资源简介

第6节　对数函数　
[课标要求]　①理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．②通过实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．③知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1)．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．对数的概念
(1)如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
(2)常用对数与自然对数
常用对数 将以10为底的对数叫做常用对数 把log10N记为lg N
自然对数 将以无理数e＝2．718_28…为底的对数叫做自然对数 把logeN记为ln_N
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M >0，N >0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)；
④logamMn＝logaM．
(2)对数的性质
①alogaN＝N；②logaaN＝N(a>0且a≠1)．
(3)对数的重要公式
①换底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)；
②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad．
3．对数函数的图象与性质
y＝logax a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性质 过定点(1，0)
当x>1时，y>0；当01时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4．反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
(一)必背常用结论
换底公式的三个重要结论：
(1)logab＝；
(2)logambn＝logab；
(3)logab·logbc·logcd＝logad．
(二)盘点易错易混
1．对数的底数含字母时易忽视对底数的讨论；
2．涉及对数的运算及对数函数问题，一定要确保真数大于0，树立定义域优先的思想．
【小题热身】
1．计算log29×log34＋2log510＋log50．25＝(　　 )
A．0 B．2　
C．4 D．6
解析：原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0．25)＝4＋log525＝4＋2＝6．
答案：D
2．函数f(x)＝的定义域是(　　 )
A．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1，3)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1，2)∪(2，3)
解析：由题意知即故函数f(x)的定义域为(1，2)∪(2，3)．故选D．
答案：D
3．(2021·内蒙古呼和浩特一模)函数f＝ln 的单调递增区间为(　　 )
A． B．
C． D．
解析：由题得3x2－6x－24>0，得x>4或x<－2，
即函数的定义域为{x|x>4或x<－2}．
设u＝3x2－6x－24，x∈(－∞，－2)∪(4，＋∞), y＝ln u，
要求函数f＝ln 的单调递增区间，
即求函数u＝3x2－6x－24，x∈(－∞，－2)∪(4，＋∞)的增区间，
因为函数u＝3x2－6x－24，x∈(－∞，－2)∪(4，＋∞)的增区间为，故选D．
答案：D
4．函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________．
解析：当4－x＝1，即x＝3时，y＝loga1＋1＝1．
所以函数的图象恒过点(3，1)．
答案：(3，1)
5．[易错题]函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________．
解析：分两种情况讨论：①当a>1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0答案：2或
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__对数式的运算[自主演练]
1．(2021·北京二中月考)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14．已知pH值的定义为pH＝－lg [H＋]，健康人体血液的pH值保持在7．35～7．45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据： lg 2≈0．30，lg 3≈0．48)(　　 )
A． B．
C． D．
解析：由题设有＝＝1014[H＋]2．又10－7．45≤[H＋]≤10－7．35 ，所以10－0．9≤1014[H＋]2≤10－0．7．所以－0．9≤lg 1014[H＋]2≤－0．7．又lg ≈－0．3，lg ≈－0．48，lg ≈－0．78，lg ＝－1，只有lg 在范围之中．故选C．
答案：C
2．计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________．
