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三角函数的图象和性质 2
题型一 周期性、对称性 2
考向1 周期性 2
考向2 对称性 3
题型二 单调性 5
考向1 求单调区间 5
考向2 利用单调性求参数 8
题型三　三角函数的定义域 11
题型四 值域 12
题型五 图象的伸缩变换 17
题型六 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 21
题型七 零点问题 24
题型八 综合问题 27
三角函数的图象和性质
题型一 周期性、对称性
考向1 周期性
例1 下列函数中，是周期函数的为(　　)
A．y＝sin|x| B．y＝cos|x| C．y＝tan|x| D．y＝(x－1)0
答案　B
【详解】　∵cos|x|＝cos x，∴y＝cos|x|是周期函数．其余函数均不是周期函数．
例2 若函数的图象经过点，且相邻两条对称轴间的距离为.则的值为______．
【答案】
【详解】
因为相邻两条对称轴的距离为，所以，，
所以，因为函数的图象经过点，所以，
，，所以，所以.
故答案为.
例3 函数f(x)＝3sin＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________．
答案　　，k∈Z
【详解】　若f(x)＝3sin＋1为偶函数，则－＋φ＝kπ＋，k∈Z，
即φ＝＋kπ，k∈Z，又∵φ∈(0，π)，∴φ＝.
∴f(x)＝3sin＋1＝3cos 2x＋1，由2x＝＋kπ，k∈Z得x＝＋，k∈Z，
∴f(x)图象的对称中心为，k∈Z.
例4 已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)是定义域为R的奇函数，且当x＝3时，f(x)取得最小值－3，当ω取得最小正数时，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)的值为(　　)
A. B．－6－3 C．1 D．－1
答案　B
【详解】　∵f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)是定义域为R的奇函数，
∴φ＝＋kπ，k∈Z，则φ＝，则f(x)＝－Asin ωx.当x＝3时，f(x)取得最小值－3，故A＝3，sin 3ω＝1，∴3ω＝＋2kπ，k∈Z.∴ω的最小正数为，∴f(x)＝－3sin x，∴f(x)的周期为12，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(12)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝168×0＋f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝－6－3.
例5 (2020·黑龙江省齐齐哈尔中学模拟)已知函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f(x)的最小正周期为________．
【答案】　
【详解】由函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，∴ω＝k＋，又ω∈(1,2)，∴ω＝，从而得函数f(x)的最小正周期为＝.
考向2 对称性
例1 （省级联测2022届高三）函数的对称轴方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
，其对称轴满足，即.
故选：A
【举一反三】
1.函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)，若f(x)为奇函数，则φ＝________.
答案　
【详解】　若f(x)＝3sin为奇函数，
则－＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，又∵φ∈(0，π)，∴φ＝.
2 (2022·郑州模拟)设函数f(x)＝2sin＋，则下列叙述正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)在上的最小值为－ D．f(x)的图象关于点对称
答案　C
【详解】　对于A，f(x)的最小正周期为＝π，故A错误；对于B，∵sin＝－≠±1，
故B错误；对于C，当x∈时，2x－∈，∴sin∈，
∴2sin＋∈，∴f(x)在上的最小值为－，故C正确；
对于D，∵f＝2sin＋＝，∴f(x)的图象关于点对称，故D错误．
3.(2020·湖北省孝感市一中模拟)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A　
【详解】由题意得3cos＝3cos＝3cos＝0，所以＋φ＝kπ＋，k∈Z.
所以φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为.
4.(2022·北京丰台区模拟)将函数f(x)＝cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)的图象关于原点对称，则φ的一个取值为________．(答案不唯一)
答案　
【详解】　将函数f(x)＝cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，
可得g(x)＝cos(2x＋2φ)，由函数g(x)的图象关于原点对称，可得g(0)＝cos 2φ＝0，
所以2φ＝＋kπ，k∈Z，φ＝＋，k∈Z，当k＝0时，φ＝.
5. ，则“f（x）是奇函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
解：依题意，若是奇函数，则，得，
反之，若，则，
由，得函数为奇函数，
故“是奇函数”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
6.已知函数f(x)＝2sin是偶函数，则θ的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由f(x)是偶函数，可得θ＋＝＋kπ，k∈Z，即θ＝＋kπ，k∈Z.令k＝0，得θ＝.
故选：B．
题型二 单调性
考向1 求单调区间
例1 函数y＝3cos的单调递减区间是________．
答案　，k∈Z
【详解】　因为y＝3cos，令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，求得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
可得函数的单调递减区间为，k∈Z.
