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<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题43 二项式定理
1．（2022·北京）若 ，则 （　　）
A．40 B．41 C．-40 D．-41
2．（2020·新课标Ⅰ·理） 的展开式中x3y3的系数为（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
1．二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二项展开式的通项 Tk＋1＝Can－kbk，它表示展开式的第k＋1项
二项式系数 C(k＝0,1，…，n)
2．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n.
【常用结论】
1．两个常用公式
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
2．二项展开式的三个重要特征
(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.
(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.
(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.
考点一　通项公式的应用
【方法总结】(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
命题点1　形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项
1．(1－2)8展开式中x项的系数为(　　)
A．28 B．－28
C．112 D．－112
命题点2　形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题
2．(x3－2)6的展开式中x6的系数为(　　)
A．6 B．10 C．13 D．15
考点二　二项式系数与项的系数的问题
命题点1　二项式系数和与系数和
3．（多选）在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则(　　)
A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64
C．常数项为－135 D．常数项为135
命题点2　系数与二项式系数的最值问题
4．6的展开式中二项式系数最大的项为第________项，系数最大的项为________．
考点三　二项式定理的综合应用
【方法总结】二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
5．已知n为满足S＝n＋C＋C＋C＋…＋C(n≥3)能被9整除的正数n的最小值，则n的展开式中，系数最大的项为(　　)
A．第6项 B．第7项
C．第11项 D．第6项和第7项
6．设n为奇数，那么11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是(　　)
A．－3 B．2
C．10 D．11
一、单选题
1．（2022·四川模拟）已知二项式的展开式中，项的系数为40，则（　　）
A．2 B．-2 C．2或-2 D．4
2．（2022·成都模拟）二项式展开式的各项系数之和为（　　）．
A．-1 B．1 C．32 D．243
3．（2022·南充模拟）已知随机变量，且，则的展开式中常数项为（　　）
A．-240 B．-60 C．240 D．60
4．（2022·眉山模拟）展开式中的系数为-20，则（　　）
A．2 B．1 C．3 D．
5．（2022·怀化模拟）二项式的展开式中的常数项是（　　）
A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项
6．（2022·周至模拟）在展开式中，下列说法错误的是（　　）
A．常数项为-160 B．第5项的系数最大
C．第4项的二项式系数最大 D．所有项的系数和为1
7．（2022·西安模拟）已知随机变量，且，则二项式的展开式中有理项的个数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2022·临沂二模）已知 的展开式中各项系数的和为-3，则该展开式中 的系数为（　　）
A．-120 B．-40 C．40 D．120
9．（2022·吉林模拟）对于的展开式，下列说法不正确的是（　　）
A．有理项共5项
B．二项式系数和为512
C．二项式系数最大的项是第4项和第5项
D．各项系数和为-1
10．（2022·江阴模拟）二项式的展开式中，含项的二项式系数为（　　）
A．84 B．56 C．35 D．21
二、填空题
11．（2022·西安模拟）已知是的展开式中的某一项，则实数的值为　 　.
12．（2022·长春模拟）展开式中的常数项是　 　.
13．（2022·广东模拟）关于的因式的展开式中项的系数为-10，则常数项为　 　．
14．（2022·河南模拟）二项式展开式中，含的项的系数为　 　．
15．（2022·浙江模拟）已知关于、的二项式的展开式中，为正整数，若的系数为27，则　 　；若，，则展开式中所有项的二项式系数之和为　 　．
三、解答题
16．（2021高三上·德州月考）在 的展开式中，前3项的系数成等差数列.
（1）求展开式中含有 项的系数；
（2）求展开式中的有理项.
17．已知 的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等，
（1）求 ，
（2）求展开式中 的一次项的系数.
18．（2021高三上·杨浦期中）已知代数式 .
（1）当 ， 时，求二项展开式中二项式系数最大的项；
（2）若 ，且 ，求 的最大值.