解析：原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝2．
答案：2
3．已知log23＝a，3b＝7，则log 32的值为________．
解析：由题意3b＝7，所以log37＝b．
所以log32＝log eq \o\al(\s\up1(),\s\do1()) ＝
＝＝＝．
答案：
[思维升华]　对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
考点2__对数函数的图象及应用[典例引领]
【例1】　(1)(2021·湖南岳阳模拟)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)与g(x)＝logax的图象可能是(　　 )
(2)当0A． B．
C．(1，) D．(，2)
解析：(1)易知g(x)的图象过点(1，0)．若00)单调递增，且递增趋势越来越慢，函数g(x)＝logax单调递减．显然四个选项不满足条件．
若a>1，则函数g(x)＝logax单调递增，函数f(x)＝xa(x>0)单调递增且递增趋势越来越快，显然只有选项A满足条件．故选A．
(2)
构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0，所以a的取值范围为．
答案：(1)A　(2)B
[思维引申]　(1)(变条件)将本例(2)中“4x＜logax”变为“4x＝logax有解”，则实数a的取值范围为________．
解析：若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x与函数y＝logax的图象在上有交点．
由图象可知解得0＜a≤，即a的取值范围为．
答案：
(2)(变条件)若将本例(2)变为：当0＜x≤时，＜logax，则实数a的取值范围为________．
解析：若＜logax在x∈上恒成立，则0＜a＜1，且y＝的图象在y＝logax图象的下方，如图所示，由图象知＜loga，
所以，解得＜a＜1．
即实数a的取值范围是．
答案：
[思维升华]　对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
[对点练]　1．已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
解析：如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．
由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点．
答案：(1，＋∞)
2．当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，则a的取值范围是________．
解析：由题意，易知a＞1．
如图，在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax，x∈(1，2)的图象．
若y＝logax过点(2，1)，得loga2＝1，所以a＝2．
根据题意，函数y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方．
结合图象，a的取值范围是(1，2]．
答案：(1，2]
考点3__对数函数的性质及应用[多维讲练]
高考对对数函数考查重点是对数函数的图象及其单调性的应用，考查比较大小、方程、不等式等知识，一般以客观题出现，难度中低档，常利用数形结合思想解决问题，考查逻辑推理及数学运算素养．
角度1　 比较对数式的大小
【例2】　(1)(多选)若实数a，b满足loga2A．0C．a>b>1 D．0解析：当0当00，loga2<0，故loga2当a>b>1时，log2a>log2b>0，即>>0，故loga2当00，故loga2>logb2，D错误．
答案：ABC
(2)(2020·全国卷Ⅲ)已知55＜84，134＜85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　)
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
解析：a－b＝log53－log85＝－
＝，
由lg 3·lg 8<＝<＝(lg 5)2，可知a－b<0，则a∵55<84，∴5lg 5<4lg 8，∴＜．
∵134<85，∴4lg 13<5lg 8，∴>，
∴<，即log85＜log138，∴b综上可得，a答案：A
[思维升华]　对数函数值大小比较的方法
单调性法 在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底
中间量过渡法 寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”
图象法 根据图象观察得出大小关系
角度2　 解对数方程或不等式
【例3】　(1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________．
(2)已知不等式logx(2x2＋1)解析：(1)原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±，又x>1，所以x＝．
(2)原不等式 ①
或②
解不等式组①得所以实数x的取值范围为．
答案：(1)x＝　(2)
[思维升华]　简单对数不等式问题的求解策略
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论．