例2 函数f(x)＝sin的单调递减区间为________．
答案 　(k∈Z)
【详解】　f(x)＝sin＝sin＝－sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故所求函数的单调递减区间为(k∈Z)．
例3 　f(x)＝sin在[0，π]上的单调递减区间为________．
【答案】　和
【详解】　令A＝，k∈Z，B＝[0，π]，∴A∩B＝∪，
∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和.
例4 (2019·全国Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x| C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
【答案】　A
【详解】　A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．
【举一反三】
1.(2020·重庆市双桥中学模拟)函数y＝|cos x|的一个单调增区间是(　　)
A. B．[0，π] C. D.
【答案】D　
【详解】将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D.
2.(2020·辽宁省朝阳市一中模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；
(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．
【详解】由f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．
(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)，
所以sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)，展开整理得sin 2xcos φ＝0，由已知上式对 x∈R都成立，
所以cos φ＝0.因为0＜φ＜，所以φ＝.
(2)因为f＝，所以sin＝，即＋φ＝＋2kπ或＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
故φ＝2kπ或φ＝＋2kπ(k∈Z)，又因为0＜φ＜，所以φ＝，即f(x)＝sin，
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，故f(x)的递增区间为(k∈Z)．
3.(2020·山西省怀仁市一中模拟)已知f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
【详解】(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)当x∈时，≤2x＋≤，所以－1≤sin≤，所以－≤f(x)≤1，
所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.
考向2 利用单调性求参数
例1 若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
答案　
【详解】　∵f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，∴当0≤ωx≤，
即0≤x≤时，y＝sin ωx单调递增；当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx单调递减．
由f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，在上单调递减，知＝，∴ω＝.
例2 已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．
答案　
【详解】　由0，得＋<ωx＋<ωπ＋，因为y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，所以k∈Z，解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.
又由4k＋－≤0，k∈Z，且2k＋>0，k∈Z，
解得k＝0，所以ω∈.
【举一反三】
1.已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
【详解】　方法一　由题意得
则又ω>0，所以k∈Z，所以k＝0，则0<ω≤.
方法二　取ω＝1，则f(x)＝sin，令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
当k＝0时，函数f(x)在区间上单调递减，与函数f(x)在区间上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项可知选B.
2 (2022·定远县育才学校月考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A．11 B．9 C．7 D．1
答案　B
【详解】　因为x＝－为f(x)的零点，
x＝为y＝f(x)图象的对称轴，所以·T＝(n∈N)，即·＝(n∈N)，
所以ω＝2n＋1(n∈N)，即ω为正奇数．因为f(x)在上单调，则－＝≤，
即T＝≥，解得ω≤12.
当ω＝11时，－＋φ＝kπ，k∈Z，因为|φ|≤，所以φ＝－，此时f(x)＝sin.
当x∈时，11x－∈，所以f(x)在上不单调，不满足题意；
当ω＝9时，－＋φ＝kπ，k∈Z，因为|φ|≤，所以φ＝，此时f(x)＝sin.
当x∈时，9x＋∈，此时f(x)在上单调递减，符合题意．
故ω的最大值为9.
3. 已知函数y＝sin
(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
【详解】　当－因为函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增，所以解得ω≤，因为ω>0，所以ω的取值范围是.
4.(2021·新高考全国Ⅰ)下列区间中，函数f(x)＝7sin的单调递增区间是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
【详解】　令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则－≤x≤.因为，所以区间是函数f(x)的单调递增区间．
题型三　三角函数的定义域
例1　(1)函数y＝的定义域为________．
答案　
【详解】　要使函数有意义，
则即
故函数的定义域为.
例2 函数y＝的定义域为________．
答案　(k∈Z)
【详解】　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，
如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.
【举一反三】
1 函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
【详解】　由2x＋≠kπ＋，k∈Z，
得x≠＋，k∈Z.
3.函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为________．
答案　∪
【详解】　∵函数y＝lg(sin 2x)＋，
∴应满足解得其中k∈Z，∴－3≤x<－或0∴函数的定义域为∪.
题型四 值域
例1已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
【详解】 (1)由已知，有f(x)＝－＝－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
（2）因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，且f＝－，f＝－，f＝，所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
例2 (2020·河南省濮阳市一中模拟)函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为(　　)
A．3，－1 B．3，－2 C．2，－1 D．2，－2
【答案】D　【【详解】】y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x
＝－sin2x－2sin x＋1，
令t＝sin x，
则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，
所以ymax＝2，ymin＝－2.
