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高中数学——割补法与等积变换求解体积问题
例1 在正方体中，动点E在棱上，动点F在线段上，O为底面ABCD的中心，若，，则四面体的体积
A. 与x，y都有关 B. 与x，y都无关
C. 与x有关，与y无关 D. 与y有关，与x无关
【答案】B
【分析】利用线面平行换顶点，化动为静.
【解析】易知，平面，故四面体即四面体与四面体同底等高，即
同理，平面，故四面体即四面体与四面体同底等高，即
所以，故与x，y都无关.
例2 如图所示，在多面体中，已知四边形是边长为的正方形，且、均为正三角形，，，则该多面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将物体切割成一个三棱柱，两个三棱锥分别计算体积.
【解析】在上取点使，连接，
是边长为1的正方形，且、均为正三角形，，
所以四边形为等腰梯形，，，
根据等腰梯形性质，，
是平面内两条相交直线，是平面内两条相交直线，
所以平面，平面，
，
几何体体积为
，
故选：A
例3 如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为 cm3.
【答案】
【解析】如图所示，连结交于点，
因为 平面，又因为，所以，，
所以四棱锥的高为，
根据题意，所以，
又因为，，故矩形的面积为，
从而四棱锥的体积.
例4 如下图，四棱锥中，平面，
，则点到平面的距离为 .
【答案】
【分析】先证明，而所求点到平面的距离，需利用“算两次”，求出三棱锥的体积即可.
【解析】因为平面,平面,
所以.由,得
又,平面,平面,所以平面,
因为平面,所以.
连结.设点到平面的距离为.
因为,,所以从而由,
得的面积.由平面及,得三棱锥
的体积因为平面平面,
所以,又,所以
由,,得的面积,
由,得
因此．点到平面的距离为
【巩固训练】
1.如下图，在长方体中，3 cm，2 cm，1 cm，则三棱锥的体积为 cm3
2.如图，在正方体中，，为的中点，则三棱锥的体积为 cm3．
3.如图，已知正四棱柱的体积为36，点，分别为棱，上的点（异于端点），且，则四棱锥的体积为 ．
4．如图，三棱锥中，是中点，在上，且，若三棱锥的体积是2，则四棱锥的体积为 ．
5.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A—A1EF的体积是 ．
6.如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 ．
7.在直三棱柱中，，，，.则到面的距离为 .
【答案与提示】
1.【答案】1
【提示】直接使用等体积法.
2.【答案】
【提示】直接使用等体积法.
3.【答案】12
【解析一】特殊位置法，转化为求四棱锥的体积；
【解析二】连接DE，则三菱锥与三菱锥体积相等，所以，因为，所以.
【解析三】补体，如右图.
4．【答案】10
【解析】补体，转化为三菱锥与三棱锥的体积比，实施等积变换.
，
因为，，
则四棱锥的体积为10.
5.【答案】
【提示】直接使用等体积法.
6. 【答案】1：24
【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1：2，故体积之比为1：8．
又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1：3．所以，三棱锥与三棱柱的体积之比为1：24．
7.【答案】.
【解析】因为三棱锥与三棱锥的底面积相等，
高也相等（点C到平面的距离）；
所以三棱锥与三棱锥的体积相等.
又，
所以.
设到面的距离为H，
则，解得.

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