(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
[对点练]　1．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　 )
A．(－1，0)∪(0，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0，1)
解析：由题意得
或
解得a＞1或－1＜a＜0．故选C．
答案：C
2．(2021·江西南昌二模)已知f(x)＝，若f(x)＝有两解，则a的取值范围是(　　 )
A． B．
C．(1，2] D．(1，2)
解析：由条件可知a>0且a≠1，当x∈时，ax2＝，解得：x＝，成立，
当x∈时，若00，logax≠，
∴logax＝有解，则a>1，
如图所示，
当loga2>时，有交点，a越大，loga2越小，越大，当a＝2时，loga2＝，
∴a∈．
答案：D
角度3　 对数函数性质的综合应用
【例4】　(1)(2021·吉林长春模拟)已知函数f(x)＝log2在[－2，2]上单调递减，则m的取值范围是(　　 )
A．[4，＋∞) B．(－6，6)
C．(－6，4] D．[4，6)
解析：令g(x)＝－x2－mx＋16，因为y＝log2x是增函数，所以，要使f(x)在[－2，2]上单调递减，只需g(x)在[－2，2]上单调递减，且g(x)>0恒成立．
故解得4≤m<6．
答案：D
(2)已知函数f(x)＝loga(x＋2)＋loga(4－x)(a>0且a≠1)．
①求函数f(x)的定义域；
②若函数f(x)在区间[0，3]上的最小值为－2，求实数a的值．
解：①依题意得解得－2∴f(x)的定义域为(－2，4)．
②f(x)＝loga(x＋2)＋loga(4－x)
＝loga[(x＋2)(4－x)]，
令t＝(x＋2)(4－x)，则变形得t＝－(x－1)2＋9，
∵0≤x≤3，∴5≤t≤9．
若a>1，则loga5≤logat≤loga9，
∴f(x)min＝loga5＝－2，则a2＝<1(舍去)，
若0∴f(x)min＝loga9＝－2，
则a2＝，又0综上，a＝．
[思维升华]　解决对数函数性质的综合问题的注意点
(1)要分清函数的底数a∈(0，1)，还是a∈(1，＋∞)．
(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行．
(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性．
[对点练]　3．(2021·天津和平一模)设a＝8，b＝log32，c＝log23，则a，b，c的大小关系为(　　 )
A．aC．b解析：因为b＝log32log22＝1，故c>b．
因为a＝8>4＝2＝log24>log23＝c，故a>c>b．
答案：C
4．已知x1、x2分别是函数f＝ex＋x－2、g＝ln x＋x－2的零点，则ex1＋ln x2的值为(　　 )
A．e2＋ln 2 B．e＋ln 2
C．2 D．4
解析：根据题意，已知x1、x2分别是函数f＝ex＋x－2、g＝ln x＋x－2的零点，
函数f＝ex＋x－2的零点为函数y＝ex与y＝2－x的交点的横坐标，
则两个函数图象的交点为，
函数g＝ln x＋x－2的零点为函数y＝ln x与y＝2－x的交点的横坐标，
则两个函数图象的交点为，
又由函数y＝ex与函数y＝ln x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，
而直线y＝2－x也关于直线y＝x对称，则点和也关于直线y＝x对称，则有x1＝ln x2，则有ex1＋ln x2＝ex1＋x1＝2，
答案：C
5．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是__________．
解析：当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上单调递减，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，
则f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，即8－2a>a，且8－2a>0，解得1当0由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，
知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，即8－a0．解得a∈ ，
综上可知，实数a的取值范围是．
答案：
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养
与对数有关的复合函数问题
与对数函数有关的复合函数问题高考常考，主要涉及y＝f(logax)与y＝logaf(x)两种类型，考查函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性等等．处理方法主要是换元法，将函数转化为基本初等函数解决，考查直观想象、逻辑推理和数学运算素养．
【例1】　(2021·四川泸县一模)已知函数f＝ln 是奇函数，则a＝________．
解析：∵函数f＝ln 是奇函数，
∴f＝－f，
∴ln ＝－ln ，
即ln＋ln ＝0，
ln ＝0，
∴＝1，
∴a＝1．
答案：1
[思维升华]　函数f(x)＝loga(bx±)或f(x)＝loga(±bx)、f(x)＝loga为奇函数，函数y＝loga(amx＋1)－x为偶函数．
【例2】　(2021·上海华师大二附中三模)已知f(x)＝log．
