资源简介

第三章　一元函数的导数及其应用
第1节　导数的概念及意义、导数的运算
　
[课标要求]　(1)导数概念及其意义：①通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．②体会极限思想．③通过函数图象直观理解导数的几何意义．
(2)导数运算：①能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数．③会使用导数公式表．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．平均变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
2．导数
(1)导数的定义：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0 )或y′|x＝x0，即f′(x0 )＝_＝
_．
(2)导函数：当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝_．
(3)导数的几何意义
函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0 )的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0 ))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)＝_．
【温馨提示】
曲线的切线不一定与曲线只有一个交点，可以有两个甚至多个交点．
3．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0) f′(x)＝ax_ln_a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
4．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
(1)定义：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)求导法则：一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x．
盘点易错易混
1．求导时没掌握复合函数的求导法则致误．
2．混淆在点P处的切线和过P点的切线．
3．利用公式求导时，不要将幂函数的求导公式(xn)′＝nxn－1(n∈Q*)与指数函数的求导公式(ax)′＝ax ln a(a>0，a≠1)混淆．
4．直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明此直线与曲线只有一个公共点．
5．曲线未必在其切线的“同侧”，例如直线y＝0是曲线y＝x3在点(0，0)处的切线．
【小题热身】
1．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4．9t2＋8t(距离单位：米；时间单位：秒)，则他在0．5秒时的瞬时速度为(　　 )
A．9．1米/秒 B．6．75米/秒
C．3．1米/秒 D．2．75米/秒
解析：h′(t)＝－9．8t＋8，∴h′(0．5)＝－9．8×0．5＋8＝3．1．
答案：C
2．(多选)下列导数的运算中正确的是(　　 )
A．(3x)′＝3x ln 3
B．(x2ln x)′＝2x ln x＋x
C．′＝
D．(sin x cos x)′＝cos 2x
解析：　因为′＝，所以C项错误，其余都正确．
答案：ABD
3．已知函数f(x)＝sin ，则f′(x)＝________．
解析：f′(x)＝′＝cos ·′＝2cos ．
答案：2cos
4． (2021·全国高考甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为__________．
解析：由题，当x＝－1时，y＝－3，故点在曲线上．
求导得：y′＝＝，
所以y′|x＝－1＝5．
故切线方程为5x－y＋2＝0．
答案：5x－y＋2＝0
5．[易错题]已知函数f(x)＝ln (3－2x)＋e2x－3，则f′(x)＝__________ ．
解析：f′(x)＝·(3－2x)′＋e2x－3·(2x－3)′
＝＋2e2x－3．
答案：＋2e2x－3
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__导数的运算[自主演练]
【例1】　求下列函数的导数：
(1)y＝ex·ln x；
(2)y＝；
(3)y＝x；
(4)y＝sin2；
(5)y＝ln (2x＋5)．
解：(1)y′＝(ex·ln x)′＝ex ln x＋ex·
＝ex．
(2)y′＝′＝
＝－．
(3)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－．
(4)y＝sin2＝－cos，
故设y＝－cos u，u＝4x＋π，
则yx′＝yu′·ux′＝sin u·4＝2sin u＝2sin ．
(5)设y＝ln u，u＝2x＋5，
则y′x＝y′u·u′x＝·2＝．
[思维升华]　1．求函数导数的原则：先化简解析式，再求导．
2．常见形式及具体求导六种方法
连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导
三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式 先化为和或差的形式，再求导
复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元
[对点练]　1．(2020·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝，若f′(1)＝，则a＝________．
解析：由于f′(x)＝，故f′(1)＝＝，解得a＝1．
答案：1
2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________．
解析：因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋，所以f′(2)＝－．
答案：－
3．求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin x；
(2)y＝x－sin cos ；
(3)y＝．
解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2x sin x＋x2cos x．
(2)∵y＝x－sin cos ＝x－sin x，
∴y′＝1－cos x．
(3)令u＝2x＋1，y＝u，
∴y′＝u－(u)′＝＝．
考点2__导数的几何意义[多维讲练]
导数的几何意义一直是高考考查的热点，重点是求切线问题，以选择题、填空题的形式为主，有时也以解答题的第1问出现，难度较小。
角度1　求切线方程
