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弧度制专项练习题解析
一、选择题
1、已知α＝－3，则角α 的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解：1rad＝()°，则α＝－3rad＝－()°≈－171.9°，∴α是第三象限角．故选　C
2、已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B＝(　　)
A． B．{α|0≤α≤π|C．{α|－4≤α≤4|D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}
解：k≤－2或k≥1时A∩B＝ ；k＝－1时A∩B＝[－4，－π]；k＝0时，A∩B＝[0，π]；故A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．故选D.
3、若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在 (　　)
A．第一象限 B．第四象限 C．x轴上 D．y轴上
解：∵＝2kπ＋(k∈Z)，∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴＝3kπ＋(k∈Z)．当k为奇数量，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上，终边在y轴上，故选D．
4、已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于(　　)
A． B．{α|－4≤α≤π } C．{α|0≤α≤π} D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
解：集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上．故选A
5、若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为(　　)
A．α＋β＝0 B．α－β＝0 C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α－β＝2kπ＋(k∈Z)
解：因为α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－＋2k2π(k2∈Z)，所以α－β＝＋2(k1－k2)π(k1∈Z，k2∈Z)．
因为k1∈Z，k2∈Z，所以k1－k2∈Z.所以α－β＝＋2kπ(k∈Z)．故选　D
6、 (多选)下列表示中正确的是(　　)
A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B．终边在第二象限角的集合为
C．终边在坐标轴上角的集合是
D．终边在直线y＝x上角的集合是
解：　A，B显然正确．对于C，终边在x轴上的角的集合为{α|α＝kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为，其并集为，故C正确；
对于D，终边在y＝x上的角的集合为或，其并集为，故D不正确．故选ABC
7、若α=-3,则角α的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
解：因为-π<-3<-,所以α=-3的终边在第三象限.故选C
8、把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是(　　)
A. B．－ C.π D．－π
解：∵－π＝－2π＋，∴θ＝－π.。故选D
9、(多选)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．2kπ＋(k∈Z)
解：A，B中弧度与角度混用，不正确；＝2π＋，所以与终边相同．
－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同，即与终边相同．故选CD
10、圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为(　　)
A.1 B. C.或 D.或
解：设该弦所对的圆周角为α，则其圆心角为2α或2π－2α，由于弦长等于半径，所以可得2α＝或2π－2α＝，解得α＝或α＝.故选：C
11、圆弧长度等于其内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(　　)
A. B.π C. D．2答案：C
解：设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，∴θ＝＝.故选C
12、(多选)圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为(　　)
A. B. C. D.
解：设该弦所对的圆周角为α，则其圆心角为2α或2π－2α，由于弦长等于半径，
所以可得2α＝或2π－2α＝，解得α＝或α＝.故选　AD
13、时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为(　　)
A.π　 B．－π C. π D．－π
解：显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为－×2π＝－π.故选B
14、时针经过一小时，转过了(　　)
A. rad B．－ radC. rad D．－ rad
解：时针经过一小时，转过－30°，又－30°＝－ rad. 故选　B
15、集合中角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
解：k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x左上部分(包含边界)，k为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界)．故选　C
二、填空题
16、用弧度表示终边落在y轴右侧的角的集合为________.
解：　y轴对应的角可用－，表示，所以y轴右侧角的集合为{θ|－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z}．
17、已知θ∈{α|α＝kπ＋(－1)k·，k∈Z}，则θ的终边所在的象限是__ _.
解：当k为偶数时，α＝2mπ＋(m∈Z)，当k为奇数时，α＝(2m－1)π－＝2mπ－(m∈Z)，
∴θ的终边在第一或第二象限．
18、若2π<α<4π，且α与－角的终边垂直，则α＝______.
解：－π＋π＝π＝π，－π＋π＝π＝π.
19、若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝______.
解：由题意，角α与终边相同，则＋2π＝π，－2π＝－π，－4π＝－π.
20、把－1125°化为2kπ＋α(k∈Z,0≤α<2π)的形式是________
解：－8π＋
21、若两个角的差是1°，它们的和是1弧度，则这两个角的弧度数分别是__________．
解：设两角为α、β则，∴α＝、β＝.
22、正n边形的一个内角的弧度数等于__________．
解：∵正n边形的内角和为(n－2)π，∴一个内角的弧度数是.
23、将－1 485°化为2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式是________．
解　∵－1 485°＝－5×360°＋315°，∴－1 485°可以表示为－10π＋π.
24、半径为4 cm的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆周的长，则这个扇形的面积是______cm2.
解：设扇形的圆心角的弧度数为α.∵R＝4，扇形周长等于弧所在的半圆周的长．∴2×4＋4α＝4π，∴α＝π－2.