例3 函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________．
答案　
【详解】　设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，sin xcos x＝，
且－≤t≤.∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，]．
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－.∴函数的值域为.
例4 【2017年高考全国Ⅱ】函数()的最大值是 .
【答案】1
【详解】化简三角函数的解析式：
，
由自变量的范围：可得：，当时，函数取得最大值1.
例5 已知．在内的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
又因为的值域为，结合余弦函数图象（如下图）：
可知，所以解得，故选：D.
【举一反三】
1.【2019年高考全国Ⅰ卷】函数的最小值为___________．
【答案】
【详解】】
，
，当时，，
故函数的最小值为．
2.【2017年高考江苏卷】已知向量
（1）若a∥b，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．
【答案】（1）；（2）时，取到最大值3；时，取到最小值．
【详解】（1）因为，，a∥b，
所以．
若，则，与矛盾，故．
于是．
又，所以．
（2）．
因为，所以，
从而．
于是，当，即时，取到最大值3；当，即时，取到最小值．
3.函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
答案　1
【详解】　由题意可得
f(x)＝－cos2x＋cos x＋
＝－2＋1.
∵x∈，
∴cos x∈[0,1]．
∴当cos x＝，即x＝时，f(x)取最大值为1.
4.(2021·北京)函数f(x)＝cos x－cos 2x，试判断函数的奇偶性及最大值(　　)
A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为
答案　D
【详解】　由题意，
f(－x)＝cos (－x)－cos (－2x)
＝cos x－cos 2x＝f(x)，
所以该函数为偶函数，
又f(x)＝cos x－cos 2x＝－2cos2x＋cos x＋1＝－22＋，
所以当cos x＝时，f(x)取最大值.
5.(2021·全国乙卷)函数f(x)＝sin ＋cos 最小正周期和最大值分别是(　　)
A．3π和 B．3π和2 C．6π和 D．6π和2
答案　C
【详解】　因为函数f(x)＝sin ＋cos
＝
＝
＝sin，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝6π，最大值为.
题型五 图象的伸缩变换
例1 (2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)等于(　　)
A．sin B．sin C．sin D．sin
答案　B
【详解】　依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，
所以y＝sin
y＝sin的图象
f(x)＝sin的图象．
例2 (2022·天津二中模拟)将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数y＝cos的图象，则φ等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
【详解】　y＝sin 2x＝cos.
将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数y＝cos＝cos＝cos，由题意知2φ－＝＋2kπ(k∈Z)，
则φ＝＋kπ(k∈Z)，
又0≤φ<，所以φ＝.
例3 （2022届高三上）已知函数的最小正周期为，若将其图象沿轴向右平移个单位，所得图象关于对称，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意，即，将其图象沿轴向右平移个单位，得图象的函数式为，
图象关于直线对称，则，，，
因为，所以的最小值为．
故选：B．
【举一反三】
1.要得到函数y＝cos的图象，可以把函数y＝sin的图象(　　)
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
答案　D
【详解】　函数y＝cos＝sin＝sin＝sin，
所以只需将y＝sin的图象向左平移个单位长度就可以得到y＝cos的图象．
2.(2020·江苏)将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________．
答案　x＝－
【详解】　将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，
所得图象的函数【详解】式为y＝3sin＝3sin.
令2x－＝kπ＋，k∈Z，得对称轴的方程为x＝＋，k∈Z，
分析知当k＝－1时，对称轴为直线x＝－，与y轴最近．
3.(2020·天津)已知函数f(x)＝sin.给出下列结论：
①f(x)的最小正周期为2π；
②f 是f(x)的最大值；
③把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象．
其中所有正确结论的序号是(　　)
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
答案　B
【详解】　T＝＝2π，故①正确．当x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，故②错误．y＝sin x的图象y＝sin的图象，故③正确．
4.(2022·开封模拟)设ω>0，将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值为(　　)
A．3 B．6 C．9 D．12
答案　D
【详解】　将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，
故为函数y＝sin的周期，即＝(k∈N*)，则ω＝12k(k∈N*)，故当k＝1时，ω取得最小值12.
