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苏教版（2019）高中数学一轮复习第22讲《双曲线》(解析版）
【知识梳理】
双曲线 定义 标准方程 几何性质
范围 顶点 焦点 渐近线 对称性 离心率
平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线． 【】 轴 轴 坐标原点
二、【真题再现】
1、（2022上海卷）双曲线﹣y2＝1的实轴长为 　　．
【分析】根据双曲线的性质可得a＝3，实轴长为2a＝6．
【解答】解：由双曲线﹣y2＝1，可知：a＝3，所以双曲线的实轴长2a＝6．
故答案为：6．
2、（2022北京卷）已知双曲线的渐近线方程为，则__________．
【答案】
【分析】首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；
【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，
则，，又双曲线的渐近线方程为，
所以，即，解得；
故答案为：
3、（2022全国甲卷理）若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．故答案为：．
4、（2022全国甲卷文）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
【答案】2（满足皆可）
【分析】只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值
【详解】解：，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点”
所以，又因，所以，故答案为：2（满足皆可）
5、（2022全国乙卷理）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C的两支交于M，N两点，且，则C的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，因为，且，所以在双曲线的右支，又，，，设，，
在中，有，
故即，
所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，故选：AC.
6、（2022新高考2卷）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】（1）（2）见解析
【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
【小问1详解】
右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程为：；
【小问2详解】
由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.
设直线的斜率为,直线方程为,
则条件①在上，等价于；两渐近线方程合并为,联立消去y并化简整理得：
设,线段中点,,设,
则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,
∴由,
∴,
所以直线的斜率,
直线,即,
代入双曲线的方程,即中，
得：,
解得的横坐标：,
同理：，
∴∴,
∴条件②等价于，
综上所述：条件①在上，等价于；
条件②等价于；条件③等价于；
选①②推③:由①②解得：,∴③成立；
选①③推②：由①③解得：，，
∴，∴②成立；选②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.
7、（2022新高考1卷）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
（1）求l的斜率；（2）若，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，，再根据，即可解出l的斜率；
（2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，再根据即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可得出的面积．
【小问1详解】
因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线易知直线l的斜率存在，设，，
联立可得，，
所以，，．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化简得，，即，
所以或，当时，直线过点，与题意不符，舍去，故．
【小问2详解】
不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，
因为，所以，即，
即，解得，
于是，直线，直线，
联立可得，，
因为方程有一个根为，所以，，
同理可得，，．所以，，
点到直线的距离，故的面积为．
三、【考点精讲】
考点1 双曲线的定义
【例1-1】（2020·全国高考真题（理））设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【解析】，，根据双曲线的定义可得，
，即，，，
，即，解得，故选：A.
【例1-2】（2021·江苏南京市·金陵中学）已知，是双曲线：的两个焦点，点在直线上，则的最小值为（）
A． B．6 C． D．5
【答案】C
【解析】由双曲线：可得：，，所以，可得，所以，，设点关于对称的点为，
由可得，所以，所以，
当且仅当三点共线时等号成立，，
所以的最小值为，故选：C.
【变式1-1】（2020·全国高考真题）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（）
A． B．3 C． D．2
【答案】B
【解析】由已知，不妨设，则，因为，
所以点在以为直径的圆上，即是以P为直角顶点的直角三角形，
故，即，又，
所以，
解得，所以故选：B
【变式1-2】（2021·陕西渭南·高三（文））已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，，当的周长最小时，的面积为（　　）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】A
【解析】如图所示，设双曲线的右焦点为，由双曲线，可得，
则，所以，因为，所以，
则的周长为，即当在处时，的周长最小，此时直线的方程为，联立整理得，则，
故的面积为.故选：A.
考点2 双曲线的标准方程
【例2-1】（2018·天津高考真题）已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，
据此可得：，，
则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A选项.
【例2-2】（2021·新疆高三（理））已知，是双曲线的两个焦点，过的直线与圆切于点，且与双曲线右支交于点，是线段的中点，若，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于分别是的中点，所以.
根据双曲线的定义可知，
所以，
由于，所以，
即，也即，即，
解得，负根舍去.
所以.
所以双曲线的方程为.
故选：A
【变式2-1】（2021·浙江高三开学考试）已知双曲线的一个焦点为，渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得：双曲线的焦点在轴上，且，，再由，解得：，该双曲线的标准方程为，故选D.