【例2】　(1)(2020·全国Ⅰ卷)函数f (x)＝x4－2x3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为(　　 )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
(2)已知函数f (x)＝x ln x．若直线l过点(0，－1)，且与曲线y＝f (x)相切，则直线l的方程为______________．
解析：(1)因为f (x)＝x4－2x3，所以f ′(x)＝4x3－6x2，f (1)＝－1．所以f ′(1)＝－2．
因此，所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，
即y＝－2x＋1．
(2)点(0，－1)不在曲线f (x)＝x ln x上，设切点坐标为(x0，y0)．
因为f ′(x)＝1＋ln x，所以直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x．
由解得
所以直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0．
答案：(1)B　(2)x－y－1＝0
[思维升华]　求曲线的切线方程的注意事项
(1)当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0；
(2)注意区分曲线在某点处的切线和过某点的曲线的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．
角度2　求切点坐标
【例3】　(1)(2020·全国卷Ⅰ)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．
(2)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点
(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．
解析：　(1)设切点坐标为(x0，ln x0＋x0＋1)．由题意得y′＝＋1，则该切线的斜率k＝＝＋1＝2，解得x0＝1，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x．
(2)设A(x0，ln x0)，又y′＝，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，将(－e，－1)代入得，－1－ln x0＝(－e－x0)，化简得ln x0＝，解得x0＝e，则点A的坐标是(e，1)．
答案：　(1)y＝2x　(2)(e，1)
[思维升华]　求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
角度3　求参数的范围
【例4】　(1)(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋x ln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　 )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
(2)(2022·山东淄博联考)若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．
解析：(1)因为y′＝aex＋ln x＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，
所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，
所以解得
(2)直线2x－y＝0的斜率k＝2，
又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，
∴f′(x)＝＋4x－a＝2在(0，＋∞)内有解，
则a＝4x＋－2，x>0．
又4x＋≥2＝4，当且仅当x＝时取“＝”．
∴a≥4－2＝2．
∴a的取值范围是[2，＋∞)．
答案：(1)D　(2)[2，＋∞)
[思维升华]　处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
[对点练]　1．曲线f＝x cos x在点处的切线方程为____________．
解析：由题设知：f′＝cos x－x sin x，
∴f′＝cos 0－0×sin 0＝1，而f＝0cos 0＝0，
∴f在点处的切线方程为y＝x．
答案：y＝x
2．若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
解析：设点P(x0，y0)，∵y＝x ln x，∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x．∴曲线y＝x ln x在点P处的切线斜率k＝1＋ln x0．又k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e，y0＝eln e＝e．∴点P的坐标是(e，e)．
答案：(e，e)
3．曲线y＝a－2ln x在点(1，a)处的切线与曲线y＝－ex相切，则a＝_____．
解析：对y＝a－2ln x求导，得y′＝－，
∴y′∣x＝1＝－2，
则曲线y＝a－2ln x在点(1，a)处的切线方程为y－a＝－2(x－1)，即y＝－2x＋a＋2．
设y＝－2x＋a＋2与y＝－ex相切于点，
对y＝－ex求导，得y′＝－ex，
由－ex0＝－2，得x0＝ln 2，即切点为(ln 2，－2)．
又切点在切线y＝－2x＋a＋2上，∴－2ln 2＋a＋2＝－2，即a＝2ln 2－4．
答案：2ln 2－4．
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养
两曲线的公切线问题
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法．
[典例]　(1)(2022·山东日照模拟)若函数f(x)＝ln x＋x与g(x)＝的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线y＝2x＋1平行，则实数m＝(　　 )
A． B．
C． D．
(2)(2022·江西五校联考)若函数f(x)＝ln x＋ax与函数g(x)＝x2的图象存在公切线，则实数a的取值范围是(　　 )
A．(－∞，－1] B．(－∞，0]
C．(－∞，1] D．(－∞，2]
(3)(2022·江苏苏州联考)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为_________________________________．
解析：(1)设函数f＝ln x＋x图象上切点为(x0，y0)，因为f′(x)＝＋1，所以f′(x0)＝＋1＝2，得x0＝1, 所以y0＝f(x0)＝f(1)＝1，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，设函数g＝的图象上的切点为(x1，y1)(x1≠1)，因为g′(x)＝＝，所以g′(x1)＝＝2，即m＝2x－4x1＋4，又y1＝2x1－1＝g(x1)＝，即m＝－2x＋5x1－1，所以2x－4x1＋4＝－2x＋5x1－1，即4x－9x1＋5＝0，解得x1＝或x1＝1(舍)，所以m＝2×－4×＋4＝．
