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第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式　
[课标要求]　(1)同角三角函数的基本关系式：理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；
(2)诱导公式：借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：＝tan α．
2．三角函数的诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α
余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α
正切 tan_α tan_α －tan_α －tan_α － －
口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看象限
(一)必背常用结论
同角三角函数基本关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；
(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α；
sin α＝tan αcos α；
sin 2α＝＝；
cos2α＝＝．
(二)盘点易错易混
1．利用同角三角函数的基本关系和诱导公式时不注意角的范围出错；
2．利用诱导公式化简、求值时．对“±α”的形式中的k没进行分类讨论导致出错．
【小题热身】
1．已知sin α＝，α∈，则tan α＝(　　)
A．－2　　　B．2　　　C．　　　D．－
解析：因为≤α≤π，所以cos α＝－
＝－＝－，所以tan α＝＝－．
答案：D
2．已知sin ＝，那么cos α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：∵sin ＝sin ＝cos α，
∴cos α＝．
答案：C
3．已知tan α＝2，则等于(　　 )
A．　　B．－　　C．　　D．－
解析：原式＝＝＝．
答案：A
4．化简·sin (α－π)·cos (2π－α)的结果为________．
解析：原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin 2α．
答案：－sin 2α
5．[易错题]已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是________．
解析：当k为奇数时：A＝－＝－2．
当k为偶数时：A＝＋＝2．
答案：{－2，2}
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__同角三角函数基本关系的应用[多维讲练]
高考对同角三角函数基本关系式的考查常以选择题、填空题的形式出现，既有单独命题也常与三角函数的定义、诱导公式、三角恒等变换等相结合，考查三角函数的化简、求值等，难度中等偏下．
角度1　公式的直接应用
【例1】　(1)已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan α＝(　　 )
A． B．－
C． D．－
(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为________．
解析：(1)因为cos α＝－且α∈(0，π)，
所以sin α＝＝，
所以tan α＝＝－．故选D．
(2)由tan α＝－，
得sin α＝－cos α，且sin α>0，cos α<0，
将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝1，
所以cos α＝－，sin α＝，
故sin α＋cos α＝－．
答案：(1)D　(2)－
[思维升华]　“知一求二”——公式的直接应用
公式的直接应用，即已知sin α，cos α，tan α中的一个求另外两个的值．解决此类问题时，直接套用公式sin 2α＋cos 2α＝1及tan α＝即可，但要注意α的范围，即三角函数值的符号．
角度2　sin α，cos α的齐次式问题
【例2】　已知＝－1，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin 2α＋sin αcos α＋2．
解：由已知得tan α＝．
(1)＝＝－．
(2)sin 2α＋sin αcos α＋2
＝＋2
＝＋2
＝＋2＝．
[思维升华]　常见的弦化切的结构形式
(1)sinα，cos α的一次齐次分式，解决此类问题时，用分子分母同时除以cos α，将其转化为关于tan α的式子，进而求解．
(2)sin α，cos α的二次齐次式(如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos2α)，解决此类问题时，将原式看成分母是1的表达式，把1换成“sin2α＋cos 2α”，然后用分子分母同时除以cos 2α将其转化为关于tan α的式子，进而求解．　
角度3　sin α±cos α与sin α·cos α之间的关系
【例3】　已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则sin θ·cos θ＝______，sin θ－cos θ＝________．
解析：由sin θ＋cos θ＝，平方得sin2θ＋cos2θ＋2sinθcos θ＝，整理得2sin θcos θ＝－，
∴sin θcos θ＝－．
由(sin θ－cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθcos θ＝1＋＝，
