资源简介

第5节　指数函数
　
[课标要求]　①通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．②通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．③能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．根式及相关概念
(1)a的n次方根定义
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
(2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
2．根式的性质(n>1，且n∈N*)
(1)n为奇数时，＝a．
(2)n为偶数时，＝|a|＝
(3)＝0．
(4)负数没有偶次方根．
3．分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定a＝(a>0，m，n∈N*，n>1)
负分数指数幂 规定a－＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
4．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
5．指数函数定义
一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R．
6．指数函数的图象与性质
y＝ax a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)
当x>0时，y>1；当x<0时，00时，01
在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
盘点易错易混
1．化简(a∈R)时忽略n为奇数还是偶数而致错；
2．混淆指数函数与幂函数；
3．当指数函数的底数不确定时，需按01分类讨论；
【小题热身】
1．函数f(x)＝ax－2＋1(a>0，且a≠1)的图象必经过点(　　 )
A．(0，1) B．(1，1)
C．(2，0) D．(2，2)
解析：由f(2)＝a0＋1＝2，知f(x)的图象必过点(2，2)．
答案：D
2．计算：π0＋2－2×＝________．
答案：
3．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
解析：∵y＝是R上的减函数，
∴>>，即a>b>1，
又c＝<＝1，∴c答案：c4．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是__________．
解析：由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得0答案：(－，－1)∪(1，)
5．[易错题]已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，在[1，2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．
解析：当0＜a＜1时，a－a2＝，∴a＝或a＝0(舍去)．当a＞1时，a2－a＝，∴a＝或a＝0(舍去)．综上所述，a＝或．
答案：或
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__指数幂的运算[自主演练]
1．计算：8－＋＋[(－2)6]＝______．
解析：原式＝(23)－1＋|3－π|＋(26)
＝4－1＋π－3＋23
＝π＋8．
答案：π＋8
2．计算：·＝______．(a>0，b>0)
解析：原式＝＝．
答案：
3．若＝3，则＝________．
解析：由＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，
再平方得x2＋x－2＝47．
∴x2＋x－2－2＝45．
(x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18．
∴＝．
答案：
[思维升华]　(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
考点2__指数函数的图象及应用[典例引领]
【例1】　(1)(2021·河北唐山二模)不等式≤的解集是(　　 )
A． B．
C． D．
(2)(多选)已知函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是(　　 )
(3)(多选)若直线y＝2a与函数y＝(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值可以是(　　 )
A． B．
C． D．2
解析：(1)在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：
当＝时，解得x＝，
由图象知：≤的解集是．
(2)由图可得a1＝2，即a＝2，
y＝a－x＝单调递减过点，故A正确；
y＝x－a＝x－2为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，故B正确；
y＝a＝2＝为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；
y＝＝，根据“上不动、下翻上”可知D正确；
(3)①当a>1时，由题得0<2a<1，∴0因为a>1，所以此种情况不存在；
②当0因为0答案：(1)B　(2)ABD　(3)AB
[思维升华]　(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
[对点练]　1．如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝3x，y＝()x的一个是(　　 )
A．① B．②