(2)f′(x)＝＋a，g′(x)＝2x，设公切线与g(x)的图象的切点为(s，t)，与f(x)的图象的切点为(m，n)(m＞0)，则公切线的斜率k＝2s＝＋a＝，又t＝s2，n＝ln m＋am，所以n－t＝2sm－2s2＝1＋am－2s2＝1＋am－2t，则n＝1＋am－t＝ln m＋am，t＝1－ln m＝s2，ln m＝1－s2，可得m＝e1－s2，a＝2s－＝2s－es2－1．设h(s)＝2s－es2－1，则h′(s)＝2－2ses2－1＝0，得s＝1，当s＞1时，h′(s)＜0，h(s)在(1，＋∞)上单调递减，当s＜1时，h′(s)＞0，h(s)在(－∞，1)上单调递增，所以h(s)max＝h(1)＝2－1＝1，故a≤1．
(3)设l与f(x)＝ex的切点为(x1，y1)，
则y1＝ex1，f′(x)＝ex，∴f′(x1)＝ex1，∴切点为(x1，ex1)，切线斜率k＝ex1，
∴切线方程为y－ex1＝ex1(x－x1)，
即y＝ex1·x－x1ex1＋ex1，①
同理设l与g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，y2)，
∴y2＝ln x2＋2，g′(x)＝，∴g′(x2)＝，切点为(x2，ln x2＋2)，切线斜率k＝，∴切线方程为y－(ln x2＋2)＝(x－x2)，
即y＝·x＋ln x2＋1，②
由题意知，①与②相同，
∴
把③代入④有－x1ex1＋ex1＝－x1＋1，
即(1－x1)(ex1－1)＝0，
解得x1＝1或x1＝0，
当x1＝1时，切线方程为y＝ex；
当x1＝0时，切线方程为y＝x＋1，
综上，直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1．
答案：(1)A　(2)C　(3)y＝ex或y＝x＋1
[思维升华]　解决此类问题通常有两种方法：一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2 (x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝．
[对点练]　1．已知曲线C1：f＝ex＋a和曲线C2：g＝ln (x＋b)＋a2，若存在斜率为1的直线与C1，C2同时相切，则b的取值范围是(　　 )
A． B．
C． D．
解析：f′＝ex，g′＝，设斜率为1的切线在C1，C2上的切点横坐标分别为x1，x2，
由题知ex1＝＝1，∴x1＝0，x2＝1－b，
两点处的切线方程分别为y－＝x和y－a2＝x－，
故a＋1＝a2－1＋b，即b＝2＋a－a2＝－＋≤．
答案：D
2．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ex－2的切线，也是曲线y＝ex－1的切线，则k＋b＝(　　 )
A． B．
C． D．
解析：设曲线y＝ex－2上的点P(x1，y1)，y′＝ex－2，k1＝ex1－2；
曲线y＝ex－1上的点Q(x2，y2)，y′＝ex，k2＝ex2；
∴l1：y＝ex1－2x＋ex1－2－x1ex1－2，∴l2：y＝ex2x＋ex2－1－x2ex2
∴
∴x2＝－ln 2，
∴k＋b＝ex2＋ex2－1－x2ex2
＝＋－1－(－ln 2)＝．
答案：D
3．若两曲线y＝x2＋1与y＝a ln x＋1存在公切线，则正实数a的取值范围是______．
解析：设公切线与曲线y＝x2＋1和y＝a ln x＋1的交点分别为(x1，x＋1)，(x2，a ln x2＋1)，其中x2＞0，
对于y＝x2＋1，y′＝2x，所以与曲线y＝x2＋1相切的切线方程为：y－(x＋1)＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x＋1，
对于y＝a ln x＋1，y′＝，
所以与曲线y＝a ln x＋1相切的切线方程为y－(a ln x2＋1)＝(x－x2)，即y＝x－a＋1＋a ln x2，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x1＝\f(a,x2)，,1－x＝1＋a1n x2－a，)) 即有－ eq \f(a2,4x) ＝a ln x2－a，
由a＞0，可得a＝4x2－4x2ln x，
记f(x)＝4x2－4x2ln x(x＞0)，f′(x)＝8x－4x－8x ln x＝4x(1－2ln x)，
当x＜时，f′(x)＞0，即f(x)在(0，)上单调递增，当x＞时，f′(x)＜0，即f(x)在(，＋∞)上单调递减，
所以f(x)max＝f()＝2e，又x→0时，f(x)→0，x→＋∞时，f(x)→－∞，
所以0＜a≤2e．
答案：(0，2e]
课下巩固培优卷(十四)
【A/基础巩固题组】
1．已知函数f(x)可导，则 等于(　　 )
A．f′(x) B．f′(2)
C．f(x) D．f(2)
解析：因为函数f(x)可导，
所以f′(x)＝ ，
所以 ＝f′(2)．
答案：B
2．(2022·安徽江南十校联考)曲线f(x)＝在点P(1，f(1))处的切线l的方程为(　　 )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－3＝0
C．3x＋y＋2＝0 D．3x＋y－4＝0
解析：因为f(x)＝，所以f′(x)＝．又f(1)＝1，且f′(1)＝－3，
故所求切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0．
答案：D
3．已知点P在曲线y＝上，θ为曲线在点P处的切线的倾斜角，则θ的取值范围是(　　 )
A． B．
C． D．
解析：因为y′＝＝，
由于ex＋＋2≥4，所以y′∈[－，0)，
根据导数的几何意义可知： tan θ∈[－，0)，
所以θ∈[，π)，
答案：D
4．(多选)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　)
A．y＝cos x B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x2
解析：由题意y＝f(x)具有T性质，则存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1．
对于选项A，因为f′(x)＝－sin x，存在x1＝，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；
对于选项B，因为f′(x)＝>0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；
对于选项C，因为f′(x)＝ex>0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；
对于选项D，因为f′(x)＝2x，存在x1＝1，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝4x1x2＝－1．
答案：AD