【变式2-2】（2021·全国高三）惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所steynstudio完成的，建筑师的设计灵感源于圣经的经文“上帝啊，你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下避难”．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且此双曲线的离心率为，过点，则此双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线，由题意可得：
∴双曲线为，即．故选：A．
【变式2-3】（2021·天津和平·高三）已知双曲线的一条渐近线与抛物线交于点，点是抛物线的准线上一点，抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，且为等边三角形，则双曲线的方程为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，点，抛物线的准线方程为，作，由抛物线的定义可知，，又为等边三角形，所以，所以，即点重合，所以，设，不妨设，则，得，所以，所以，又因为，所以得，所以双曲线的方程为.故选：A
考点3 双曲线的离心率与渐近线
【例3-1】（2021·全国高考真题（理））已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．
（2）（2020·北京高考真题）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．
【答案】（1）4（2）
【解析】（1）由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距故答案为：4
（2）在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，即，
所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为.故答案为：；.
【例3-2】（2021·全国高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________．
【答案】
【分析】根据离心率结合得出关系即可求出.
【详解】由题离心率，即，又，即，则，
故此双曲线的渐近线方程为.故答案为：.
【变式3-1】（2021·全国高考真题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.故选：A.
【变式3-2】（2021·全国高三专题练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的左支于P，Q两点，若，且的周长为，则双曲线C的离心率为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由双曲线定义知，
则，，所以，
∴的周长为，∴，，
由，
所以，故，∴，∴，，∴，
在中，，故.故选：A.
【变式3-3】（2021·全国高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
考点4 直线与双曲线的位置关系
【例4-1】（2021·全国（理））已知双曲线的左、右焦点分别是，，直线过坐标原点且与双曲线交于点，．若，则四边形的面积为______．
【答案】8
【解析】由双曲线的对称性可知，四边形的对角线互相平分且相等，所以四边形是矩形．设，，则．因为，所以，化简得，所以四边形的面积为．故答案为：
【例4-2】（2021·全国高三专题练习（理））已知直线：与双曲线=1只有一个公共点，则直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【解析】由题意知：直线方程可写为，即直线恒过，
而，即在双曲线外侧，且双曲线渐近线为，如下图示，
∴当时，有直线为，易知其与双曲线相切于右顶点，符合题意；
当时，有直线斜率为，
若与双曲线有且只有一个交点，，符合题意；
若与双曲线有且只有一个交点，即，符合题意；
若直线与双曲线相切时，联立双曲线方程并整理得
，
由，解得.
∴综上：当或或时，都与双曲线只有一个交点.
故选：D.
【变式4-1】（2021·全国高三专题练习（理））直线与双曲线：有且仅有一个公共点，那么值共有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】联立，消去y得
当时，即时，方程组只有一个解；当时，，解得：
所以的取值为，共4个，故选：D.
【变式4-2】（2021·广东）过双曲线的左焦点作直线交于，两点，则（）
A．若，则直线只有条 B．若，则直线有条
C．若，则直线有条 D．若，则直线有条
【答案】ABD
【解析】因为双曲线的左焦点的坐标为，该双曲线的渐近线方程为，
若直线的斜率不存在，则的方程为，代入可得，此时；
若直线的斜率存在，可设的方程为，设，，
为使与有两不同交点，只需；
由消去整理得，
则，所以；
A选项，由可得，无解；因此，若，则的方程只有；故A正确；
B选项，由可得或，解得无解或，因此，若，则的方程为；故B正确；
C选项，由可得或，解得无解或，因此，若，则的方程为；故C错；
D选项，由可得或，解得或，因此，若，则的方程为或；故D正确；故选：ABD.
考点5 中点弦问题
【例5-1】（2021·河南驻马店·高三期末）已知双曲线的离心率为，直线与交于，两点，若线段的中点为，则直线的方程为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，，则，，两式相减可得．因为线段以点为中点，所以，，所以，因为的离心率为，所以，故直线的斜率为，所以直线的方程为，即,经检验成立.故选：B
【例5-2】（2021·全国高三专题练习）已知倾斜角为的直线与双曲线C：（，）相交于A，B两点，是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为倾斜角为的直线与双曲线C：（，）相交于A，B两点，
所以直线的斜率，
设，则①②
由①②得则
因为是弦的中点，
因为直线的斜率为1即所以，则，故选：D
【变式5-1】（2021·陕西）已知双曲线，斜率为的直线交双曲线于、，为坐标原点，为的中点，若的斜率为，则双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设点、，则，
由题意，得，，两式相减，得，整理得，
所以，
因此，双曲线的离心率为，故选：A.
