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<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题41 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1．（2022·上海）已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为　 　
2．（2019·上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有　 　种（结果用数值表示）
两个计数原理
(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m＋n种不同的方法．
(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
【常用结论】
两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算完成一件事的方法种数
不同点 分类、相加 分步、相乘
每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)
注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，缺一不可
考点一　分类加法计数原理
【方法总结】分类标准的选择
(1)应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．根据题目特点恰当选择一个分类标准．
(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复，但也不能有遗漏．
1．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　)
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
2．如图所示，某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛，每座桥只能连通两个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接，则设计方案的种数最多是(　　)
A．8 B．12 C．16 D．24
考点二　分步乘法计数原理
【方法总结】利用分步乘法计数原理解题的策略
(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．
(2)将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成．
3．某学校的3个班级将要去甲、乙、丙、丁4个工厂参观学习，要求每个班只能去1个工厂参观学习，且甲工厂必须有班级参观学习，则不同的参观方案有(　　)
A．16种 B．25种
C．37种 D．48种
4．(多选)有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是(　　)
A．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有34种
B．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有43种
C．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种
D．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有33种
考点三　两个计数原理的综合应用
【方法总结】利用两个计数原理解题时的三个注意点
(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事．
(2)分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图．
(3)对于复杂问题，一般是先分类再分步．
5．如图所示，积木拼盘由A，B，C，D，E五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色(如：A与B为相邻区域，A与D为不相邻区域)，现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是(　　)
A．780 B．840 C．900 D．960
6．甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为(　　)
A．5 B．24 C．32 D．64
一、单选题
1．（2022·安徽模拟）在北京冬奥会期间，云顶滑雪公园的“冰嫩墩”凭借着“‘冰嫩墩’蹦迪‘冰墩墩’扫雪”等词条迅速出舞动肢体，做出各种可爱的造型，活跃现场气氮．云顶滑雪公园设置了3个“结束区”，共安排了甲、乙、丙、丁4名“冰墩墩”表演人员，每个“结束区”至少有1个“冰墩墩”表演，则可能的安排方式种数为（　　）
A．18 B．36 C．72 D．576
2．（2022·陕西模拟）在2021年日本东京奥运会志愿者活动中，甲、乙等6人报名参加了三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加项目，乙不能参加项目，那么不同的志愿者分配方案共有（　　）
A．52种 B．68种 C．72种 D．108种
3．（2022·新疆三模）中国书法历史悠久，源远流长，书法作为一门艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观，宇宙观和人生观，谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓汉字本身且有丰富的音象利可朝的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术，我国书法大体可分为篆 隶 楷 行 草五种书体，如图，以“国”字为例，现有5张分别写有一种书体的临摹纸，将其全部分给3名书法爱好者，每人至少1张，则不同的分法种数为（　　）
A．60 B．90 C．120 D．150
4．（2022·武汉模拟）某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（　　）
A．288 B．336 C．576 D．1680
5．（2022·江苏模拟）八音是中国古代对乐器的总称，指金 石 土 革 丝 木 匏 竹八类，每类又包括若干种乐器.现有土 丝 竹三类乐器，其中土有缶 埙2种乐器；丝有琴 瑟 筑 琵琶4种乐器；竹有箫 笛 笼3种乐器.现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲 乙 丙三位同学演奏，则不同的分配方案有（　　）
A．24种 B．72种 C．144种 D．288种
6．（2022·临沂模拟）志愿服务是全员核酸检测工作的重要基础和保障，某核酸检测站点需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该站点参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（　　）
A．72种 B．81种 C．144种 D．192种
7．（2022·济南模拟）“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读．比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天．由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142．则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（　　）
A．648个 B．720个 C．810个 D．891个
8．（2022·如皋模拟）甲、乙、丙、丁共4名同学进行国庆演讲比赛决赛，决出第一名到第四名．甲、乙两人中一人获得第一名，另一人不是第四名，则4人名次所有不同结果的总数为(　　)
A．4 B．6 C．8 D．10
9．（2022·秦皇岛二模）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员 面向全社会的优质平台，现日益成为人们了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP.该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块各完成一次，则“挑战答题”板块与其他三个答题板块在完成顺序上均不相邻的学习方法种数为（　　）
A．144 B．72 C．96 D．36
10．（2022·安徽模拟）甲 乙两名同学各自从6门不同的校本选修课中任选3门研修，则甲 乙两名同学所选课程至少有一门相同的选法种数为（　　）
A．400 B．390 C．380 D．370
二、填空题
11．（2022·安徽模拟）某市卫健委从4名工作人员和5名专家中选取3人，组成督察小组到市直学校检查防疫工作，若工作人员和专家都需至少选一人，则不同的选法种数为　 　（用数字作答）．
12．（2022·安徽模拟）某校年度排球赛中，先进行小组赛，每组胜出的队伍进入决赛争夺冠军.小组赛规则为：每小组三支球队，首先抽签决定第一局上场比赛的两支球队，第一局输的球队淘汰出局，获胜的球队与轮空的球队进行第二局比赛，第二局获胜的球队进入决赛．若A、B、C三个班级的球队分在同一个小组，每局比赛相互独立且不会产生平局，A队战胜B队的概率为0.3，B队战胜C队的概率为0.5，C队战胜A队的概率为0.6，则A队进入决赛的概率为　 　(保留分数形式)．
13．（2022·郑州模拟）党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”．为了响应报告精神，某师范大学6名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这6名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为　 　．
14．（2022·浙江模拟）将1，2，3，4，5，6，7，8八个数字排成一排，满足相邻两项以及头尾两项的差均不大于2，则这样的排列方式共有　 　种.（用数字作答）
15．（2022·浙江模拟）如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域，，，和，，，分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有　 　种；区域，，，和，，，分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有　 　种.
