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苏教版（2019）高中数学一轮复习第23讲《抛物线》(解析版）
【知识梳理】
定义 标准方程 几何性质
范围 顶点 焦点 对称性 离心率
抛物线 平面内到一个定点和一条定直线（定点不在定直线）距离相等的点的轨迹是抛物线。 【焦点到准线的距离等于，，焦参数】 轴 【离心率是曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比】
轴
二、【真题再现】
1、（2022全国乙卷理）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（）
A. 2 B. C. 3 D.
2、（2022新高考1卷）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（）
A. C的准线为 B. 直线AB与C相切
C. D.
3、（2022新高考2卷）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（）
A. 直线的斜率为 B.
C. D.
4、（2022全国甲卷理）设抛物线焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
（1）求C的方程；
（2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
三、【考点精讲】
考点1 抛物线的定义
【例1-1】（2021北京卷）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴与于点.若，则点的横坐标为_______；的面积为_______．
【例1-2】（2021上海卷）已知抛物线y2＝2px（p＞0），若第一象限的A，B在抛物线上，
焦点为F，|AF|＝2，|BF|＝4，|AB|＝3，求直线AB的斜率为 　　．
【例1-3】（2021·全国高三（理））已知抛物线的准线为，点是抛物线上的动点，直线的方程为，过点分别作，垂足为，，垂足为，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 4
【变式1-2】（2021·全国高三专题练习（理））设抛物线：的焦点为，为坐标原点，是上一点.若，则（ ）
A． B．5 C． D．
【变式1-3】（2021·长春市基础教育研究中心（长春市基础教育质量监测中心）高三（文））已知是抛物线上的一动点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2021·深州长江中学）已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
考点2 抛物线的标准方程
【例2-1】（2021新高考1卷）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
【例2-3】（2021·四川内江·高三（理））已知直线：与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得（为坐标原点），则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2021·全国高三月考（文））抛物线上点到其准线的距离为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2021·湖南湘潭市·高三）已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【变式2-3】（2021·汕头市澄海中学）若抛物线上的点到焦点的距离是4，则抛物线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
考点3 直线与抛物线的位置关系
【例3-1】（2021·云南师大附中高三月考（理））已知抛物线，过点且斜率为的直线与交于，两点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（2）（2021·江西高三月考（文））给定抛物线，F是其焦点，直线，它与E相交于A，B两点，如果且，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2021·广东高三月考）已知直线过抛物线：的焦点，与抛物线交于，两点，且，，成等差数列，则直线的斜率（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2021·肥城市教学研究中心高三）设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线交于点，若，则直线的方程为___________.
【变式3-3】（2021·四川高三（理））已知AB，CD是过抛物线焦点F且互相垂直的两弦，则的值为__________.
考点4 弦长问题
【例4-1】（2021·黑龙江实验中学高三（文））已知抛物线的焦点为F，经过点F的直线与抛物线C交于A B两点，若AB的中点为，则线段AB的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．4或5
【例4-2】（2021·全国高三开学考试（理））已知点F为抛物线的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若，则（ ）
A．9 B． C． D．
【例4-3】如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.
【变式4-1】（2021·云南玉溪·高三月考（理））已知直线过抛物线：的焦点，并交抛物线于，两点，，则弦中点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．1
【变式4-2】（2021·河南高三（文））抛物线：的焦点为，过点且平行于轴的直线与线段的中垂线交于点，若点在抛物线上，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【变式4-3】（2021·河北高三月考）已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
考点5 抛物线的综合运用
【例5-1】（2021·广东）设为坐标原点，过拋物线的焦点的直线交拋物线于两点，为线段的中点，则（ ）
A．以线段为直径的圆与直线相切
B．
C．当时，
D．三角形的面积最小值为4
【例5-2】（2021全国乙卷文）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
【例5-3】（2021全国甲卷理）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
【变式5-1】（2021·辽宁朝阳·高三）抛物线（）的焦点为，过与轴垂直的直线交于点，，有下列四个命题：
甲：点坐标为；
乙：抛物线的准线方程为；
丙：线段长为4；
丁：直线与抛物线相切．
如果只有一个命题是假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式5-2】（2021·陕西宝鸡·高三（理））抛物线的焦点为F，设是抛物线上的两点，，则∠AFB的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2021全国乙卷理）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．苏教版（2019）高中数学一轮复习第23讲《抛物线》(解析版）
【知识梳理】
定义 标准方程 几何性质
范围 顶点 焦点 对称性 离心率
抛物线 平面内到一个定点和一条定直线（定点不在定直线）距离相等的点的轨迹是抛物线。 【焦点到准线的距离等于，，焦参数】 轴 【离心率是曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比】
轴
二、【真题再现】
1、（2022全国乙卷理）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（）
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
2、（2022新高考1卷）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（）
A. C的准线为 B. 直线AB与C相切
C. D.
【答案】BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
3、（2022新高考2卷）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（）
A. 直线的斜率为 B.
C. D.
【答案】ACD
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】
对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，又，则，D正确。故选：ACD.
