2)矩形AMPN健身场地造价T1＝37k，
又∵△ABC的面积为450，
∴草坪造价T2＝(450－S)．
∴总造价f(S)＝T＝T1＋T2＝25k，200≤S≤225．
(3)∵＋≥12，
当且仅当＝，即S＝216时等号成立，
此时x(30－x)＝216，解得x＝12或x＝18．
故选取|AM|为12米或18米时总造价T最低．
【B/能力提升题组】
9．我们要检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录与五分记录，如图所示(已隐去数据)，其部分数据如表：
小数记录x 0．1 0．12 0．15 0．2 … ？ … 1．0 1．2 1．5 2．0
五分记录y 4．0 4．1 4．2 4．3 … 4．7 … 5．0 5．1 5．2 5．3
现有如下函数模型：①y＝5＋lg x，②y＝5＋lg ，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4．7，则小明同学的小数记录数据为(　　)
(附：10－0．3＝0．5，5－0．22＝0．7，10－0．1＝0．8)
A．0．3 B．0．5
C．0．7 D．0．8
解析：由数据可知，当x＝1时，y＝5，两个都符合，
但当x＝0．1时，由y＝5＋lg x，得y＝5＋lg 0．1＝4，与表中的数据符合，
而y＝5＋lg ＝5．1，与表中的数据不符合，
所以选择模型y＝5＋lg x更合适，此时令y＝4．7，则lg x＝－0．3，
所以x＝10－0．3＝0．5．
答案：B
10．(多选)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们行走的路程f i(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f 1(x)＝2x－1，f 2(x)＝x2，f 3(x)＝x，f 4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是(　　 )
A．当x>1时，甲走在最前面
B．当x>1时，乙走在最前面
C．当01时，丁走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
解析：甲、乙、丙、丁的路程f i(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f 1(x)＝2x－1，f 2(x)＝x2，f 3(x)＝x，f 4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．
当x＝2时，f 1(2)＝3，f 2(2)＝4，所以A不正确；
当x＝5时，f 1(5)＝31，f 2(5)＝25，所以B不正确．
根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当01时，丁走在最后面，所以C正确；
指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．
答案：CD
11．(2021·山东枣庄二模)2020年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破，为了使扶贫工作继续推向深入，2021年某原贫困县对家庭状况较困难的农民实行购买农资优惠政策．
(1)若购买农资不超过2 000元，则不给予优惠；
(2)若购买农资超过2 000元但不超过5 000元，则按原价给予9折优惠；
(3)若购买农资超过5 000元，不超过5 000元的部分按原价给予9折优惠，超过5 000元的部分按原价给予7折优惠．
该县家境较困难的一户农民预购买一批农资，有如下两种方案：
方案一：分两次付款购买，实际付款分别为3 150元和4 850元；
方案二：一次性付款购买．
若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省__________元．
解析：因为＝3 500<5 000且3 150>2 000，所以实际付款3 150元对应的原价为3 500元，
又因为4 850>5 000×0．9，所以实际付款4 850元对应的原价大于5 000元，
设实际付款4 850元对应的原价为元，
所以5 000×0．9＋x×0．7＝4 850，解得x＝500，
所以两次付款的原价之和为：3 500＋5 500＝9 000元，
若按方案二付款，则实际付款为：5 000×0．9＋4 000×0．7＝7 300元，
所以节省的钱为：－7 300＝700元，
答案：700
12．(2019·北京高考)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；
(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．
解析：(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒时，总价为60＋80＝140(元)，总价达到120元，又x＝10，即顾客少付10元，所以需要支付130元．
(2)设顾客买水果的总价为a元，当0≤a＜120时，顾客支付a元，李明得到0．8a元，且0．8a≥0．7a，显然符合题意，此时x＝0；当a≥120时，则0．8(a－x)≥0．7a恒成立，即x≤a恒成立，x≤，又a≥120，所以＝15，所以x≤15．综上可知，0≤x≤15．所以x的最大值为15．
答案：(1)130　(2)15
13．某网店有3(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x(万件)，经市场调查测算，花费t(万元)进行促销后，商品的剩余量3－x与促销费t之间的关系为3－x＝(其中k为常数)，如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品．
(1)要使促销后商品的剩余量不大于0．1(万件)，促销费t至少为多少(万元)
(2)已知商品的进价为32(元/件)，另有固定成本3(万元)，定义每件售出商品的平均成本为32＋(元)，若将商品售价定为：“每件售出商品平均成本的1．5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？
解：(1)由3－x＝，当t＝0时，x＝1，得k＝2，∴3－x＝，
由≤0．1，解得t≥19，
所以促销费至少为19万元；
(2)网店的利润y(万元)，由题意可得：
y＝x－(3＋32x＋t)
＝－－＝50－
≤50－2＝42，
当且仅当＝，即t＝7时取等号，此时3－x＝0．25，
所以当促销费为7万元时，网店利润的最大为42万元，此时商品的剩余量为0．25万件．

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