三、解答题
16．（2022·红河模拟）2022北京冬奥会即将开始，北京某大学鼓励学生积极参与志愿者的选拔.某学院有6名学生通过了志愿者选拔，其中4名男生，2名女生.
（1）若从中依次抽取2名志愿者，求在第1次抽到男生的条件下，第2次也抽到男生的概率；
（2）若从6名志愿者中任选3人负责滑雪项目服务岗位，且所选3人中女生人数为X，求X的分布列和数学期望.
17．（2022·湖北模拟）象棋属于二人对抗性游戏的一种，在中国有着悠久的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动.马在象棋中是至关重要的棋子，“马起盘格势，折冲千里余.江河不可障，飒沓入敌虚”将矩形棋盘视作坐标系 ，棋盘的左下角为坐标原点，马每一步从 移动到 或 .
（1）若棋盘的右上角为 ，马从 处出发，等概率地向各个能到达（不离开棋盘）的方向移动，求其4步以内到达右上角的概率.
（2）若棋盘的右上角为 ，马从 处出发，每一步仅向 方向移动，最终到达棋盘右上角，若选择每一条可行的道路是等概率的，求马停留在线段 上次数 的数学期望.
18．某商场举行元旦促销回馈活动，凡购物满1000元，即可参与抽奖活动，抽奖规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号为1、2、3、4、5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次（每次摸出的小球均不放回口袋），编号依次作为一个三位数的个位、十位、百位，若三位数是奇数，则奖励50元，若三位数是偶数，则奖励 元（ 为三位数的百位上的数字，如三位数为234，则奖励 元）.
（1）求抽奖者在一次抽奖中所得三位数是奇数的概率；
（2）求抽奖者在一次抽奖中获奖金额 的概率分布与期望 .
19．某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．
（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（2）求使P（X=m）取得最大值的整数m．
20．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达）
（1）男甲必排在首位；
（2）男甲、男乙必排在正中间；
（3）男甲不在首位，男乙不在末位；
（4）男甲、男乙必排在一起；
（5）4名女生排在一起；
（6）任何两个女生都不得相邻；
（7）男生甲、乙、丙顺序一定．<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题41 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1．（2022·上海）已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为　 　
【答案】17
【解析】解：由题意知符合要求的四位数分成三类，
①千位数为3或4的四位数，共有个；
②千位数为2且百位数是3或4的四位数，共有个；
③千位数为2且百位数是1的四位数，只有一个数：2143.