(1)解不等式：f(x)≤－1；
(2)若y＝f(x)在区间[a，a＋1]上的最小值为－2，求实数a的值．
解：(1)log≤－1＝log2 x2－6x＋10>0，x2－6x＋10≥2 x≥4或x≤2；
(2)令t＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，则
y＝f(x)在区间[a，a＋1]上的最小值为－2 t＝(x－3)2＋1，在x∈[a，a＋1]上的最大值为4，
当a＋≥3，a≥时，tmax＝(a＋1－3)2＋1＝4 a＝2＋；
当a＋<3，a<，tmax＝(a－3)2＋1＝4 a＝3－．
综上，a＝2＋或3－．
【例3】　设函数f＝log3·log3，且≤x≤9．
(1)求f(3)的值；
(2)求函数y＝f的最大值与最小值及与之对应的x的值．
[思维点拨]　(1)代入x＝3计算函数值；
(2)先利用对数的运算性质将解析式整理成关于log3x的函数，然后利用换元法，将函数转化为二次函数，借助二次函数的单调性求出函数取最大值，最小值，接着再求取最值时对应的x的值．
解：(1)f(3)＝log327·log39＝3×2＝6；
(2)令t＝log3x，又∵≤x≤9，∴－2≤log3x≤2，∴－2≤t≤2,
由f＝＝(log3x)2＋3log3x＋2＝t2＋3t＋2，
令g＝t2＋3t＋2＝(t＋)2－，t∈，
①当t＝－时，g(t)min＝－，即log3x＝－，解得x＝，
所以f(x)min＝－，此时x＝；
②当t＝2时，g(t)max＝g(2)＝12，即log3x＝2 x＝9，
∴f(x)max＝12，此时x＝9．
[思维升华]　对于y＝f(logax)与y＝logaf(x)两种类型的函数，主要是利用换元法将函数转化为基本初等函数，然后结合基本初等函数的图象，利用单调性求解，注意换元后新元的取值范围．
[对点练]　1．若函数f (x)＝loga(x2－x＋2)在区间[0，2]上的最大值为2，则实数a＝__________．
解析：令u(x)＝x2－x＋2，则u(x)在[0，2]上的最大值u(x)max＝4，最小值u(x)min＝． 当a>1时，y＝logau是增函数，f (x)max＝loga4＝2，得a＝2；当0答案：2
2．(2021·重庆杨家坪中学模拟)已知函数f(x)＝loga＋bx(a>0且a≠1，b∈R)是偶函数，函数g(x)＝ax(a>0且a≠1) ．
(1)求b的值；
(2)若函数h(x)＝f(x)－x－a有零点，求a的取值范围；
解：(1)∵f(x)为偶函数，∴ x∈R，有f＝f(x)，
loga－bx＝loga＋bx对x∈R恒成立．
∴loga－loga＝2bx对x∈R恒成立．
∴2bx＝－x，x∈R恒成立，∴b＝－．
(2)若函数h(x)＝f(x)－x－a有零点，
即loga－x＝a，即loga＝a有解．
令p(x)＝loga，则函数y＝p(x)图象与直线y＝a有交点．
当01，p(x)＝loga<0，loga＝a无解．
当a>1时，∵1＋>1，p(x)＝loga>0，由loga＝a有解可知a>0，所以a>1，
∴a的取值范围是．
课下巩固培优卷(十)
【A/基础巩固题组】
1．log29·log32＋loga＋loga(a>0，且a≠1)的值为(　　 )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：原式＝2log23×log32＋loga＝2×1＋1＝3．
答案：B
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于(　　 )
A．log2x B．
C．logx D．2x－2
解析：函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2．故f(x)＝log2x．
答案：A
3．已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的大致图象是(　　 )
解析：因为函数f＝所以函数f＝
当x＝0时，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的图象过点(0，3)，排除A；
当x＝－2时，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除B；
当x<0时，1－x>1，f(1－x)＝log<0，排除C．
答案：D
4．5G技术的数学原理之一是著名的香农公式：C＝Wlog2．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．假设目前信噪比为1 600，若不改变带宽W，而将最大信息传播速度C提升50%，那么信噪比要扩大到原来的约(　　 )
A．10倍 B．20倍
C．30倍 D．40倍
解析：由条件可知C＝Wlog21 600，
设将最大信息传播速度C提升50%，那么信噪比要扩大到原来的t倍，则C＝Wlog2，所以log21 600＝log2，
即log21 600＝log2，所以1 600t＝1 600，解得t＝40．
答案：D
5．(多选)已知函数f(x)＝log2(1－|x|)，则关于函数f(x)有下列说法，其中正确的说法为(　　 )
A．f(x)的图象关于原点对称
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的最大值为0
D．f(x)在区间(－1，1)上单调递增
解析：f(x)＝log2(1－|x|)为偶函数，不是奇函数，
∴A错误，B正确；
根据f(x)的图象(图略)可知D错误；
∵1－|x|≤1，∴f(x)≤log21＝0，故C正确．