4、（2022全国甲卷理）设抛物线焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
（1）求C的方程；
（2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；
（2）设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，由韦达定理可解.
【小问1详解】
抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，
所以抛物线C的方程为；
小问2详解】
设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，所以又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，
所以，若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线，代入抛物线方程可得，
，所以，所以直线
三、【考点精讲】
考点1 抛物线的定义
【例1-1】（2021北京卷）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴与于点.若，则点的横坐标为_______；的面积为_______．
【答案】 ①. 5 ②.
【分析】根据焦半径公式可求的横坐标，求出纵坐标后可求.
【详解】因为抛物线的方程为，故且.
因为，，解得，故，
所以，
故答案为：5；.
【例1-2】（2021上海卷）已知抛物线y2＝2px（p＞0），若第一象限的A，B在抛物线上，
焦点为F，|AF|＝2，|BF|＝4，|AB|＝3，求直线AB的斜率为 　　．
【分析】将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，根据已知条件结合斜率的定义，求出直线AB的斜率即可．
【解答】解：如图所示，设抛物线的准线为l，作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，AE⊥BD于点E，
由抛物线的定义，可得AC＝AF＝2，BD＝BF＝4，
∴，
∴直线AB的斜率．
故答案为：．
【例1-3】（2021·全国高三（理））已知抛物线的准线为，点是抛物线上的动点，直线的方程为，过点分别作，垂足为，，垂足为，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令抛物线的焦点为F，则，连接PF，如图，
因是抛物线的准线，点是抛物线上的动点，且于，于是得，
点到直线：的距离，
又于，显然点P在点F与N之间，于是有，当且仅当F，P，N三点共线时取“=”，所以的最小值为.
故选：B
【变式1-1】抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去)
故选：B.
【变式1-2】（2021·全国高三专题练习（理））设抛物线：的焦点为，为坐标原点，是上一点.若，则（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【解析】由可得，准线为，
设，因为，由抛物线的定义得，解得：，所以，
所以，
故选：A.
【变式1-3】（2021·长春市基础教育研究中心（长春市基础教育质量监测中心）高三（文））已知是抛物线上的一动点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
过作垂直准线，为垂足，，所以
（当且仅当纵坐标相等时取等号）故选：C
【变式1-4】（2021·深州长江中学）已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】依题意，抛物线的准线方程为，而是其焦点，
设，，由抛物线定义得：，
于是得，则线段的中点的纵坐标为，
所以的中点到准线的距离为.
故选：C
考点2 抛物线的标准方程
【例2-1】（2021新高考1卷）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
【答案】
【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,不妨设,因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，因为，所以,，所以的准线方程为
故答案为：.
【例2-3】（2021·四川内江·高三（理））已知直线：与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得（为坐标原点），则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，联立方程组，整理得，
则，可得，
由点为的中点，所以
设，因为，可得，
又由点在抛物线上，可得，
即，解得或（舍去），
所以抛物线的标准方程为.
故选：B.
【变式2-1】（2021·全国高三月考（文））抛物线上点到其准线的距离为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】抛物线即，可得准线方程，
因为到其准线的距离为1，
所以，解得，故选：.