根据分类加法计数原理得所求四位数的个数为12+4+1=17
故答案为：17
2．（2019·上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有　 　种（结果用数值表示）
【答案】24
【解析】解：在五天里，甲连续参加2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有 种，
故答案为：24．
两个计数原理
(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m＋n种不同的方法．
(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
【常用结论】
两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算完成一件事的方法种数
不同点 分类、相加 分步、相乘
每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)
注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，缺一不可
考点一　分类加法计数原理
【方法总结】分类标准的选择
(1)应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．根据题目特点恰当选择一个分类标准．
(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复，但也不能有遗漏．
1．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　)
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
【答案】B
【解析】依题意得，可能剩余一本画册或一本集邮册两种情况．第一类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4种；第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有C＝6(种)．因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10(种)．
2．如图所示，某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛，每座桥只能连通两个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接，则设计方案的种数最多是(　　)
A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】B
【解析】四个人工小岛分别记为A，B，C，D，对A分有一座桥相连和两座桥相连两种情况，用“－”表示桥．
①当A只有一座桥相连时，有A－B－C－D，A－B－D－C，A－C－B－D，A－C－D－B，A－D－B－C，A－D－C－B，共6种方法；
②当A有两座桥相连时，有C－A－B－D，D－A－B－C，D－A－C－B，B－A－C－D，B－A－D－C，C－A－D－B，共6种方法．故设计方案最多有6＋6＝12(种)．
考点二　分步乘法计数原理
【方法总结】利用分步乘法计数原理解题的策略
(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．
(2)将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成．
3．某学校的3个班级将要去甲、乙、丙、丁4个工厂参观学习，要求每个班只能去1个工厂参观学习，且甲工厂必须有班级参观学习，则不同的参观方案有(　　)
A．16种 B．25种
C．37种 D．48种
【答案】C
【解析】每个班级都可以从这4个工厂中选1个参观学习，各有4种选择，根据分步乘法计数原理，共有43＝64(种)参观方案，若甲工厂没有班级参观学习，此时每个班级都可以从其余3个工厂中选1个参观学习，各有3种选择，共有33＝27(种)参观方案，所以甲工厂必须有班级参观学习，不同的参观方案有64－27＝37(种)．
4．(多选)有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是(　　)
A．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有34种
B．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有43种
C．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种
D．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有33种
【答案】AC
【解析】对于A，第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法，后面的2个同学也有3种报法，根据分步乘法计数原理知共有34种结果，A正确，B错误；对于C，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择，第2个社团有3种选择，第3个社团有2种选择，根据分步乘法计数原理知共有4×3×2＝24(种)结果，C正确，D错误．
考点三　两个计数原理的综合应用
【方法总结】利用两个计数原理解题时的三个注意点
(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事．
(2)分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图．
(3)对于复杂问题，一般是先分类再分步．
5．如图所示，积木拼盘由A，B，C，D，E五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色(如：A与B为相邻区域，A与D为不相邻区域)，现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是(　　)
A．780 B．840 C．900 D．960
【答案】D
【解析】先涂A，则A有C＝5(种)涂法，再涂B，因为B与A相邻，所以B的颜色只要与A不同即可，有C＝4(种)涂法，同理C有C＝3(种)涂法，D有C＝4(种)涂法，E有C＝4(种)涂法，
由分步乘法计数原理，可知不同的涂色方法种数为5×4×3×4×4＝960.
6．甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为(　　)
A．5 B．24 C．32 D．64
【答案】D
【解析】5日至9日，即5,6,7,8,9，有3天奇数日，2天偶数日，第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23＝8(种)；第二步安排偶数日出行分两类：第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其他车，有2×2＝4(种)；第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有22＝4(种)，共计4＋4＝8(种)．根据分步乘法计数原理，不同的用车方案种数为8×8＝64.
一、单选题
1．（2022·安徽模拟）在北京冬奥会期间，云顶滑雪公园的“冰嫩墩”凭借着“‘冰嫩墩’蹦迪‘冰墩墩’扫雪”等词条迅速出舞动肢体，做出各种可爱的造型，活跃现场气氮．云顶滑雪公园设置了3个“结束区”，共安排了甲、乙、丙、丁4名“冰墩墩”表演人员，每个“结束区”至少有1个“冰墩墩”表演，则可能的安排方式种数为（　　）
A．18 B．36 C．72 D．576
【答案】B
【解析】先分3组，有种分组的方案；再分配，有种分配的方案，则可能的安排方式种数为，
故答案为：B．
2．（2022·陕西模拟）在2021年日本东京奥运会志愿者活动中，甲、乙等6人报名参加了三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加项目，乙不能参加项目，那么不同的志愿者分配方案共有（　　）
A．52种 B．68种 C．72种 D．108种
【答案】A
【解析】甲最多只能参加项目，乙最多只能参加项目，
按着甲乙两人只有一人，两人都参加和都不参加分类，
由此可得方案数为．
故答案为：A．
3．（2022·新疆三模）中国书法历史悠久，源远流长，书法作为一门艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观，宇宙观和人生观，谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓汉字本身且有丰富的音象利可朝的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术，我国书法大体可分为篆 隶 楷 行 草五种书体，如图，以“国”字为例，现有5张分别写有一种书体的临摹纸，将其全部分给3名书法爱好者，每人至少1张，则不同的分法种数为（　　）
A．60 B．90 C．120 D．150
【答案】D
【解析】满足条件的分法可分为两类，
第一类一人三张，另两人个一张，符合条件的方法有种， 即60种
第二类，其中一人一张，另两人各两张，符合条件的方法有种，即90种，
由分类加法原理可得，满足条件的方法总数为150，
故答案为：D.
