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第四章　三角函数
第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数　
[课标要求]　(1)角与弧度：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度制与角度制的互化，体会引入弧度制的必要性；
(2)三角函数概念：借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．任意角
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类：我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角．
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
(4)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．
2．弧度制
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad，1°＝ rad，1 rad＝°．
(3)扇形的弧长公式：l＝|α|r，
扇形的面积公式：S＝lr＝|α|r2．
3．任意角的三角函数
三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数
定义 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)．把
点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α 点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α 点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做α的正切函数，记作tan α
定义域 R R {x＋kπ，k∈Z}
函数值在各象限的符号 一 ＋ ＋ ＋
二 ＋ － －
三 － － ＋
四 － ＋ －
(一)必背常用结论
1．若α∈，则tan α>α>sin α．
2．三角函数定义的推广
设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝，cos α＝，tan α＝．
3．三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(二)盘点易错易混
1．易忽视扇形公式中的α是弧度制；
2．利用三角函数定义求值时，当角的终边不唯一确定时，要注意分情况讨论；
3．由三角函数符号判断角的范围时易忽视轴线角．
【小题热身】
1．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋π (k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
解析：与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．
答案：C
2．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A．1　　　　　　　　　　B．4
C．1或4 D．2或4
解析：设此扇形的半径为r，弧长为l，
则解得或
从而α＝＝＝4或α＝＝＝1．
答案：C
3．已知sin A>0且tan A<0，则角A的终边在(　　 )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为sin A>0，所以角A为第一或第二象限角；因为tan A<0，所以角A为第二或第四象限角，所以角A为第二象限角．
答案：B
4．设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________．
解析：由已知并结合三角函数的定义，得sin θ＝－，
cos θ＝，所以2cos θ－sin θ＝2×－＝．
答案：
5．[易错题]已知角α的终边过点P(－8m，6m)(m≠0)，则sin α＝________．
解析：由题意得x＝－8m，y＝6m，所以r＝10|m|．
当m>0时，sin α＝＝；
当m<0时，sin α＝＝－．
答案：或－
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__象限角与终边相同的角[自主演练]
1．(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则(　　)
A．cos 2α>0　　　　　　　B．cos 2α<0
C．sin 2α>0 D．sin 2α<0
解析：因为α为第四象限角，所以－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，故－π＋4kπ<2α<4kπ，k∈Z，
所以2α为第三、四象限角或y轴负半轴上的角．
所以cos 2α的正负不确定，sin 2α<0，故选D．
答案：D
2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
解析：当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和≤α≤的终边一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边和π＋≤α≤π＋的终边一样．结合选项知选C．
答案：C
3．终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．
解析：如图，在平面直角坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是．在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－，－，故满足条件的角α构成的集合为．
答案：
4．若角α是第二象限角，则是第________象限角．
解析：因为α是第二象限角，所以＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z．当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．
答案：一或三
[思维升华]　1．判断象限角的方法
(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
2．确定kα，(k∈N*)的终边位置的步骤
(1)用终边相同的角的形式表示出角α的范围；
(2)再写出kα或的范围；
(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在的位置．
3．求终边在某直线上的角的步骤
(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；
(2)按逆时针方向写出[0，2π]内的角；
(3)再由终边相同的角的表示方法写出满足条件角的集合；
(4)求并集化简集合．
考点2__弧度制及其应用[典例引领]
【例1】　已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l．
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形周长为20 cm，则当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解：(1)α＝60°＝rad，
所以l＝α·R＝×10＝(cm)．
(2)由题意得 (舍去)或
故扇形圆心角为rad．
(3)由已知得l＋2R＝20，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad．
[思维升华]　应用弧度制解决问题的策略
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
[对点练]　1．(2022·山东潍坊模拟)《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4．在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A． B．
C． D．120
解析：由弧长三十步，直径十六步，可知l＝30，2r＝16，可得扇形的圆心角α＝＝＝(弧度)，故选C．
答案：C
2．
(2022·重庆南开中学月考)《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1．25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为(　　)
(参考数据：≈1．414，≈1．732)
A．1．012米 B．1．768米
C．2．043米 D．2．945米
解析：“弓”所在弧长l＝＋＋＝，半径r＝1．25＝，故其所对圆心角α＝＝，两手之间距离d＝×1．25≈1．768．故选B．
答案：B
(2022·四川棠湖中学月考)中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为(　　)
A．(3－)π B．(－1)π
C．(＋1)π D．(－2)π
解析：S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，
设S1与S2所在扇形圆心角分别为α，β，
则＝，又α＋β＝2π，解得α＝(3－)π．
答案：A
4．已知一扇形的周长为20，则该扇形面积的最大值为________．
解析：设扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝20，扇形的面积为S＝lr＝(20－2r)r＝－r2＋10r．
当r＝5时，S取得最大值，最大值为25，
所以扇形面积的最大值为25．
答案：25考点3__三角函数的定义[多维讲练]
高考对三角函数定义的考查常与三角恒等变换、化简求值等问题相结合，以选择题、填空题形式出现，难度中等偏下．考查数学抽象和数学运算核心素养．
角度1　三角函数定义的应用
【例2】　(1)已知角β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点P(－4，a)，且sin β·cos β＝，则a的值为(　　 )
A．4 B．±4
C．－4或－ D．
(2)已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α＜0，则tan α＝________．
解析：(1)因为点P(－4，a)在角β的终边上且sin β·cos β＝，所以＝．
解得a＝－4或a＝－．故选C．
(2)如图，由已知，角α的终边在第二象限，在其终边上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tan α＝＝＝－1．
答案：(1)C　(2)－1
[思维升华]　利用三角函数定义解决问题的策略
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解；
(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值；
(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
角度2　三角函数值的符号
【例3】　(1)若sin αtan α<0，且<0，则角α是(　　 )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)sin 2·cos 3·tan 4的值(　　 )
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
(3)若α为第二象限角，则cos 2α，cos ，中，其值必为正的有(　　 )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：(1)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角．由<0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．
(2)∵1弧度约等于57°，
∴<2<π，在第二象限，∴sin 2>0，
∵3弧度大于，小于π在第二象限，
∴cos 3<0，
又∵4弧度大于π小于，在第三象限，
∴tan 4>0，
∴sin 2·cos 3·tan 4<0．
(3)由题意知，2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，则4kπ＋π<2α<4kπ＋2π(k∈Z)，所以2α的终边在第三、第四象限或y轴的负半轴上，所以sin 2α<0，cos 2α可正可负也可为零．因为kπ＋<答案：(1)C　(2)A　 (3)A
[思维升华]　1．三角函数值符号及角的位置判断
已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．
2．三角函数值的符号规律
三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
[对点练]　1．设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是(　　 )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：由θ是第三象限角知，为第二或第四象限角，
∵＝－cos ，∴cos <0，
综上可知，为第二象限角．
答案：B
2．已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α＝________，tan α＝________．
解析：设P(x，y)．由题设知x＝－，y＝m，
所以r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)，即r＝，
所以sin α＝＝＝＝，
所以r＝＝2，即3＋m2＝8，解得m＝±．
当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，
所以cos α＝＝＝－，tan α＝＝－；
当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，
所以cos α＝＝＝－，tan α＝＝．
答案：－　±

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