C．③ D．④
解析：根据函数y＝2x与y＝()x关于y对称，可知①④正确，
函数y＝3x为单调递增函数，故③正确．
所以②不是已知函数图象．
答案：B
2．若函数f(x)＝＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是________．
解析：作出函数g(x)＝的图象如图所示，由图象可知0答案：[－1，0)
考点3__指数函数的性质及应用[多维讲练]
角度1　比较指数式的大小
【例2】　(1)已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　 )
A．bC．b(2)若－1”连接)
解析：(1)由a15＝(2)15＝220＝410，b15＝(2)15＝212＝46，c15＝255＝510>410，可知b15(2)易知3a>0，a<0，a3<0，又由－1a，因此3a>a3>a．
答案：(1)A　3a>a3>a
[思维升华]　比较指数幂大小的常用方法
单调性法 不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底
取中间值法 不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系
图解法 根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小
角度2　解简单的指数方程或不等式
【例3】　(1)(2021·新疆乌鲁木齐二模)不等式2x2－3x＋1<的解集是___________．
(2)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______．
解析：(1)∵2x2－3x＋1<＝2－1，∴x2－3x＋1<－1，即x2－3x＋2<0，解得1故不等式的解集为(1，2)．
(2)当a<1时，41－a＝21，解得a＝；
当a>1时，代入不成立．故a的值为．
答案：(1)(1，2)　(2)
[思维升华]　指数方程或不等式的解法
(1)解指数方程或不等式的依据
①af(x)＝ag(x) f(x)＝g(x)．
②af(x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f(x)＞g(x)；
当0＜a＜1时，等价于f(x)＜g(x)．
(2)解指数方程或不等式的方法
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解．
角度3　指数函数性质的综合应用
【例4】　(1) 若函数f (x)＝－4x＋3有最大值3，则a＝________．
(2)已知函数f(x)＝(a＞0且a≠1)是定义在R上的奇函数．
①求a的值；
②求函数f(x)的值域；
③当x∈[1，2]时，2＋mf(x)－2x≥0恒成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝．因为f (x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f (x)有最大值3时，a的值为1．
答案：1
解：(2) ①∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－，得a＝2．
(注：本题也可由f(0)＝0解得a＝2，但要进行验证)
②由①可得f(x)＝＝＝1－，
∴函数f(x)在R上单调递增．
又2x＋1＞1，∴－2＜－＜0，
∴－1＜1－＜1．
∴函数f(x)的值域为(－1，1)．
③当x∈[1，2]时，f(x)＝＞0．
由题意得mf(x)＝m·≥2x－2在x∈[1，2]时恒成立，
∴m≥在x∈[1，2]时恒成立．
令t＝2x－1，1≤t≤3，
则有m≥＝t－＋1．
∵当1≤t≤3时，函数y＝t－＋1为增函数，
∴＝．∴m≥．
故实数m的取值范围为．
[思维引申]　(1)(变结论)本例(1)中，题设条件不变，求函数f(x)的单调区间．
解：由(1)知f(x)＝－4x＋3，令g(x)＝x2－4x＋3，
由于g(x)在(－∞，2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
而y＝在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，
即函数f(x)的单调递增区间是(－∞，2]，单调递减区间是(2，＋∞)．
(2)(变条件)本例(1)中，若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
解：令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，
由指数函数的性质知，
要使f(x)＝的值域为(0，＋∞)．
应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，
因此只能a＝0(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)．
故f(x)的值域为(0，＋∞)时，a的值为0．
[思维升华]　(1)形如y＝af(x)复合函数的单调性
①若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间；
②若0(2)与指数型函数有关的综合性问题
指数函数通过平移、伸缩及翻折等变换，或与其他函数进行结合形成复合函数时，我们对这类问题的解决方式是进行还原分离，化繁为简，借助函数的单调性、奇偶性、对称性及周期性解决问题．
[对点练]　1．(多选)下列各式比较大小正确的是(　　 )
A．1．72．5>1．73 B．
C．1．70．3>0．93．1 D．<
解析：∵y＝1．7x为增函数，∴1．72．5<1．73，故A不正确．
＝，y＝为减函数，∴>＝2－，故B正确；
∵1．70．3>1，而0．93．1∈(0，1)，∴1．70．3>0．93．1，故C正确；