19．（2021高三上·深圳月考）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
①第5项的系数与第3项的系数之比为5:2；
②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为36；
③ .
已知在 的展开式中， .
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中含 的项.
20．（2020·南通模拟）已知 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题43 二项式定理
1．（2022·北京）若 ，则 （　　）
A．40 B．41 C．-40 D．-41
【答案】B
【解析】当 时， ，当 时， ，两式相加得 .
故答案为：B
2．（2020·新课标Ⅰ·理） 的展开式中x3y3的系数为（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【解析】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 与 展开式的乘积可表示为：
或
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为10，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为
故答案为：C
1．二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二项展开式的通项 Tk＋1＝Can－kbk，它表示展开式的第k＋1项
二项式系数 C(k＝0,1，…，n)
2．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n.
【常用结论】
1．两个常用公式
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
2．二项展开式的三个重要特征
(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.
(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.
(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.
考点一　通项公式的应用
【方法总结】(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
命题点1　形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项
1．(1－2)8展开式中x项的系数为(　　)
A．28 B．－28
C．112 D．－112
【答案】C
【解析】(1－2)8展开式的通项公式为
Tk＋1＝C(－2)k＝.
要求x项的系数，只需＝1，解得k＝2，
所以x项系数为(－2)2C＝4×＝112.
命题点2　形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题
2．(x3－2)6的展开式中x6的系数为(　　)
A．6 B．10 C．13 D．15
【答案】C
【解析】由于6的展开式的通项为
Tk＋1＝，
令6－＝3，求得k＝2；
令6－＝6，求得k＝0，
故(x3－2)6的展开式中x6的系数为C－2C＝15－2＝13.
考点二　二项式系数与项的系数的问题
命题点1　二项式系数和与系数和
3．（多选）在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则(　　)
A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64
C．常数项为－135 D．常数项为135
【答案】ABD
【解析】在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，令x＝1，得各项系数和为2n，二项式系数和为2n，
则2×2n＝128，得n＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A，B正确；
6展开式的通项为
Tk＋1＝C·(3x)6－k·k
＝，
令6－k＝0，得k＝4，
因此展开式中的常数项为T5＝C·(－1)4·32＝135.故D正确．
命题点2　系数与二项式系数的最值问题
4．6的展开式中二项式系数最大的项为第________项，系数最大的项为________．
【答案】4　240x－8y2
【解析】因为6的展开式中二项式系数的最大值为C，所以二项式系数最大的项为第4项．因为6的展开式的通项为
Tk＋1＝C·y6－kk＝C·(－2)kx－2ky6－k，
所以展开式中系数最大的项为奇数项．
展开式中第1,3,5,7项的系数分别为C·(－2)0，C·(－2)2，C·(－2)4，C·(－2)6，即1,60,240,64，所以展开式中系数最大的项为240x－8y2.
考点三　二项式定理的综合应用
【方法总结】二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
5．已知n为满足S＝n＋C＋C＋C＋…＋C(n≥3)能被9整除的正数n的最小值，则n的展开式中，系数最大的项为(　　)
A．第6项 B．第7项
C．第11项 D．第6项和第7项
【答案】B
【解析】S＝n＋C＋C＋C＋…＋C
＝n＋(1＋1)27－C
＝(9－1)9＋n－1
＝9(98－C97＋…＋C)＋n－2，
∵n≥3，
∴S能被9整除的正数 n的最小值是n－2＝9，
∴n＝11.
∴11的展开式中的通项公式为
Tk＋1＝Cx11－kk
＝(－1)kCx11－2k，
只考虑k为偶数的情况，
由T5＝Cx3，T7＝Cx－1，T9＝Cx－5，
可知系数最大的项为第7项．
6．设n为奇数，那么11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是(　　)
A．－3 B．2
C．10 D．11
【答案】C
【解析】11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1＝C·11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11＋C－2＝(11＋1)n－2
＝12n－2＝(13－1)n－2
＝C·13n－C·13n－1＋…＋(－1)n－1·C·13＋(－1)n·C－2，
因为n为奇数，则上式＝
C·13n－C·13n－1＋…＋(－1)n－1·C·13－3＝[C·13n－C·13n－1＋…＋(－1)n－1·C·13－13]＋10，
所以11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是10.
