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<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题42 排列、组合
1．（2022·新高考Ⅱ卷）有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（　　）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【解析】因为丙丁相邻，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有 种排列方式；甲不在两端，则甲在三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有： 种不同的排列方式.
故答案为：B
2．（2021·全国甲卷）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(　　)
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】C
【解析】解： 3个1和2个0随机排成一行 一共有以下10种排法：
11100,11010,11001,10110,10101,10011,01110,01101,01011,00111
其中 2个0不相邻 共有6种，
所以所求概率为
1．排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列
组合 作为一组
2．排列数与组合数
(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号A表示．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号C表示．
3．排列数、组合数的公式及性质
公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，且m≤n)． (2)C＝＝ ＝(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C＝1.
性质 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C.
【常用结论】
解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排．
(2)合理分类与准确分步．
(3)排列、组合混合问题要先选后排．
(4)相邻问题捆绑处理．
(5)不相邻问题插空处理．
(6)定序问题倍缩法处理．
(7)分排问题直排处理．
(8)“小集团”排列问题先整体后局部．
(9)构造模型．
(10)正难则反，等价转化．
题型一　排列问题
1．(多选)17名同学站成两排，前排7人，后排10人，则不同站法的种数为(　　)
A．AA B．AA C．A＋A D．A
【答案】BD
【解析】17名同学中选7名全部排序站在前排有A种方法，剩下10名同学全排在后排有A种方法，根据乘法原理，共有AA种方法．将前后排视为一排，共有A种方法．
2．现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为(　　)
A．A·A B．A－A·A
C．A·A D．A－A
【答案】B
【解析】在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不全相邻的方法数，即A－A·A.
题型二　组合问题
【方法总结】组合问题常有以下两类题型变化
(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
3．两个三口之家(父母＋小孩)共6人去旅游，有红旗和大众两辆新能源汽车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为(　　)
A．48 B．50
C．98 D．68
【答案】A
【解析】6人乘坐的所有情况有CCA＋C＝15×2＋20＝50(种)，两个小孩单独乘坐一辆车的情况有C＝2(种)，由题意知两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为50－2＝48.
4．泉州洛阳桥，原名万安桥，桥长834米，宽7米，46个桥墩，47个桥孔，全都是由花岗岩筑成，素有“海内第一桥”之誉，是古代著名跨海梁式石构桥．北宋泉州太守蔡襄(今莆田市仙游县人，北宋名臣，书法家、文学家、茶学家)与卢锡共同主持历经七年建成，至今已有九百多年历史．现有一场划船比赛，选取相邻的12个桥孔作为比赛道口，有4艘参赛船只将从一字排开的12个桥孔划过，若为安全起见相邻两艘船都必须至少留有1个空桥孔间隔划过，12个桥孔头尾两侧桥孔也不过船，所有的船都必须从不同的桥孔划过，每个桥孔都只允许1艘船划过，则4艘船通过桥孔的不同方法共有 种(用数字作答)．
【答案】840
【解析】依题意相当于将8个相同的小球，放入5个盒子中，且每个盒子不空，则在8个小球中的7个空档插入4个板，分为5堆，则有C＝35(种)分法，即通过的桥孔组合有35种，再对4艘参赛船全排列有A＝24(种)排法，故共有CA＝35×24＝840(种)方法．
题型三　排列与组合的综合应用
【方法总结】
1、相邻、相间问题的解题策略
(1)要求相邻时，把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列．
(2)对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．
2、定序问题的处理策略
对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为n个，新插入的元素为m个，则排列数为.
3、解决分组分配问题的策略
(1)对于整体均分，分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.
5．某夜市的某排摊位上共有6个铺位，现有4家小吃类店铺，2家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为(　　)
A．AA B．AA
C．AA D．AA
【答案】D
【解析】先将4个小吃类店铺进行全排，再从这4个小吃类店铺的5个空位选2个进行排列，
故排出的摊位规划总个数为AA.