5.(2022·咸阳模拟)若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数g(x)为偶函数，则f(x)的图象(　　)
A．关于直线x＝对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝－对称 D．关于点对称
答案　D
【详解】　依题意可得ω＝＝2，
所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，所以f(x)的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为g(x)＝2sin，又函数g(x)为偶函数，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z，
又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin，由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
所以f(x)图象的对称轴为x＝＋，k∈Z，排除A，C，
由2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－＋，k∈Z，
则f(x)图象的对称中心为，k∈Z，排除B，
当k＝1时，－＋＝，故D正确．
6.（湖南永州市2020高三第一次模拟）将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于轴对称，则的值为____________．
【答案】
【详解】函数的图象向右平移个单位后，所得函数解析式为，由其函数图象关于轴对称，则，又，所以.
题型六 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例1 (2022·安徽芜湖一中模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋b
的大致图象如图所示，将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为(　　)
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
答案　C
【详解】　依题意，解得
故f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1，而f ＝1，f ＝－1，∴＝－＝，故T＝π＝，则ω＝2；
∴2cos－1＝1，故＋φ＝2kπ(k∈Z)，又|φ|<，故φ＝－，∴f(x)＝2cos－1；
将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，得到y＝2cos－1，
再向左平移个单位长度，得到g(x)＝2cos－1＝2cos－1，
令－π＋2kπ≤x＋≤2kπ(k∈Z)，故－＋3kπ≤x≤－＋3kπ(k∈Z)，故函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
例2 (2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝______.
答案　－
【详解】　由题意可得，T＝－＝，∴T＝π，ω＝＝2，
当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ－π(k∈Z)．
令k＝1可得φ＝－，据此有f(x)＝2cos，
f ＝2cos＝2cos＝－.
例3 已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________.
答案　－
【详解】　由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝.
又因为f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，由0<φ<π，取k＝0，则φ＝，
所以f(x)＝cos，所以f(1)＝－.
【举一反三】
1.函数f(x)＝－2cos的振幅、初相分别是(　　)
A．－2， B．－2，－ C．2， D．2，－
答案　C
【详解】　振幅为2，当x＝0时，φ＝，即初相为.
2．(2022·天津中学月考)把函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，已知函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)等于(　　)
A．sin B．sin C．sin D．sin
答案　D
【详解】　先根据函数图象求函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)的【详解】式，
由振幅可得A＝1，显然＝－＝，所以T＝π，所以＝π，所以ω＝2，
所以g(x)＝sin(2x＋φ)，再由g＝sin＝0，由|φ|<可得φ＝－，
所以g(x)＝sin，反向移动先向左平移个单位长度可得sin＝sin，
再将横坐标伸长到原来的2倍可得f(x)＝sin.
3.(2020·全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝cos在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的【详解】式为(　　)
A．f(x)＝cos B．f(x)＝cos C．f(x)＝cos D．f(x)＝cos
答案　B
【详解】　由图象知π所以1<|ω|<2.
因为图象过点，
所以cos＝0，
所以－ω＋＝kπ＋，k∈Z，
所以ω＝－k－，k∈Z.
因为1<|ω|<2，
故k＝－1，得ω＝，
所以f(x)＝cos.
4.(2022·张家口市第一中学模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________，为了得到偶函数y＝g(x)的图象，至少要将函数y＝f(x)的图象向右平移________个单位长度．
答案　　6
【详解】　由图象可知，函数f(x)的最小正周期为T＝2×[6－(－2)]＝16，
∴ω＝＝，则f(x)＝2sin，由于函数f(x)的图象过点(－2,0)且在x＝－2附近单调递增，∴－2×＋φ＝2kπ(k∈Z)，可得φ＝2kπ＋(k∈Z)，∵－<φ<，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin，
假设将函数f(x)的图象向右平移t个单位长度可得到偶函数g(x)的图象，
且g(x)＝f(x－t)＝2sin＝2sin，∴－＋＝＋kπ(k∈Z)，
解得t＝－2－8k(k∈Z)，∵t>0，当k＝－1时，t取最小值6.
题型七 零点问题
例1 【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数在[0，2π]的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】由，
得或，，．
在的零点个数是3，
故选B．
例2 已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________．
答案　(－2，－1)
【详解】　方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为
m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin，x∈.