4．（2022·武汉模拟）某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（　　）
A．288 B．336 C．576 D．1680
【答案】B
【解析】解：第一步：排红车，第一列选一个位置，则第二列有三个位置可选，由于车是不相同的，故红车的停法有种，
第二步，排黑车，若红车选，则黑车有共7种选择，黑车是不相同的，故黑车的停法有种，
根据分步计数原理，共有种，
故答案为：B
5．（2022·江苏模拟）八音是中国古代对乐器的总称，指金 石 土 革 丝 木 匏 竹八类，每类又包括若干种乐器.现有土 丝 竹三类乐器，其中土有缶 埙2种乐器；丝有琴 瑟 筑 琵琶4种乐器；竹有箫 笛 笼3种乐器.现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲 乙 丙三位同学演奏，则不同的分配方案有（　　）
A．24种 B．72种 C．144种 D．288种
【答案】C
【解析】从这三类乐器中各选1种乐器的选法有（种），将3种乐器分配给甲 乙 丙三位同学演奏的方法有（种），因此不同的分配方案共有（种）。
故答案为：C.
6．（2022·临沂模拟）志愿服务是全员核酸检测工作的重要基础和保障，某核酸检测站点需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该站点参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（　　）
A．72种 B．81种 C．144种 D．192种
【答案】D
【解析】若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为，
若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为，
由间接法可知，满足条件的排法种数为种.
故答案为：D.
7．（2022·济南模拟）“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读．比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天．由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142．则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（　　）
A．648个 B．720个 C．810个 D．891个
【答案】D
【解析】根据“回文数”的特点，只需确定前3位即可，最高位即万位有9种排法，千位和百位各有10种排法，根据分步乘法计数原理，共有种排法，其中各位数字相同的共有9种，则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有种。
故答案为：D.
8．（2022·如皋模拟）甲、乙、丙、丁共4名同学进行国庆演讲比赛决赛，决出第一名到第四名．甲、乙两人中一人获得第一名，另一人不是第四名，则4人名次所有不同结果的总数为(　　)
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】可看成有1、2、3、4四个位置，
1只能排甲或乙，有2种排法，
4只能排丙或丁，有2种排法，
2、3可排剩下的两名同学，有种排法，
根据分步乘法计数原理可知总共有2×2×2=8种不同的排法．
故答案为：C．
9．（2022·秦皇岛二模）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员 面向全社会的优质平台，现日益成为人们了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP.该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块各完成一次，则“挑战答题”板块与其他三个答题板块在完成顺序上均不相邻的学习方法种数为（　　）
A．144 B．72 C．96 D．36
【答案】A
【解析】当“挑战答题”板块在首或尾时，则与“挑战答题”板块相邻的只能是“阅读文章”或“视听学习”板块，其他任意排，共有种不同的排法；
当“挑战答题”板块不在首尾时，则与“挑战答题”板块相邻的只能是“阅读文章”和“视听学习”板块，其他任意排，共有种不同的排法.
所以“挑战答题”板块与其他三个答题板块在完成顺序上均不相邻的学习方法种数为，
故答案为：A.
10．（2022·安徽模拟）甲 乙两名同学各自从6门不同的校本选修课中任选3门研修，则甲 乙两名同学所选课程至少有一门相同的选法种数为（　　）
A．400 B．390 C．380 D．370
【答案】C
【解析】甲 乙两名同学所选的课程共有种情况，
甲 乙两名同学所选课程都不同的选法种数为，
∴.
故答案为：C.