∴sin θ－cos θ＝±
由sin θ·cos θ<0，且θ∈(0，π)，则sin θ>0，cos θ<0，
∴sin θ－cos θ＝
答案：－　
[思维升华]　“sin α±cos α，sin αcos α”关系的应用
sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝，sin αcos α＝．因此在解题时已知一个可求另外两个．
[对点练]　(1) 已知＝5，则cos 2α＋sin 2α的值是(　　 )
A．　　　B．－　　　C．－3　　　D．3
解析：由＝5得＝5，可得tan α＝2，
则cos 2 α＋sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝＝＝．
答案：A
(2)(多选)(2021·山东滨州模拟)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　 )
A．sin θ＝ B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
解析：由题意知sin θ＋cos θ＝，
∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
∴2sin θcos θ＝－<0，
又∵θ∈(0，π)，∴<θ<π，∴sin θ－cos θ>0，
∴sin θ－cos θ＝＝＝＝，∴sin θ＝，cos θ＝－．∴tan θ＝－，∴A、B、D正确．
答案：ABD
考点2__诱导公式的应用[典例引领]
【例4】　(1)已知cos ＝，求cos 的值；
(2)已知π<α<2π，cos (α－7π)＝－，求sin (3π＋α)·tan 的值．
[思维点拨]　利用诱导公式解决给值求值问题，突破口在于找到已知角和待求角的关系，只要满足两角和或差等于的整数倍，即可利用诱导公式来求值．
解：(1)∵＋＝π，
∴－α＝π－．
∴cos ＝cos
＝－cos ＝－．
(2)∵cos (α－7π)＝cos (7π－α)＝cos (π－α)＝－cos α＝－，∴cos α＝．
∴sin (3π＋α)·tan
＝sin (π＋α)·
＝sin α·tan
＝sin α·
＝sin α·＝cos α＝．
[思维升华]　1．诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
2．含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中，可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos (5π－α)＝cos (π－α)＝－cos α．
[对点练]　1．(多选)(2021·山东潍坊模拟)下列化简正确的是(　　)
A．tan (π＋1)＝tan 1
B．＝cos α
C．＝tan α
D．＝1
解析：利用诱导公式及tan α＝ ，
A选项：tan (π＋1)＝tan 1，故A正确；
B选项：＝＝＝cos α，故B正确；
C选项：＝＝－tan α，故C不正确；
D选项：＝
＝－＝－1，故D不正确．
答案：AB
2．已知sin (π＋α)＝，α是第四象限的角，则cos (α－2π)＝(　　)
A．　　B．－　　C．±　　D．
解析：由sin (π＋α)＝，得sin α＝－．
因为α是第四象限角，所以cos α＝＝．
所以cos(α－2π)＝cos α＝．
答案：A
3．(2021·浙江湖州检测)若cos (π－α)＝－，则(　　)
A．sin (－α)＝
B．sin ＝－
C．cos (π＋α)＝
D．cos (α－π)＝－
解析：由cos (π－α)＝－可得cos α＝，则sin α＝±．于是sin (－α)＝－sin α＝±，A不正确；
sin ＝cos α＝，B不正确；
cos (π＋α)＝－cos α＝－，C不正确；
cos (α－π)＝－cos α＝－，D正确．
答案：D
4．已知sin ＝，则cos 的值为________．
解析：cos ＝cos
＝－sin ＝－．
答案：－
考点3__同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用[典例引领]
【例5】　(1)(2021·山东聊城模拟)已知α为锐角，且2tan (π－α)－3cos ＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　 )
A．　　B．　　C．　　D．
解析：由已知得
消去sin β，得tan α＝3，
∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，
化简得sin 2α＝，则sin α＝(α为锐角)．
答案：C
(2)已知－π解：由已知，得sin x＋cos x＝，
两边平方得sin 2x＋2sin x cos x＋cos 2x＝，
整理得2sin x cos x＝－．
∵(sin x－cos x)2＝1－2sin x cos x＝，
由－π又sin x cos x＝－<0，
∴cos x>0，∴sin x－cos x<0，
故sin x－cos x＝－．
∴＝
＝
＝＝－．
[思维升华] 　(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
[对点练]　(1)(2022·山东潍坊调研)已知3sin (＋α)＝－5cos ，则
tan 等于(　　 )
A．－ B．－
C． D．
解析：由3sin ＝－5cos ，
得sin ＝－cos ，
所以tan ＝＝
＝－．
答案：A
(2)已知函数f(x)＝a sin (πx＋α)＋b cos (πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 021)的值为________．