5．函数f＝x2e2－x的图象在点处的切线方程为______．
解析：因为f′＝2xe2－x－x2e2－x，
所以f′＝e，又f＝e，所以切线斜率为e，切点坐标为(1，e)
故切线方程为y－e＝e，即ex－y＝0．
答案：ex－y＝0
6．若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝x2－ax＋ln x，
∴f′(x)＝x－a＋．
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，
∴f′(x)存在零点，
即x＋－a＝0在(0，＋∞)上有解，
∴a＝x＋≥2．
答案：[2，＋∞)
7．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4．
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
解：(1)f(2)＝－2．
∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，
∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0．
(2)设切点坐标为(x0，x－4x＋5x0－4)．
∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，
∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)．
又切线过点(x0，x－4x＋5x0－4)，
∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，
∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0．
【B/能力提升题组】
8．(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是(　　 )
A．f(x)＝sin x＋cos x B．f(x)＝ln x－2x
C．f(x)＝x3＋2x－1 D．f(x)＝xex
解析：对于A：f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x，∵x∈，∴f″(x)＜0，f(x)在上是凸函数，故A正确．
对于B：f′(x)＝－2，f″(x)＝－＜0，故f(x)在上是凸函数，故B正确；
对于C：f′(x)＝3x2＋2，f″(x)＝6x＞0，故f(x)在上不是凸函数，故C错误；
对于D：f′(x)＝(x＋1)ex，f″(x)＝(x＋2)ex＞0，故f(x)在上不是凸函数，故D错误．故选AB．
答案：AB
9．已知曲线f＝ex在点P处的切线也是曲线g＝ln 的一条切线，则a的值为(　　 )
A． B．
C．e2 D．
解析：∵f＝ex，∴f′＝ex，f＝1，∴f′＝1，
∴f在点P处的切线方程为：y＝x＋1；
设y＝x＋1与g相切于点，则g′＝＝1，解得：x0＝1，
又＝1，∴ln a－1＝1，解得：a＝e2．
答案：C
10．已知函数f(x)＝x＋，若曲线y＝f(x)存在两条过(1，0)点的切线，则a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝1－，
设切点坐标为，
∴切线的斜率k＝f′(x0)＝1－ eq \f(a,2x) ，
∴切线方程为y－＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,2x))) (x－x0)，
又切线过点(1，0)，
即－＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,2x))) (1－x0)，
整理得2x＋2ax0－a＝0，
∵曲线存在两条切线，
故该方程有两个解，
∴Δ＝4a2－8(－a)>0，
解得a>0或a<－2．
答案：(－∞，－2)∪(0，＋∞)
11．在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x2＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线y＝x的距离的最小值是____________．
解析：设f(x)＝x2＋(x>0)，则f′(x)＝2x－＝，
令f′(x)＝0，即2x3－1＝0，解得x＝，
当0当x>时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
如图，画出函数大致图象以及直线y＝x，
当直线y＝x的平行直线与曲线y＝x2＋(x>0)相切时，切点P到直线y＝x的距离最小．
设切点P(x0，y0)，切线斜率为k，
由k＝f′(x0)＝ eq \f(2x－1,x) ＝1，解得x0＝1，即点P(1，2)．
则点P(1，2)到直线y＝x的距离d＝＝．
答案：
12．已知函数f (x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f ′(－1)＝0．
(1)求a的值．
(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f (x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)由已知得f ′(x)＝3ax2＋6x－6a．
因为f ′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2．
(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0，9)．若直线m是曲线y＝g(x)的切线，
则可设切点坐标为(x0，3x＋6x0＋12)．
因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)．
将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1．
当x0＝－1时，切线方程为y＝9；
当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9．
由(1)知f (x)＝－2x3＋3x2＋12x－11．
①由f ′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，
解得x＝－1或x＝2．
在x＝－1处，y＝f (x)的切线方程为y＝－18；
在x＝2处，y＝f (x)的切线方程为y＝9．
所以y＝f (x)与y＝g(x)的公切线是y＝9．
②由f ′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，
解得x＝0或x＝1．
在x＝0处，y＝f (x)的切线方程为y＝12x－11；
在x＝1处，y＝f (x)的切线方程为y＝12x－10．
所以y＝12x＋9不是y＝f (x)与y＝g(x)的公切线．
综上所述，y＝f (x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0．

展开更多......

收起↑