二、填空题
11．（2022·安徽模拟）某市卫健委从4名工作人员和5名专家中选取3人，组成督察小组到市直学校检查防疫工作，若工作人员和专家都需至少选一人，则不同的选法种数为　 　（用数字作答）．
【答案】70
【解析】从4名工作人员和5名专家中选取3人，共有种情况．
若全为工作人员，共有种；若全为专家，共有种，
工作人员、专家至少各一人，则不同的选法共有（种）．
故答案为：70
12．（2022·安徽模拟）某校年度排球赛中，先进行小组赛，每组胜出的队伍进入决赛争夺冠军.小组赛规则为：每小组三支球队，首先抽签决定第一局上场比赛的两支球队，第一局输的球队淘汰出局，获胜的球队与轮空的球队进行第二局比赛，第二局获胜的球队进入决赛．若A、B、C三个班级的球队分在同一个小组，每局比赛相互独立且不会产生平局，A队战胜B队的概率为0.3，B队战胜C队的概率为0.5，C队战胜A队的概率为0.6，则A队进入决赛的概率为　 　(保留分数形式)．
【答案】
【解析】若第一局为A、B两队比赛，则A队进入决赛的概率为，
若第一局为A、C两队比赛，则A队进入决赛的概率为，
若第一局为B、C两队比赛，则A队进入决赛的概率为，
综上，A队进入决赛的概率为．
故答案为：
13．（2022·郑州模拟）党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”．为了响应报告精神，某师范大学6名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这6名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为　 　．
【答案】540
【解析】第一步将名毕业生分成组，且每组至少人，一共有3种分配方案，即1、1、4或1、2、3或2、2、2，其中1、1、4分配方式有种，1、2、3， 分配方式有种，2、2、2，分配方式有种，
第二步将分好的3组毕业生分配到3所乡村小学，其分法有种，
利用分步计数原理可知，分配方案的总数为。
故答案为：540。
14．（2022·浙江模拟）将1，2，3，4，5，6，7，8八个数字排成一排，满足相邻两项以及头尾两项的差均不大于2，则这样的排列方式共有　 　种.（用数字作答）
【答案】16
【解析】根据题意可将该排列问题看成一个圆环上有1，2，3，4，5，6，7，8八个数字使其满足题意要求进行摆放，有两种情形，如下图所示：
然后再将此圆环分别从某一个数字处剪开排成一列，一个作为头一个作为尾，则每一个圆环有8种剪开方式情况，故满足题意的有种.
故答案为：16.
15．（2022·浙江模拟）如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域，，，和，，，分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有　 　种；区域，，，和，，，分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有　 　种.
【答案】24；216
【解析】，同色，所以先涂有：，再涂有种，所以共有：种.
先涂共有：种，设四种颜色为，假设涂的颜色分别为，则涂色情况如下：
，，，共9种，所以：种.
故答案为：24；216.
三、解答题
16．（2022·红河模拟）2022北京冬奥会即将开始，北京某大学鼓励学生积极参与志愿者的选拔.某学院有6名学生通过了志愿者选拔，其中4名男生，2名女生.
（1）若从中依次抽取2名志愿者，求在第1次抽到男生的条件下，第2次也抽到男生的概率；
（2）若从6名志愿者中任选3人负责滑雪项目服务岗位，且所选3人中女生人数为X，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）设“第1次抽到的男生”为事件A，“第2次抽到男生”为事件B，则“第1次和第2次都抽到男生”为事件AB.
方法一根据分步乘法计数原理，得，，
所以.
方法二易知，，
所以.
（2）的取值可能为0，1，2
依题意，得
所以的分布列为
0 1 2
.
【解析】（1）利用已知条件结合分步乘法计数结合条件概率公式，进而得出在第1次抽到男生的条件下，第2次也抽到男生的概率或用古典概型求概率公式结合独立事件乘法求概率公式，再结合条件概率公式，进而得出在第1次抽到男生的条件下，第2次也抽到男生的概率。
（2）利用已知条件求出随机变量 的可能的取值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，进而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望。
17．（2022·湖北模拟）象棋属于二人对抗性游戏的一种，在中国有着悠久的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动.马在象棋中是至关重要的棋子，“马起盘格势，折冲千里余.江河不可障，飒沓入敌虚”将矩形棋盘视作坐标系 ，棋盘的左下角为坐标原点，马每一步从 移动到 或 .
（1）若棋盘的右上角为 ，马从 处出发，等概率地向各个能到达（不离开棋盘）的方向移动，求其4步以内到达右上角的概率.
（2）若棋盘的右上角为 ，马从 处出发，每一步仅向 方向移动，最终到达棋盘右上角，若选择每一条可行的道路是等概率的，求马停留在线段 上次数 的数学期望.
【答案】（1）解：从 出发4步以内到达 且不出棋盘的走法共有8种，其中 种为：
另外4种与以上4种关于直线 对称.
对于以上4种，记第 种路线的概率为 ，则：
， ，
， .
因此总概率为 .