解析：因为f(x)＝a sin (πx＋α)＋b cos (πx＋β)，
所以f(4)＝a sin (4π＋α)＋b cos (4π＋β)
＝a sin α＋b cos β＝3，
所以f(2 021)＝a sin (2 021π＋α)＋b cos (2 021π＋β)
＝a sin (π＋α)＋b cos (π＋β)
＝－a sin α－b cos β＝－3．
答案：－3
课下巩固培优卷(十八)
【A/基础巩固题组】
1．sin 1 050°等于(　　 )
A．　　B．－　　C．　　D．－
解析：sin 1050°＝sin (3×360°－30°)＝－sin 30°＝－．
答案：B
2．α是第四象限角，tan α＝－，则sin α等于(　　)
A．　　B．－　　C．　　D．－
解析：∵tan α＝＝－，∴cos α＝－sin α．
∵sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＋sin2α＝sin2α＝1．
又sinα<0，∴sin α＝－．
答案：D
3．已知tan θ＝2，则＋sin 2θ的值为(　　 )
A．　　B．　　C．　　D．
解析：原式＝＋＝＋，将tanθ＝2代入上式，则原式＝．
答案：C
4．已知θ∈，则2cos θ＋＝(　　 )
A．sin θ＋cos θ B．sin θ－cos θ
C．cos θ－sin θ D．3cos θ－sin θ
解析：因为θ∈，所以sin θ>cos θ，则2cos θ＋＝2cos θ＋＝2cos θ＋sin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ，故选A．
答案：A
5．(多选)在△ABC中，下列关系恒成立的是(　　)
A．tan (A＋B)＝tan C
B．cos (2A＋2B)＝cos 2C
C．sin ()＝sin
D．sin ()＝cos
解析：tan (A＋B)＝tan (π－C)＝－tan C，故A不正确；
cos (2A＋2B)＝cos (2(π－C))＝cos (－2C)＝cos 2C，故B正确；
sin ()＝sin ()＝cos ，故C不正确，D正确．
答案：BD
6．(多选)若sin α＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有(　　 )
A．tanα＝ B．cos α＝
C．sin α＋cos α＝ D．sin α－cos α＝－
解析：∵sin α＝，且α为锐角，
∴cos α＝＝＝，故B正确，
∴tan α＝＝＝，故A正确，
∴sin α＋cos α＝＋＝≠，故C错误，
∴sin α－cos α＝－＝≠－，故D错误．
答案：AB
7．已知sin θ＝，则＝________．
解析：原式＝＝＝＝＝．
答案：
8．(2021·河北保定调研)已知sin α＝，0<α<π，则sin ＋cos ＝________．
解析：＝1＋sin α＝，又0<α<π，∴sin ＋cos >0，∴sin ＋cos ＝．
答案：
【B/能力提升题组】
9．已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝，则sin α－cos α＝(　　)
A．－　　B．－　　C．　　D．
解析：∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝－＜0．
∵α∈(0，π)，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0．
又(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，
∴sin α－cos α＝．
答案：D
10．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　　 )
A．　　　B．　　　C．　　　D．1
解析：由cos 2α＝，得cos 2α－sin 2α＝，
∴＝，即＝，∴tanα＝±，
即＝±，∴|a－b|＝．故选B．
答案：B
11．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则
tan2(π－α)＝________．
解析：因为方程5x2－7x－6＝0的根为x1＝2，x2＝－，由题意知sinα＝－，故cos α＝－，tan α＝，所以原式＝＝－tan2α＝－．
答案：－
12．已知θ∈，且＋＝35，则tan θ＝________．
解析：依题意得12(sin θ＋cos θ)＝35sin θcos θ，令sin θ＋cos θ＝t，因为θ∈，所以t>0，则原式化为12t＝35·，解得t＝，故sin θ＋cos θ＝，则sin θcos θ＝，即＝，即＝，12tan2θ－25tanθ＋12＝0，解得tan θ＝或．
答案：或
13．已知α，β∈(0，2π)且α＜β，若关于x的方程(x＋sin α)·(x＋sin β)＋1＝0有实数根，求代数式的值．
解：整理方程(x＋sin α)(x＋sin β)＋1＝0得x2＋x(sin α＋sin β)＋sin αsin β＋1＝0．
由题意得Δ＝(sin α＋sin β)2－4sin αsin β－4≥0，即(sin α－sin β)2≥4．①
因为－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以sin α－sin β∈[－2，2]，从而(sin α－sin β)2≤4．②
由①②得sin α－sin β＝±2，
所以或
因为α，β∈(0，2π)且α＜β，所以α＝，β＝，
即因此
＝＝＝．

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