6．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，那么安排这6项工程不同的排法种数是 ．
【答案】120
【解析】六个元素进行排序，保证甲、乙、丙三个元素顺序不变，再加入三个元素进行排序，共＝120(种)．
7．数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有(　　)
A.A种 B．CCC34种
C.43种 D．CCC43种
【答案】B
【解析】方法一　首先将12名同学平均分成四组，有种分法，然后将这四组同学分配到四个不同的课题组，有A种分法，并在各组中选出1名组长，有34种选法，根据分步乘法计数原理，满足条件的不同分配方案有·A·34＝CCC34(种)．
方法二　根据题意可知，第一组分3名同学有C种分法，第二组分3名同学有C种分法，第三组分3名同学有C种分法，第四组分3名同学有C种分法．第一组选1名组长有3种选法，第二组选1名组长有3种选法，第三组选1名组长有3种选法，第四组选1名组长有3种选法．根据分步乘法计数原理可知，满足条件的不同分配方案有CCCC34种．
一、单选题
1．（2022·河南模拟）某晚会上需要安排4个歌舞类节目和2个语言类节目的演出顺序，要求语言类节目之间有且仅有2个歌舞类节目，则不同的演出方案的种数为（　　）．
A．72 B．96 C．120 D．144
【答案】D
【解析】第一步：全排列2个语言类的节目，共有种情况，
第二步：从4个歌舞类节目中选出2个节目放入2个语言类的节目之间，共有种情况，
第三步：再将排好的4个节目视为一个整体，与其余的两个歌舞节目全排列，
共有种情况，所以。
故答案为：D
2．（2022·焦作模拟）小张接到4项工作，要在下周一、周二、周三这3天中完成，每天至少完成1项，且周一只能完成其中1项工作，则不同的安排方式有（　　）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】C
【解析】先从4项工作中选1项安排在周一完成，再从剩下的工作中选2项安排在周二或周三，所以不同的安排方式有种。
故答案为：C
3．（2022·苏州模拟）举世瞩目的第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举办，某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往A、B、C、D四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，由于工作需要甲同学和乙同学不能去同一场馆，则所有不同的安排方法种数为（　　）
A．216 B．180 C．108 D．72
【答案】A
【解析】由题可得甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往A、B、C、D四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，共有不同的安排方法种，
其中甲同学和乙同学去同一场馆的安排方法种数为，
故甲同学和乙同学不去同一场馆，所有不同的安排方法种数为.
故答案为：A.
4．（2022·江苏模拟）八音是中国古代对乐器的总称，指金 石 土 革 丝 木 匏 竹八类，每类又包括若干种乐器.现有土 丝 竹三类乐器，其中土有缶 埙2种乐器；丝有琴 瑟 筑 琵琶4种乐器；竹有箫 笛 笼3种乐器.现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲 乙 丙三位同学演奏，则不同的分配方案有（　　）
A．24种 B．72种 C．144种 D．288种
【答案】C
【解析】从这三类乐器中各选1种乐器的选法有（种），将3种乐器分配给甲 乙 丙三位同学演奏的方法有（种），因此不同的分配方案共有（种）。
故答案为：C.
5．（2022·遵义模拟）贵州等七省份宣布从2021年秋季入学高一新生开始进入“”的新高考模式，2024年起高考不分文理新高考“”模式指的是，“3”即语文、数学、外语3门统一高考科目；“1”和“2”为选择性考试科目，其中“1”是从物理或历史科目中选择1门；“2”是从思想政治、地理、化学、生物学中选择2门．则新高考模式的不同组合有（　　）
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
【答案】A
【解析】第一步：从物理或历史科目中选择1门的取法2种，
第二步：从思想政治、地理、化学、生物学中选择2门有种，所以新高考模式的不同组合共有.
故答案为：A
6．（2022·齐齐哈尔模拟）近日，上海疫情形势严峻，市疾控中心在我市四家三甲医院选派多名医护人员支援上海，抗击疫情．其中，需要医生8名，现要求每所医院至少抽调一名医生，则不同的名额分配方法种数为（　　）
A．36 B．35 C．32 D．30
【答案】B
【解析】将8个元素站成一排，一共产生了9个空，去掉两端的空，现在7个空中插入3个挡板，共有放置方法为。
故答案为：B．
7．（2022·浙江模拟）某商场举行抽奖活动，箱子里有10个大小一样的小球，其中红色的3个，黄色的3个，蓝色的4个，现从中任意取出3个，则其中至少含有两种不同的颜色的小球的取法共有（　　）
A．96种 B．108种 C．114种 D．118种
【答案】C
【解析】至少含有两种不同的颜色的小球等价于从10个球中任意取出3个减去3个是同色的情况，即，
故答案为：C.
8．（2022·义乌模拟）已知集合，，从集合A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成无重复数字且比5000大的自然数共有（　　）
A．180 B．300 C．468 D．564
【答案】B
【解析】若从集合A中取出元素4，则4不能作千位上的数字，有个满足题意的自然数
若不从集合A中取出元素4，则有个满足题意的自然数；
所以，满足题意的自然数共有个.
故答案为：：B.
9．（2022·汕头模拟）2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（　　）
A．36 B．24 C．18 D．42
【答案】A
【解析】第一步从3名男志愿者和2名女志愿者各选一名志愿者去支援冰壶项目，选法共有种；
第二步从剩余的3人中选一人去支援花样滑冰，选法共有种；
第三步从剩余的2人中选一人去支援短道速滑，选法共有种；
依据分步乘法计数原理可知，不同的支援方法的种数是，
故答案为：A.