设2x＋＝t，则t∈，
∴题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根．
∴y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：
由图象观察知，的取值范围是，
故m的取值范围是(－2，－1)．
延伸探究　本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是________．
答案　[－2,1)
【详解】　同例题知，的取值范围是，
∴－2≤m<1，∴m的取值范围是[－2,1)．
【举一反三】
1.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)
A.f(x)的一个周期为－2π B.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C.f(x＋π)的一个零点为x＝ D.f(x)在单调递减
【答案】D
【详解】因为f(x)的周期为2kπ(k∈Z且k≠0)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确；因为f(x)图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，当k＝3时，直线x＝是其对称轴，B项正确；f(x＋π)＝cos，将x＝代入得到f＝cos＝0，所以x＝是f(x＋π)的一个零点，C项正确；因为f(x)＝cos的递减区间为 (k∈Z)，递增区间为 (k∈Z)，所以是减区间，是增区间，D项错误。
2.(2022·河北武强中学模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其中A>0，ω>0,0<φ<π，函数f(x)图象上相邻的两个对称中心之间的距离为，且在x＝处取到最小值－2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间；
(3)若关于x的方程g(x)＝m＋2在x∈上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．
解　(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，
其中A>0，ω>0,0<φ<π，由题知函数f(x)的最小正周期为＝，解得ω＝4，
又函数f(x)在x＝处取到最小值－2，则A＝2，且f ＝－2，即＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
令k＝0可得φ＝，∴f(x)＝2sin.
(2)函数f(x)＝2sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得y＝2sin，再向左平移个单位长度可得g(x)＝2sin＝2cos 2x，
令－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，
∴g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(3)∵方程g(x)＝m＋2在x∈上有两个不同的实根，
作出函数g(x)＝2cos 2x，x∈的图象，
由图可知－2解得－4∴m的取值范围为－43.已知函数在上的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由可得或.
因为，则，
由可得或或，解得或或，
由可得，
综上所述，函数在上的零点个数为.
故选：A.
题型八 综合问题
例1 【多选】已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．的最小正周期为
C．所有的整数都是的零点 D．在上单调递增
【答案】AC
【详解】由可知，定义域为R，且，∴为偶函数，故A正确；又的最小正周期为1，故B错误；∵，∴所有的整数都是的零点，故C正确； 函数的图象如图所示，
所以在上先增后减，故D错误. 故选：．
例2 (2022·广州市培正中学月考)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|，下列叙述正确的是(　　)
A．f(x)是奇函数 B．f(x)在区间上单调递增
C．f(x)的最大值为2 D．f(x)在[－π，π]上有4个零点
答案　C
【详解】　f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，f(x)是偶函数，A错误；当x∈时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，单调递减，B错误；f(x)＝sin|x|＋|sin x|≤1＋1＝2，且f ＝2，C正确；在[－π，π]上，当－π0，当00，f(x)的零点只有π，0，－π共三个，D错误．目录
三角函数的图象和性质 2
题型一 周期性、对称性 2
考向1 周期性 2
考向2 对称性 3
题型二 单调性 5
考向1 求单调区间 5
考向2 利用单调性求参数 8
题型三　三角函数的定义域 11
题型四 值域 12
题型五 图象的伸缩变换 17
题型六 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 21
题型七 零点问题 24
题型八 综合问题 27
三角函数的图象和性质
题型一 周期性、对称性
考向1 周期性
例1 下列函数中，是周期函数的为(　　)
A．y＝sin|x| B．y＝cos|x| C．y＝tan|x| D．y＝(x－1)0
例2 若函数的图象经过点，且相邻两条对称轴间的距离为.则的值为______．
例3 函数f(x)＝3sin＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________．
例4 已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)是定义域为R的奇函数，且当x＝3时，f(x)取得最小值－3，当ω取得最小正数时，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)的值为(　　)
A. B．－6－3 C．1 D．－1
例5 (2020·黑龙江省齐齐哈尔中学模拟)已知函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f(x)的最小正周期为________．
考向2 对称性
例1 （省级联测2022届高三）函数的对称轴方程为（ ）
A．B．C．D．
【举一反三】
1.函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)，若f(x)为奇函数，则φ＝________.
2 (2022·郑州模拟)设函数f(x)＝2sin＋，则下列叙述正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)在上的最小值为－ D．f(x)的图象关于点对称
3.(2020·湖北省孝感市一中模拟)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
4.(2022·北京丰台区模拟)将函数f(x)＝cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)的图象关于原点对称，则φ的一个取值为________．(答案不唯一)
5. ，则“f（x）是奇函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6.已知函数f(x)＝2sin是偶函数，则θ的值为（ ）
A． B． C． D．
题型二 单调性
考向1 求单调区间
例1 函数y＝3cos的单调递减区间是________．
例2 函数f(x)＝sin的单调递减区间为________．
例3 　f(x)＝sin在[0，π]上的单调递减区间为________．
例4 (2019·全国Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x| C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
【举一反三】
1.(2020·重庆市双桥中学模拟)函数y＝|cos x|的一个单调增区间是(　　)