∴S扇形＝|α|R2＝(π－2)×42＝8π－16(cm2)
25、半径为12 cm的圆中，弧长为8π cm的弧，其所对的圆心角为α，则与α终边相同的角的集合为___________.
解：圆心角α＝＝，所以α＝2kπ＋，k∈Ｚ.答案：
26、设扇形的周长为4 cm，面积为1 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是___________
解：设扇形的半径和弧长分别为r，l，由题设可得 则扇形圆心角所对的弧度数是α＝＝2.
27、(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为_____米；(2)1 rad的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为____米．
解：(1)因为|α|＝1°＝，l＝1，所以r＝＝＝.(2)因为l＝1，|α|＝1，所以r＝＝1.答案：(1)　(2)1
28、钟表的时间经过了一小时，则时针转过了________rad.
解：钟表的时针是按顺时针的方向旋转的，经过12小时，时针转过－2π rad，所以经过一小时，时针转过－ rad.
29、若角α的终边在如图所示的阴影部分，则角α的取值范围是________．
解：该阴影部分在(0,2π)内对应的取值范围为[π，π]，所以该阴影部分的取值范围是{α|2kπ＋π≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
三、解答题
30、已知角α＝2010°.(1)将α改写成θ＋2kπ(k∈Z,0≤θ<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
解：(1)2010°＝2010×＝＝5×2π＋.又π<<，角α与角的终边相同，故α是第三象限角．
(2)与α终边相同的角可以写为r＝＋2kπ(k∈Z)．又－5π≤r<0，∴k＝－3，－2，－1.当k＝－3时，r＝－；当k＝－2时，r＝－；当k＝－1时，r＝－.
31、将－1 125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判断它是第几象限角？
解：－1 125°＝－1 125×＝－＝－8π＋.其中<<2π，因为是第四象限角，
所以－1 125°是第四象限角．
32、已知角α＝1 200°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－4π，0]上找出与α终边相同的角．
解　(1)因为α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋，所以角α与的终边相同，
又<<π，所以角α是第二象限的角．
(2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ＋，k∈Z，所以由－4π≤2kπ＋≤0，得－≤k≤－.
因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1.故在区间[－4π，0]上与角α终边相同的角是－，－.
33、已知一个扇形的周长为12 cm.(1)若扇形的圆心角θ=3,求该扇形的半径;(2)当扇形的半径为何值时,这个扇形的面积最大 并求出此时的圆心角.
解：(1)设扇形的半径为r cm,则扇形的弧长为l=rθ=3r,根据题意,得扇形的周长2r+l=12,即5r=12,解得r=.
(2)设扇形的半径为r cm,则扇形的弧长为l=rθ,根据题意,得扇形的周长2r+l=12,解得l=12-2r,所以扇形的面积S=lr=(12-2r)×r=-r2+6r=-(r-3)2+9.故当r=3时,S取得最大值,此时l=12-2×3=6,扇形的圆心角θ===2.
34、（1）已知扇形的周长是6cm,面积为2cm,求其圆心角 (2）一扇形的周长为8cm,求这个扇形的面积取得最大值时，圆心角的大小。
解：（1）设扇形的弧长为,半径为，依题意得解得或
当时，圆心角=4；当时，圆心角=1
（2）设扇形半径为，弧长为，面积为，依题意得，，则
当时，扇形面积最大，此时圆心角=2
35、已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取最小值？
解：设扇形的半径是R，弧长是l，扇形的周长为y，则y＝l＋2R.
由题意，得lR＝25，则l＝，故y＝＋2R(R＞0).利用函数单调性的定义，可以证明：
当0＜R≤5时，函数y＝＋2R是减函数；当R＞5时，函数y＝＋2R是增函数.
所以当R＝5时，y取最小值20，此时l＝10，α＝＝2，即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取最小值.
36、一个半径为r的扇形，如果它的周长等于弧所在圆的周长的一半，那么这个扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？
解：设扇形的圆心角为θ，则弧长l＝rθ，∴2r＋rθ＝πr，∴θ＝π－2＝(π－2)·()°＝(180－)°，扇形的面积S＝lr＝r2(π－2)．
37、已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm，求扇形的面积．
解：设扇形弧长为l，∵72°＝72×＝ (rad)，∴l＝|α|r＝×20＝8π(cm)．∴S＝lr＝×8π×20＝80π(cm2).
38、已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积．
解　设扇形弧长为l，因为圆心角72°＝72×＝ rad，
所以扇形弧长l＝|α|·r＝×20＝8π，于是，扇形的面积S＝l·r＝×8π×20＝80π.
39、已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm，
依题意有
①代入②得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8 rad>2π rad舍去．
当R＝4时，l＝2，此时，θ＝＝(rad)．综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad.