y＝为减函数，∴<，
又y＝x在(0，＋∞)上递增，∴<，
∴<<，故D正确．
答案：BCD
2．已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．
解析：令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．
而y＝2t是增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，
所以m的取值范围是(－∞，4]．
答案：(－∞，4]
3．已知函数f＝a－(a为常数)．
(1)讨论函数f的奇偶性，并说明理由；
(2)当f为奇函数时，对任意x∈，不等式f≥恒成立，求实数u的最大值．
解：(1)当a＝时f＋f＝2×－－＝3－3＝0，
即f＝－f，故此时函数f是奇函数；
因当a≠时，f＝a－1，f＝a－2，故
f≠f，且f≠－f，
于是此时函数f既不是偶函数，也不是奇函数．
(2)因f是奇函数，故由(1)知a＝，从而f＝－，
由不等式f≥，得u≤·2x－，
令2x＋1＝t∈(因x∈)，故u≤－＝－，
由于函数φ＝－在单调递增，所以φ(t)min＝φ＝1，
因此，当不等式f≥在x∈上恒成立时，umax＝1．
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养
与指数有关的复合函数问题
与指数函数有关的复合函数问题主要有y＝f(ax)和y＝af(x)(a>0且a≠1)两种类型，考查函数的单调性、奇偶性、值域、最值等．
【例1】　已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域和值域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)讨论f(x)的单调性．
解：(1)由ax＋1＞1知，f(x)的定义域为R，
f(x)＝＝1－，
由ax＋1＞1得0＜＜2，
∴－1＜f(x)＜1，即函数f(x)的值域为(－1，1)．
(2)因为f(－x)＝＝＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(3)f(x)＝＝1－．
设x1，x2是R上任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝．
因为x1＜x2，
所以当a＞1时，ax2＞ax1＞0，
从而ax1＋1＞0，ax2＋1＞0，ax1－ax2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)为R上的增函数；
当0＜a＜1时，ax1＞ax2＞0，
从而ax1＋1＞0，ax2＋1＞0，ax1－ax2＞0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
所以f(x)为R上的减函数．
【例2】　如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________．
解析：令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2．当a>1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈[，a]．又函数y＝(t＋1)2－2在[，a]上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．当0答案：3或
[思维升华]　解决y＝f(ax)和y＝af(x)(a>0且a≠1)类型的函数问题的方法
(1)分离常数法：将函数y＝f(ax)分离常数(如例1)后或求出ax＝g(y)，根据ax>0求解；
(2)换元法：令t＝ax或令t＝f(x)，将函数转化为我们熟悉的基本函数求解．注意换元后新元的取值范围．
[对点练]　1．不等式4x－2x＋1＋a>0对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是________．
解析：原不等式可化为a>－4x＋2x＋1对x∈R恒成立，
令t＝2x，则t>0，∴y＝－4x＋2x＋1＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1≤1，当t＝1时，ymax＝1，∴a>1．
答案：(1，＋∞)
2．已知函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，则m的取值范围为________．
解析：设t＝3x，则y＝9x＋m·3x－3＝t2＋mt－3．因为x∈[－2，2]，所以t∈．又函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，即y＝t2＋mt－3在区间上单调递减，故有－≥9，解得m≤－18．所以m的取值范围为(－∞，－18]．
答案：(－∞，－18]
3．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，(b，c∈R)，且f(x)≤0的解集为．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝2f(x)－x2＋3，若对任意的x1、x2∈，都有|g(x1)－g(x2)|≤t，求t的取值范围．
解：(1)由题意，－1，2是方程x2＋bx＋c＝0的两个根，
所以解得b＝－1，c＝－2，
所以f(x)＝x2－x－2，
(2)由题意，g(x)＝2f(x)－x2＋3＝21－x，
对任意的x1、x2∈，都有|g(x1)－g(x2)|≤t，
则当x∈时，g(x)max－g(x)min≤t，
因为当x∈时，g(x)max＝g＝4，g(x)min＝g＝，
所以g(x)max－g(x)min＝4－＝，
所以t≥．
课下巩固培优卷(九)
【A/基础巩固题组】
1．(2020·全国卷Ⅰ)设alog34＝2，则4－a＝(　　 )