【变式2-2】（2021·湖南湘潭市·高三）已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【解析】设为，则，
又由，所以，
因为，所以，可得，
由，联立方程组，消去，可得，所以，故，
又由，所以，即，解得或，
所以的方程为或．故选：A．
【变式2-3】（2021·汕头市澄海中学）若抛物线上的点到焦点的距离是4，则抛物线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题得抛物线的准线方程为
到准线的距离等于它到焦点的距离，则，所以，
故抛物线方程为，
故选：B．
考点3 直线与抛物线的位置关系
【例3-1】（2021·云南师大附中高三月考（理））已知抛物线，过点且斜率为的直线与交于，两点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直线，由得，设，，则有，又，所以，则，
于是，且k>0，进一步得.故选：B．
【例3-2】（2）（2021·江西高三月考（文））给定抛物线，F是其焦点，直线，它与E相交于A，B两点，如果且，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线与抛物线方程联立得：，
因为直线与抛物线相交于A，B两点，所以，设，
因此有，且，
由，代入中得：
且，解得：，
函数在时单调递减，所以，因此，
所以或，故选：C
【变式3-1】（2021·广东高三月考）已知直线过抛物线：的焦点，与抛物线交于，两点，且，，成等差数列，则直线的斜率（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可得直线的斜率存在.因为抛物线：的焦点，所以直线的方程可设为，与抛物线方程联立得：，设，
因此，
因为，，成等差数列，所以，
于是有，化简得：，而，所以解得：
或（舍去），因为，所以，
解得，
故选：D
【变式3-2】（2021·肥城市教学研究中心高三）设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线交于点，若，则直线的方程为___________.
【答案】
【解析】因为抛物线方程为，所以焦点，准线.
设，直线方程为，
代入抛物线方程消去，得，
所以.
又过的中点作准线的垂线与抛物线交于点，
设，可得，
因为，
所以，
得到，所以.
因为，所以，解之得，
所以，直线方程为，即.
故答案为：.
【变式3-3】（2021·四川高三（理））已知AB，CD是过抛物线焦点F且互相垂直的两弦，则的值为__________.
【答案】
【解析】由题设，直线、的斜率一定存在，
设为，，，联立抛物线方程，可得且，
∴，，而，，
∴，
由，设为，，，联立抛物线，可得，同理有，，
∴，
综上，.
故答案为：.
考点4 弦长问题
【例4-1】（2021·黑龙江实验中学高三（文））已知抛物线的焦点为F，经过点F的直线与抛物线C交于A B两点，若AB的中点为，则线段AB的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．4或5
【答案】D
【解析】设，
因为中点坐标为，可得，，
因为直线AB过焦点，可设直线AB方程为，
联立直线AB与抛物线方程，整理得，则，
因为均为抛物线上的点，可得，
两式相加得，
即，解得或，
因为，可得或.
故选：D.
【例4-2】（2021·全国高三开学考试（理））已知点F为抛物线的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若，则（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为焦点，设直线l的方程为，代入抛物线方程，得．设，，由韦达定理得．因为，所以，所以．解得，或，，所以，，所以．
故选D．
【例4-3】如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出值后可求抛物线的方程.
（2）方法一：设，，，联立直线的方程和抛物线的方程后可得，求出直线的方程，联立各直线方程可求出，根据题设条件可得，从而可求的范围.
【详解】（1）因为，故，故抛物线的方程为：.
（2）[方法一]：通式通法
设，，，
所以直线，由题设可得且.
由可得，故，
因为，故，故.
又，由可得，
同理，
由可得，所以，
整理得到，
故，令，则且，
故，
故即，解得或或.
故直线在轴上截距的范围为或或.
[方法二]：利用焦点弦性质
设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，由题设可得且．由得，所以．
因为，
，．
由得．同理．
由得．因为，
所以即．
故．
令，则．
所以，解得或或．
故直线在x轴上的截距的范围为．
[方法三]【最优解】：
设，
由三点共线得，即．
所以直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．
设直线的方程为，
则．
所以．
故（其中）．所以．
因此直线在x轴上的截距为．
【变式4-1】（2021·云南玉溪·高三月考（理））已知直线过抛物线：的焦点，并交抛物线于，两点，，则弦中点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】如图，由题意可得抛物线的准线的方程为，
过点作抛物线准线的垂线于，过分别作于点，于点，则，
因为弦的中点为，
所以，
所以点的横坐标是，
故选：C
【变式4-2】（2021·河南高三（文））抛物线：的焦点为，过点且平行于轴的直线与线段的中垂线交于点，若点在抛物线上，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【解析】若点在抛物线外部，如下图，设线段的中点为，
因为线段的中垂线是，所以，
由抛物线定义，又等于点到准线的距离，而图中，
所以点不在抛物线外部；
若点在抛物线内部，如下图，
设线段的中点为，，，
因为线段的中垂线是，所以，
再由抛物线定义得，解得或，
所以时，，
时，，
故选：A.
【变式4-3】（2021·河北高三月考）已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】焦点，设直线为，代入抛物线方程得.
设，由韦达定理得：①.
由，即，有②
∴由①②得：或，即，
，化简得，
或（舍）.