40、已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？
解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，
则l＋2r＝4，所以l＝4－2r，所以S＝l·r＝×(4－2r)×r＝
－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1，因此，θ＝＝＝2(rad)．
41、已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
解　(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝60°＝.
(2)由(1)可知α＝，r＝10，∴弧长l＝α·r＝×10＝，∴S扇形＝lr＝××10＝，
而S△AOB＝·AB·AB＝×10×5＝25，∴S＝S扇形－S△AOB＝25.
42、如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长．
解：如图，设P，Q第一次相遇时所用的时间是t 秒，
则t·＋t·＝2π，所以t＝4，即P，Q第一次相遇时所用的时间为4秒．
P点走过的弧长为×4＝，Q点走过的弧长为×4＝.
43、如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.
解： (1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成．故满足条件的角的集合为{α|＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}．
(2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为{α|－＋2kπ<α≤＋2kπ，k∈Z}．
(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π rad而得到，所以满足条件的角的集合为{α|kπ≤α≤＋kπ，k∈Z}．
(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad后可得到第四象限的阴影部分．所以满足条件的角的集合为{α|＋kπ<α<＋kπ，k∈Z}．
44、用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角θ的集合．
解：终边落在射线OA上的角为θ＝135°＋k·360°，k∈Z，即θ＝＋2kπ，k∈Z.
终边落在射线OB上的角为θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，即θ＝－＋2kπ，k∈Z，
故终边落在阴影部分的角θ的集合为.弧度制专项练习题
一、选择题
1、已知α＝－3，则角α 的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2、已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B＝(　　)
A． B．{α|0≤α≤π|C．{α|－4≤α≤4|D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}
3、若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在 (　　)
A．第一象限 B．第四象限 C．x轴上 D．y轴上
4、已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于(　　)
A． B．{α|－4≤α≤π } C．{α|0≤α≤π} D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
5、若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为(　　)
A．α＋β＝0 B．α－β＝0 C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α－β＝2kπ＋(k∈Z)
6、 (多选)下列表示中正确的是(　　)
A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B．终边在第二象限角的集合为
C．终边在坐标轴上角的集合是
D．终边在直线y＝x上角的集合是
7、若α=-3,则角α的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
8、把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是(　　)
A. B．－ C.π D．－π
9、(多选)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．2kπ＋(k∈Z)
10、圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为(　　)
A.1 B. C.或 D.或
11、圆弧长度等于其内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(　　)
A. B.π C. D．2答案：C
12、(多选)圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为(　　)
A. B. C. D.
13、时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为(　　)
A.π　 B．－π C. π D．－π
14、时针经过一小时，转过了(　　)
A. rad B．－ radC. rad D．－ rad
15、集合中角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
二、填空题
16、用弧度表示终边落在y轴右侧的角的集合为________.
17、已知θ∈{α|α＝kπ＋(－1)k·，k∈Z}，则θ的终边所在的象限是__ _.
18、若2π<α<4π，且α与－角的终边垂直，则α＝______.
19、若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝______.
20、把－1125°化为2kπ＋α(k∈Z,0≤α<2π)的形式是________
21、若两个角的差是1°，它们的和是1弧度，则这两个角的弧度数分别是__________．
22、正n边形的一个内角的弧度数等于__________．
23、将－1 485°化为2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式是________．
24、半径为4 cm的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆周的长，则这个扇形的面积是______cm2.
25、半径为12 cm的圆中，弧长为8π cm的弧，其所对的圆心角为α，则与α终边相同的角的集合为___________.
26、设扇形的周长为4 cm，面积为1 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是___________
27、(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为_____米；(2)1 rad的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为____米．
28、钟表的时间经过了一小时，则时针转过了________rad.
29、若角α的终边在如图所示的阴影部分，则角α的取值范围是________．
三、解答题
30、已知角α＝2010°.(1)将α改写成θ＋2kπ(k∈Z,0≤θ<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
31、将－1 125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判断它是第几象限角？
32、已知角α＝1 200°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－4π，0]上找出与α终边相同的角．
33、已知一个扇形的周长为12 cm.(1)若扇形的圆心角θ=3,求该扇形的半径;(2)当扇形的半径为何值时,这个扇形的面积最大 并求出此时的圆心角.
34、（1）已知扇形的周长是6cm,面积为2cm,求其圆心角 (2）一扇形的周长为8cm,求这个扇形的面积取得最大值时，圆心角的大小。
35、已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取最小值？
36、一个半径为r的扇形，如果它的周长等于弧所在圆的周长的一半，那么这个扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？
37、已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm，求扇形的面积．
38、已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积．
39、已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
40、已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？
41、已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
42、如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长．
43、如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.
44、用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角θ的集合．

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