一、单选题
1．（2022·四川模拟）已知二项式的展开式中，项的系数为40，则（　　）
A．2 B．-2 C．2或-2 D．4
【答案】C
【解析】由，令，解得，所以项的系数为，解得．
故答案为：C
2．（2022·成都模拟）二项式展开式的各项系数之和为（　　）．
A．-1 B．1 C．32 D．243
【答案】D
【解析】令得，
所以二项式展开式的各项系数之和为243.
故答案为：D
3．（2022·南充模拟）已知随机变量，且，则的展开式中常数项为（　　）
A．-240 B．-60 C．240 D．60
【答案】D
【解析】解：因为，所以所对应的正态曲线关于对称，
因为，所以，所以，
其中展开式的通项为，
令，解得，所以，
即展开式的常数项为60；
故答案为：D
4．（2022·眉山模拟）展开式中的系数为-20，则（　　）
A．2 B．1 C．3 D．
【答案】A
【解析】的展开式通项公式为，故，记得，
故答案为：A
5．（2022·怀化模拟）二项式的展开式中的常数项是（　　）
A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项
【答案】C
【解析】二项式的展开式通项为，
令，解得.
因此，二项式的展开式中的常数项是第9项.
故答案为：C.
6．（2022·周至模拟）在展开式中，下列说法错误的是（　　）
A．常数项为-160 B．第5项的系数最大
C．第4项的二项式系数最大 D．所有项的系数和为1
【答案】B
【解析】展开式的通项为，
由，得，所以常数项为，A符合题意；
由通项公式可得为偶数时，系数才有可能取到最大值，
由，可知第3项的系数最大，B不符合题意；
展开式共有项，所以第项二项式系数最大，C符合题意；
令，得，所有项的系数和为1，D符合题意；
故答案为：B.
7．（2022·西安模拟）已知随机变量，且，则二项式的展开式中有理项的个数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】由题可知，x轴上，0和a关于1对称，a＝2；
的通项为，
当时，为有理项.
故答案为：B.
8．（2022·临沂二模）已知 的展开式中各项系数的和为-3，则该展开式中 的系数为（　　）
A．-120 B．-40 C．40 D．120
【答案】A
【解析】在二项式 中，令 ，可得 ，解得 ，
的展开式通项为 ，
因为 ，
在 ，令 ，可得 ，
在 中，令 ，可得 ，
因此，展开式中 的系数为 .
故答案为：A.
9．（2022·吉林模拟）对于的展开式，下列说法不正确的是（　　）
A．有理项共5项
B．二项式系数和为512
C．二项式系数最大的项是第4项和第5项
D．各项系数和为-1
【答案】C
【解析】的展开式的通项公式为
，
当时，展开式的项为有理项，
所以有理项有5项，A正确，不符合题意；
所有项的二项式系数和为，B正确，不符合题意；
因为二项式的展开式共有10项，
所以二项式系数最大的项为第5项和第6项，C错误，符合题意；
令，所有项的系数和为，D正确，不符合题意.
故答案为：C
10．（2022·江阴模拟）二项式的展开式中，含项的二项式系数为（　　）
A．84 B．56 C．35 D．21
【答案】B
【解析】解：因为二项式为，
所以其展开式中，含项的二项式系数为：
，
，
，
，
，
.
故答案为：B
二、填空题
11．（2022·西安模拟）已知是的展开式中的某一项，则实数的值为　 　.
【答案】±2
【解析】解：因为＝ ，
令，得，
所以，即，解得.
故答案为：±2.
12．（2022·长春模拟）展开式中的常数项是　 　.