【变式5-2】（2021·全国高三专题练习）过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝（ ）
A．2 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【解析】解法一：由题意可知，直线AB的斜率存在．设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－4)＋2.由消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝－＝8，解得k＝1.
所以x1x2＝＝10.
所以|AB|＝·＝4.
故选:D.
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ，　①
.　②
①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.
所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y1－y2，所以直线AB的斜率k＝＝1.则直线AB的方程为y＝x－2.
由消去y并整理，得x2－8x＋10＝0，
所以x1＋x2＝8，x1x2＝10.所以|AB|＝·＝4.苏教版（2019）高中数学一轮复习第22讲《双曲线》(解析版）
【知识梳理】
双曲线 定义 标准方程 几何性质
范围 顶点 焦点 渐近线 对称性 离心率
平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线． 【】 轴 轴 坐标原点
二、【真题再现】
1、（2022上海卷）双曲线﹣y2＝1的实轴长为 　　．
2、（2022北京卷）已知双曲线的渐近线方程为，则__________．
3、（2022全国甲卷理）若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
4、（2022全国甲卷文）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
5、（2022全国乙卷理）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C的两支交于M，N两点，且，则C的离心率为（）
A. B. C. D.
6、（2022新高考2卷）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
7、（2022新高考1卷）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
（1）求l的斜率；（2）若，求的面积．
三、【考点精讲】
考点1 双曲线的定义
【例1-1】（2020·全国高考真题（理））设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（）
A．1 B．2 C．4 D．8
【例1-2】（2021·江苏南京市·金陵中学）已知，是双曲线：的两个焦点，点在直线上，则的最小值为（）
A． B．6 C． D．5
【变式1-1】（2020·全国高考真题）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（）
A． B．3 C． D．2
【变式1-2】（2021·陕西渭南·高三（文））已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，，当的周长最小时，的面积为（　　）
A．12 B．8 C．6 D．4
考点2 双曲线的标准方程
【例2-1】（2018·天津高考真题）已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【例2-2】（2021·新疆高三（理））已知，是双曲线的两个焦点，过的直线与圆切于点，且与双曲线右支交于点，是线段的中点，若，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2021·浙江高三开学考试）已知双曲线的一个焦点为，渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为（）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2021·全国高三）惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所steynstudio完成的，建筑师的设计灵感源于圣经的经文“上帝啊，你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下避难”．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且此双曲线的离心率为，过点，则此双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2021·天津和平·高三）已知双曲线的一条渐近线与抛物线交于点，点是抛物线的准线上一点，抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，且为等边三角形，则双曲线的方程为（）
A． B． C． D．
考点3 双曲线的离心率与渐近线
【例3-1】（2021·全国高考真题（理））已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．
（2）（2020·北京高考真题）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．
【例3-2】（2021·全国高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________．
【变式3-1】（2021·全国高考真题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2021·全国高三专题练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的左支于P，Q两点，若，且的周长为，则双曲线C的离心率为（）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2021·全国高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）
A． B． C． D．
考点4 直线与双曲线的位置关系
【例4-1】（2021·全国（理））已知双曲线的左、右焦点分别是，，直线过坐标原点且与双曲线交于点，．若，则四边形的面积为______．
【例4-2】（2021·全国高三专题练习（理））已知直线：与双曲线=1只有一个公共点，则直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【变式4-1】（2021·全国高三专题练习（理））直线与双曲线：有且仅有一个公共点，那么值共有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式4-2】（2021·广东）过双曲线的左焦点作直线交于，两点，则（）
A．若，则直线只有条 B．若，则直线有条
C．若，则直线有条 D．若，则直线有条
考点5 中点弦问题
【例5-1】（2021·河南驻马店·高三期末）已知双曲线的离心率为，直线与交于，两点，若线段的中点为，则直线的方程为（）
A．B．C．D．
【例5-2】（2021·全国高三专题练习）已知倾斜角为的直线与双曲线C：（，）相交于A，B两点，是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2021·陕西）已知双曲线，斜率为的直线交双曲线于、，为坐标原点，为的中点，若的斜率为，则双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2021·全国高三专题练习）过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝（ ）
A．2 B．2
C．3 D．4

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