A．　 　 　B．　 　 　C．　 　 　D．
解析：由alog34＝2，可得log34a＝2，所以4a＝9，
所以4－a＝．
答案：B
2．函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　 )
解析：当a>1时，y＝ax－为增函数，当x＝0时，y＝1－<1且y＝1－>0，
故A，B不符合．
当0答案：D
3．设a＝0．60．6，b＝0．61．5，c＝1．50．6，则a，b，c的大小关系是(　　 )
A．aC．b解析：因为函数y＝0．6x在R上单调递减，所以b＝0．61．51，所以b答案：C
4．(多选)已知函数f(x)＝，下面说法正确的有(　　 )
A．f(x)的图象关于原点对称
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的值域为(－1，1)
D． x1，x2∈R，且x1≠x2，<0
解析：f(x)＝，定义域为R，则f(－x)＝＝＝－f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，不关于y轴对称，故A正确，B错误．
f(x)＝＝1－，令1＋2x＝t，t∈(1，＋∞)，y＝1－，易知1－∈(－1，1)，故f(x)的值域为(－1，1)，故C正确；
根据复合函数的单调性，可知f(x)＝1－在R上单调递增，故 x1，x2∈R，且x1≠x2，<0不成立，故D错误．
答案：AC
5．已知f(x)＝是定义在R上的奇函数，则不等式f(x－3)A．(－2，6) B．(－6，2)
C．(－4，3) D．(－3，4)
解析：因为f(x)＝是定义在R上的奇函数，所以f(1)＋f(－1)＝0，即＋＝0，解得a＝1，即f(x)＝＝1－，易知f(x)在R上为增函数．又f(x－3)答案：C
6．化简： (a>0，b>0)＝________．
解析：原式＝＝＝．
答案：
7．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：令ax－x－a＝0即ax＝x＋a，若01，y＝ax与y＝x＋a的图象如图所示，有两个公共点．
答案：(1，＋∞)
8．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若不等式＋－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)因为f(x)的图象过A(1，6)，B(3，24)，
所以所以a2＝4，
又a>0，所以a＝2，b＝3．所以f(x)＝3·2x．
(2)由(1)知a＝2，b＝3，
则当x∈(－∞，1]时，＋－m≥0恒成立，
即m≤＋在(－∞，1]上恒成立．
又因为y＝与y＝在(－∞，1]上均单调递减，所以y＝＋在(－∞，1]上也单调递减，所以当x＝1时，y＝＋有最小值，所以m≤，即m的取值范围是．
【B/能力提升题组】
9．(2022·安徽皖江名校模拟)若ea＋πb≥e－b＋π－a，则有(　　 )
A．a＋b≤0 B．a－b≥0
C．a－b≤0 D．a＋b≥0
解析：令f(x)＝ex－π－x，则f(x)在R上单调递增，因为ea＋πb≥e－b＋π－a，所以ea－π－a≥e－b－πb，则f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0．故选D．
答案：D
10．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　 )
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
解析：作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，
因为af(c)>f(b)，
结合图象知，00，　
所以0<2a<1．
所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，
所以f(c)<1，所以0所以1<2c<2，所以f(c)＝|2c－1|＝2c－1，
又因为f(a)>f(c)，
所以1－2a>2c－1，
所以2a＋2c<2，故选D．
答案：D
11．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：∵(m2－m)·4x－2x<0在(－∞，－1]上恒成立，∴(m2－m)<在x∈(－∞，－1]上恒成立．∵y＝在(－∞，－1]上单调递减，∴当x∈(－∞，－1]时，y＝≥2，∴m2－m<2，解得－1答案：(－1，2)
12．已知函数f(x)＝的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是________．
解析：当0≤x≤4时，f(x)∈[－8，1]，
当a≤x<0时，f(x)∈，
所以 [－8，1]，
即－8≤－<－1，即－3≤a<0．
所以实数a的取值范围是[－3，0)．
答案：[－3，0)
13．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，
所以f(x)＝．
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2．
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，
由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．
因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k．
即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，
从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－．
故k的取值范围为．

展开更多......

收起↑