A. B．[0，π] C. D.
2.(2020·辽宁省朝阳市一中模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；
(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．
3.(2020·山西省怀仁市一中模拟)已知f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
考向2 利用单调性求参数
例1 若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
例2 已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．
【举一反三】
1.已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　　)
A. B. C. D.
2 (2022·定远县育才学校月考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A．11 B．9 C．7 D．1
3 已知函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
4.(2021·新高考全国Ⅰ)下列区间中，函数f(x)＝7sin的单调递增区间是(　　)
A. B. C. D.
题型三　三角函数的定义域
例1　函数y＝的定义域为________．
例2 函数y＝的定义域为________．
【举一反三】
1. 函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)
A. B.
C. D.
2..函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为________．
题型四 值域
例1已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
例2 (2020·河南省濮阳市一中模拟)函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为(　　)
A．3，－1 B．3，－2 C．2，－1 D．2，－2
例3 函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________．
例4 【2017年高考全国Ⅱ】函数()的最大值是 .
例5 已知．在内的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【举一反三】
1.【2019年高考全国Ⅰ卷】函数的最小值为___________．
2.【2017年高考江苏卷】已知向量
（1）若a∥b，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．
3.函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
4.(2021·北京)函数f(x)＝cos x－cos 2x，试判断函数的奇偶性及最大值(　　)
A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为
5.(2021·全国乙卷)函数f(x)＝sin ＋cos 最小正周期和最大值分别是(　　)
A．3π和 B．3π和2 C．6π和 D．6π和2
题型五 图象的伸缩变换
例1 (2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)等于(　　)
A．sin B．sin C．sin D．sin
例2 (2022·天津二中模拟)将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数y＝cos的图象，则φ等于(　　)
A. B. C. D.
例3 （2022届高三上）已知函数的最小正周期为，若将其图象沿轴向右平移个单位，所得图象关于对称，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【举一反三】
1.要得到函数y＝cos的图象，可以把函数y＝sin的图象(　　)
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
2.(2020·江苏)将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________．
3.(2020·天津)已知函数f(x)＝sin.给出下列结论：
①f(x)的最小正周期为2π；
②f 是f(x)的最大值；
③把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象．
其中所有正确结论的序号是(　　)
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
4.(2022·开封模拟)设ω>0，将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值为(　　)
A．3 B．6 C．9 D．12
5.(2022·咸阳模拟)若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数g(x)为偶函数，则f(x)的图象(　　)
A．关于直线x＝对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝－对称 D．关于点对称
6.（湖南永州市2020高三第一次模拟）将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于轴对称，则的值为____________．
题型六 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例1 (2022·安徽芜湖一中模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋b
的大致图象如图所示，将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为(　　)
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
例2 (2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝______.
例3 已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________.
【举一反三】
1.函数f(x)＝－2cos的振幅、初相分别是(　　)
A．－2， B．－2，－ C．2， D．2，－
2．(2022·天津中学月考)把函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，已知函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)等于(　　)
A．sin B．sin C．sin D．sin
3.(2020·全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝cos在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的【详解】式为(　　)
A．f(x)＝cos B．f(x)＝cos C．f(x)＝cos D．f(x)＝cos
4.(2022·张家口市第一中学模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________，为了得到偶函数y＝g(x)的图象，至少要将函数y＝f(x)的图象向右平移________个单位长度．
题型七 零点问题
例1 【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数在[0，2π]的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
例2 已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________．
延伸探究　本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是________．
答案　[－2,1)
【举一反三】
1.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)
A.f(x)的一个周期为－2π B.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C.f(x＋π)的一个零点为x＝ D.f(x)在单调递减
2.(2022·河北武强中学模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其中A>0，ω>0,0<φ<π，函数f(x)图象上相邻的两个对称中心之间的距离为，且在x＝处取到最小值－2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间；
(3)若关于x的方程g(x)＝m＋2在x∈上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．
4.已知函数在上的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
题型八 综合问题
例1 【多选】已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．的最小正周期为
C．所有的整数都是的零点 D．在上单调递增
例2 (2022·广州市培正中学月考)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|，下列叙述正确的是(　　)
A．f(x)是奇函数 B．f(x)在区间上单调递增
C．f(x)的最大值为2 D．f(x)在[－π，π]上有4个零点

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