故选：B.
考点5 抛物线的综合运用
【例5-1】（2021·广东）设为坐标原点，过拋物线的焦点的直线交拋物线于两点，为线段的中点，则（ ）
A．以线段为直径的圆与直线相切
B．
C．当时，
D．三角形的面积最小值为4
【答案】C
【解析】由题意，设直线方程为，代入抛物线方程得，
所以，
所以，所以，
，
A．以线段为直径的圆的圆心到直线距离为，圆与直线相离，A错；
B．，B错；
C．时，，又，，两式联立解得，所以，C正确；
D．
，D错．
故选：C．
【例5-2】（2021全国乙卷文）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值为.
【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；
（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.
【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，
所以该抛物线的方程为；
（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法
设，则，
所以，
由在抛物线上可得，即，
据此整理可得点的轨迹方程为，
所以直线的斜率，
当时，；
当时，，
当时，因为，
此时，当且仅当，即时，等号成立；
当时，；
综上，直线的斜率的最大值为.
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一得到点Q的轨迹方程为．
设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一得点Q的轨迹方程为．
设直线的斜率为k，则．
令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．
[方法四]：参数+基本不等式法
由题可设．
因为，所以．
于是，所以
则直线的斜率为．
当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．
【例5-3】（2021全国甲卷理）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析
【分析】（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论；
（2）方法一：先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论.
【详解】（1）依题意设抛物线，
，
所以抛物线的方程为，与相切，所以半径为，
所以的方程为；
（2）[方法一]：设
若斜率不存在，则方程为或，
若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的另一条直线方程为，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；
若方程为，根据对称性不妨设则过与圆相切的直线为，又，
，此时直线关于轴对称，所以直线与圆相切；
若直线斜率均存在，则，
所以直线方程为，整理得，
同理直线的方程为，直线的方程为，与圆相切，
整理得，与圆相切，同理所以为方程的两根，
，到直线的距离为：
，
所以直线与圆相切；
综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.
[方法二]【最优解】：设．
当时，同解法1．
当时，直线的方程为，即．
由直线与相切得，化简得，
同理，由直线与相切得．
因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为．
所以直线与相切．
综上所述，若直线与相切，则直线与相切．
【变式5-1】（2021·辽宁朝阳·高三）抛物线（）的焦点为，过与轴垂直的直线交于点，，有下列四个命题：
甲：点坐标为；
乙：抛物线的准线方程为；
丙：线段长为4；
丁：直线与抛物线相切．
如果只有一个命题是假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【解析】抛物线（）的焦点坐标为，
若，则，，甲正确；抛物线的准线方程为，乙错误；
抛物线的通径为，丙正确；抛物线方程为，与联立，可得，即，可得直线与抛物线相切于，丁正确．
若，则，可得，甲错误；准线方程为，乙正确；
抛物线的通径为，丙错误，不合题意．故，甲、丙、丁正确，乙错误．
故选：B．
【变式5-2】（2021·陕西宝鸡·高三（理））抛物线的焦点为F，设是抛物线上的两点，，则∠AFB的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】已知抛物线，所以，，结合抛物线定义得|AF|+|BF|＝x1+x2+p，|AF|+|BF|＝|AB|．
在△AFB中，由余弦定理得：cos∠AFB＝＝.
又|AB|=|AF|+|BF|（当且仅当取等号） 2|AF| |BF||AB|2．
所以cos∠AFB，，∠AFB的最大值为.
故选：B.
【变式5-3】（2021全国乙卷理）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于的等式，即可解出的值；
（2）设点、、，利用导数求出直线、，进一步可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得面积的最大值.
【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值
由题意知，，设圆M上的点，则．
所以．
从而有．
因为，所以当时，．
又，解之得，因此．
[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值
抛物线的焦点为，，
所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；
（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法
抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以，点A、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，，
点到直线的距离为，
所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.
[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值
同方法一得到．
过P作y轴的平行线交于Q，则．
．
P点圆M上，则
．
故当时的面积最大，最大值为．
[方法三]：直接设直线AB方程法
设切点A，B的坐标分别为，．
设，联立和抛物线C的方程得整理得．
判别式，即，且．
抛物线C的方程为，即，有．
则，整理得，同理可得．
联立方程可得点P的坐标为，即．
将点P的坐标代入圆M的方程，得，整理得．
由弦长公式得．点P到直线的距离为．
所以，
其中，即．当时，．

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