【答案】
【解析】通项为，令，得，
所以常数项为.
13．（2022·广东模拟）关于的因式的展开式中项的系数为-10，则常数项为　 　．
【答案】10
【解析】因为，
所以项为，
所以，，解得或，
又常数项为：，当时，常数项为；
当时，常数项为；
故答案为：10.
14．（2022·河南模拟）二项式展开式中，含的项的系数为　 　．
【答案】60
【解析】展开式的通项公式为
，
令，解得；
∴展开式中含项的系数为．
故答案为：60．
15．（2022·浙江模拟）已知关于、的二项式的展开式中，为正整数，若的系数为27，则　 　；若，，则展开式中所有项的二项式系数之和为　 　．
【答案】3；256
【解析】的展开式中，含的项为，
所以，，解得，
当，时，二项式为，二项式系数和为.
故答案为：3；256.
三、解答题
16．（2021高三上·德州月考）在 的展开式中，前3项的系数成等差数列.
（1）求展开式中含有 项的系数；
（2）求展开式中的有理项.
【答案】（1）解： 展开式的通项为 ，
∵前3项的系数成等差数列，且前三项系数为 ，
∴ ，即 ，可得 （舍去）或 .
二项式 展开式的通项为 .
令 ，得 ，故含有 项的系数为
（2）解：设展开式中第 项为有理项，则 ，则 时对应的项为有理项，
有理项分别为
【解析】（1）利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式为 ， 再利用通项公式结合等差中项公式，得出n的值，进而求出二项式 展开式的通项公式，从而求出展开式中含有 项的系数。
（2）利用已知条件结合有理数的定义，从而结合展开式中的通项公式，进而求出展开式中的有理项。17．已知 的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等，
（1）求 ，
（2）求展开式中 的一次项的系数.
【答案】（1）解：由第4项和第9项的二项式系数相等可得
解得
（2）解：由（1）知，展开式的第 项为：
令 得
此时
所以，展开式中 的一次项的系数为
【解析】（1）根据二项式系数相等列式求解n；（2）先求出展开式的通项，然后求解所求项的系数．
18．（2021高三上·杨浦期中）已知代数式 .
（1）当 ， 时，求二项展开式中二项式系数最大的项；
（2）若 ，且 ，求 的最大值.
【答案】（1）解：当 ， 时，二项展开式中，二项式系数最大为 ，
则该项为展开式中的第四项
（2）解：二项式 的通项为 ，
则由题知， ，
则 ， ，解得 ，
则 ，
则 ， ， ， ，
， ， ， ，
，
故 的最大值为
【解析】(1)由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中二项式系数最大的项；
(2)由展开式的通项及 ，即可求得m，先求得 ，依次求出，即可求出 的最大值.
19．（2021高三上·深圳月考）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
①第5项的系数与第3项的系数之比为5:2；
②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为36；
③ .
已知在 的展开式中， .
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中含 的项.
【答案】（1）解：若选①， 展开式通项公式为 ，
则第5项的系数为 ，第3项的系数为 ， ，解得： （舍）或 ；
若选②，第2项与倒数第3项的二项式系数分别为 和 ，
，解得： （舍）或 ；
若选③，由 得： ；
的展开式通项公式为 ；
当 时，若 取得最大值，则 ，即第5项的二项式系数最大，
展开式中二项式系数最大的项为
（2）解：令 ，解得： ，
展开式中含 的项为
【解析】 (1 )由题意利用，二项式系数的性质，求得n的值，再利用通项公式求得展开式中二项式系数最大的项；
(2)由题意利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中含 的项.
20．（2020·南通模拟）已知 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）解：令 得， ；令 得， .
于是 .
（2）解： ，
首先考虑
，
则 ，
因此 .
故
.
【解析】（1）利用赋值法进行求解，令 得， ；令 得， .从而可求结果.（2）根据二项式系数与 关系及组合数性质得到 ，然后累加可求 的值.

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