（2）解：设马有 步从 走到 ， 步走到 .
则 ，解得 .
即马共走了 步，总路径数为
路径上经过的点可能在线段上的有 ，共5个.
因此 .
因此 ， ，
， ，
.
所以马停留在线段 上次数 的分布列为：
1 2 3 4 5
因此 的数学期望 .
【解析】(1)先求出从(0， 0)出发4步以内到达(4， 4)且不出棋盘的走法共有8种，利用分步乘法原理，即可求解出其4步以内到达右上角的概率；
(2)先求出马共走的步数，再结合期望的公式，即可求解出的数学期望.
18．某商场举行元旦促销回馈活动，凡购物满1000元，即可参与抽奖活动，抽奖规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号为1、2、3、4、5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次（每次摸出的小球均不放回口袋），编号依次作为一个三位数的个位、十位、百位，若三位数是奇数，则奖励50元，若三位数是偶数，则奖励 元（ 为三位数的百位上的数字，如三位数为234，则奖励 元）.
（1）求抽奖者在一次抽奖中所得三位数是奇数的概率；
（2）求抽奖者在一次抽奖中获奖金额 的概率分布与期望 .
【答案】（1）解：因为总的基本事件个数 ，摸到三位数是奇数的事件数 ，所以 ；
所以摸到三位数是奇数的概率 .
（2）解：获奖金额 的可能取值为50、100、200、300、400、500，
， ， ，
， ， ，
获奖金额 的概率分布为
50 100 200 300 400 500
均值 元.
所以期望是150元.
【解析】（1）首先利用排列求出摸三次的总的基本事件个数： ；然后利用分步计数原理求出个位的排法、十位百位的排法求出三位数是奇数的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.（2）获奖金额X的可能取值为50、100、200、300、400、500，求出各个随机变量的分布列，利用均值公式即可求解
19．某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．
（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（2）求使P（X=m）取得最大值的整数m．
【答案】（1）解：因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以 与 相互独立，由于P（A）=P（B）= = ，故P（ ）=P（ ）=1﹣ ，
因此学生甲收到活动信息的概率是1﹣（1﹣ ）2=
（2）解：当k=n时，m只能取n，此时有P（X=m）=P（X=n）=1
当k＜n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和n中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k位”所包含的基本事件总数为（ ）2，当X=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k﹣m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m﹣k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件数为
P（X=m）= =
当k≤m＜t时，P（X=M）＜P（X=M+1） （m﹣k+1）2≤（n﹣m）（2k﹣m） m≤2k﹣
假如k≤2k﹣ ＜t成立，则当（k+1）2能被n+2整除时，
k≤2k﹣ ＜2k+1﹣ ＜t，故P（X=M）在m=2k﹣ 和m=2k+1﹣ 处达到最大值；
当（k+1）2不能被n+2整除时，P（X=M）在m=2k﹣[ ]处达到最大值（注：[x]表示不超过x的最大整数），
下面证明k≤2k﹣ ＜t
因为1≤k＜n，所以2k﹣ ﹣k= ≥ = ≥0
而2k﹣ ﹣n= ＜0，故2k﹣ ＜n，显然2k﹣ ＜2k
因此k≤2k﹣ ＜t
综上得，符合条件的m=2k﹣[ ]
【解析】（1）由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解；（2）由题意，要先研究随机变量X的取值范围，由于k≤n故要分两类k=n与k＜n进行研究，k=n时易求，k＜n时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表示出P（X=m），再根据其形式研究它取得最大值的整数m即可．
20．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达）
（1）男甲必排在首位；
（2）男甲、男乙必排在正中间；
（3）男甲不在首位，男乙不在末位；
（4）男甲、男乙必排在一起；
（5）4名女生排在一起；
（6）任何两个女生都不得相邻；
（7）男生甲、乙、丙顺序一定．
【答案】解：（1）男甲必排在首位，则其他人任意排，故有A99种，
（2）男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，故有A22A77种，
（3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故有A1010﹣2A99+A88种，
（4）男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A22A88种，
（5）4名女生排在一起，利用捆绑法，把4名女生捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A44A77种，
（6）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有A66A74种，
（7）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，=A107种
【解析】（1）男甲必排在首位，则其他人任意排，问题得以解决．
（2）男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，问题得以解决，
（3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故问题得以解决，
（4）男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，问题得以解决，
（5）4名女生排在一起，利用捆绑法，问题得以解决，
（6）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，问题得以解决，
（7）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，问题得以解决．

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