答案：BC
6．已知a>0，且a≠1，函数y＝loga(2x－3)＋的图象恒过点P．若点P也在幂函数f(x)的图象上，则f(x)＝________．
解析：设幂函数为f(x)＝xx，因为函数y＝loga(2x－3)＋的图象恒过点P(2，)，则2x＝，所以x＝，故幂函数为f(x)＝x．
答案：x
7．函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为__________．
解析：依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝－≥－，当log2x＝－，即x＝时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－．
答案：－
8．已知函数f(x)＝log(x2－2ax＋3)．
(1)若f(－1)＝－3，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－∞，2)上为增函数？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．
解：(1)由f(－1)＝－3，得log(4＋2a)＝－3．
所以4＋2a＝8，所以a＝2．
则f(x)＝log(x2－4x＋3)，
由x2－4x＋3>0，得x>3或x<1．
故函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．
令μ＝x2－4x＋3，
则μ在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．
又y＝logμ在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)．
(2)令g(x)＝x2－2ax＋3，要使f(x)在(－∞，2)上为增函数，应使g(x)在(－∞，2)上单调递减，且恒大于0．
因此即a无解．
所以不存在实数a，使f(x)在(－∞，2)上为增函数．
【B/能力提升题组】
9．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是(　　 )
A． B．
C． D．
解析：当00，即0<－a<1，解得1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是．
答案：A
10．(2020·全国卷Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　 )
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a解析：由题设知，2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log4b2．
又log4b2＝log2b＝log2(2b)－1，
所以2a＋log2a＝22b＋log2(2b)－1，
从而2a＋log2a<22b＋log2(2b)．
令函数f(x)＝2x＋log2x，x∈(0，＋∞)，
则有f(a)所以a<2b, 故选B．
答案：B
11．已知函数f(x)＝|log 3x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________．
解析：因为f(x)＝|log3x|＝
所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得
则所以0＜m2＜m＜1，
则f(x)在[m2，1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，
所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，
则f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)＝－log3m2＝2，
解得m＝，则n＝3，所以＝9．
答案：9
12．已知函数f＝若存在实数x1、x2、x3、x4满足x1解析：函数f(x)的图象如下图所示：
若满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，其中x1则log4x1＝－log4x2，即log4x1＋log4x2＝log4x1x2＝0，则x1x2＝1，
同时x3∈(4，5)，x4∈(7，8)，
∵x3，x4关于x＝6对称，∴＝6，
则x3＋x4＝12，则x4＝12－x3，
则x1x2x3x4＝x3x4＝x3(12－x3)＝－x＋12x3＝－(x3－6)2＋36，
∵x3∈(4，5)，
∴x3x4∈(32，35)，
即x1x2x3x4∈(32，35)．
答案：
13．已知函数g＝ax2－2ax＋1＋b在区间上有最大值4和最小值1．设f＝．
(1)求a，b的值；
(2)若不等式f－2klog2x≥0在x∈上有解，求实数k的取值范围．
解：(1)函数g＝a＋1＋b－a，
∵a>0，∴g为开口向上的抛物线，且对称轴为x＝1，
∴g在区间上是增函数，
∴解得a＝1，b＝0．
(2)由(1)可得g＝x2－2x＋1，则f＝x＋－2．
∴f－2klog2x≥0在x∈上有解等价于log2x＋－2≥2klog2x在x∈上有解．即2k≤－＋1在x∈上有解．
令t＝，∵x∈，∴t∈，∴2k≤t2－2t＋1在t∈上有解，
记φ＝t2－2t＋1＝(t－1)2∴t∈，则φ在t∈为减函数，φ(t)max＝φ＝，∴2k≤，则k≤∴k的取值范围为．

展开更多......

收起↑