10．（2022·内江模拟）安排6名医生去甲、乙、丙3个单位做核酸检测，每个单位去2名医生，其中医生A去甲单位，医生B不去乙单位，则不同的选派方式共有（　　）
A．18种 B．12种 C．9种 D．6种
【答案】A
【解析】解：根据题意分2种情况讨论：
（1）B去甲单位，则A，B在一起，都去甲单位，将剩下4人分为2组，安排在乙、丙两个单位即可，有种安排方法；
（2）B不去甲单位，则B必去丙单位，在剩下4人中选出2人安排在乙单位，再将剩下2人分别安排到甲、丙，有种安排方法，
则有种安排方法，
故答案为：A
二、填空题
11．（2022·张家口模拟）用0，1，2，3组成无重复数字的三位数，这个三位数是偶数的概率为　 　.
【答案】
【解析】组成无重复数字的三位数共有个，当0做个位时有个，当2做个位时有个，故三位数是偶数的概率等于，
故答案为：
12．（2022·湖北模拟）“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”，“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中某时段更新了2篇文章和2个视频，一位学员准备学习这2篇文章和这2个视频，要求这2篇文章学习顺序不相邻，则不同的学法有　 　种．（用数字作答）
【答案】12
【解析】解：先将2个视频进行排序，再将2篇文章进行插空，
则共有种排法.
故答案为：12.
13．（2022·郑州模拟）党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”．为了响应报告精神，某师范大学6名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这6名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为　 　．
【答案】540
【解析】第一步将名毕业生分成组，且每组至少人，一共有3种分配方案，即1、1、4或1、2、3或2、2、2，其中1、1、4分配方式有种，1、2、3， 分配方式有种，2、2、2，分配方式有种，
第二步将分好的3组毕业生分配到3所乡村小学，其分法有种，
利用分步计数原理可知，分配方案的总数为。
故答案为：540。
14．（2022·温州模拟）勠力同心，共克时艰!近日，某地因出现新冠疫情被划分为“封控区”“管控区”和“防范区”，现有6位专家到这三个“区”进行一天的疫情指导工作，每个“区”半天安排一位专家，每位专家只安排半天的工作，其中专家甲只能安排在上午，专家乙不安排在“防范区”，则不同的安排方案一共有　 　种.（用数字作答）
【答案】240
【解析】甲安排在“防范区”上午时，则专家乙有4种可能，其余4位专家有种可能，，
甲不安排在“防范区”上午时，甲有2种可能，乙有3种可能，其余4位专家有种可能，，
所以共有种安排方案.
故答案为：240
15．（2022·上海市模拟）小明给朋友发拼手气红包，1毛钱分成三份（不定额数，每份是1分的正整数倍），若这三个红包被甲、乙、丙三位同学抢到，则甲同学抢到5分钱的概率为　 　．
【答案】
【解析】将1毛钱按10个1分排成一列，有9个空，
任选2个空插入隔板可将1毛钱分成三份的种数有种，
甲抢到5分钱，则乙丙抢到余下两份有共4种，
所以1毛钱分成三份，甲抢到5分钱的概率为，
故答案为：
三、解答题
16．盒子内有3个不同的黑球，5个不同的白球.
（1）从中取出3个黑球、4个白球排成一列且4个白球两两不相邻的排法有多少种？
（2）从中任取6个球且白球的个数不比黑球个数少的取法有多少种？
【答案】（1）解：首先从5个白球中取出4个进行排列，然后3个黑球插在中间三个空内，
则4个白球两两不相邻的排法有 种；
（2）解：从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有3类：1个黑球和5个白球、2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球，则共有 种取法.
【解析】（1）由题意先将白球选出4个进行排列，再用黑球插空即可得解；（2）由题意将满足要求的情况分为三种：1个黑球和5个白球、2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球，再结合分步乘法、组合的知识即可得解.
17．一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．
（1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
（3）前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？
（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示）
【答案】（1）解：把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法 ；
（2）解：选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为 ；
（3）解：5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有 ．
【解析】（1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列；（2）选两个唱歌节目排在首尾，还有3个节目在中间排列；（3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法．
18．（2022·汕头模拟）袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．
（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）用表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量的分布列和数学期望．
【答案】解：（I）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，
则．
（II）由题意所有可能的取值为：，，，.
；
；
；
．
所以随机变量的分布列为
1 2 3 4
随机变量的均值为
．
【解析】（1）利用已知条件结合组合数公式和古典概型求概率公式，进而得出取出的3个小球上的数字互不相同的概率。
（2）利用已知条件得出随机变量X的取值，再结合组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
19．（2022·湖南模拟）3名志愿者在10月1号至10月5号期间参加社区服务工作．
（1）若每名志愿者在这5天中任选一天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，求3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率；
（2）若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，记表示这3名志愿者在10月1号参加社区服务工作的人数，求随机变量的分布列．
【答案】（1）解：3名志愿者每人任选一天参加社区服务，共有53种不同的结果，这些结果出现的可能性都
相等．设“3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作”为事件A则该事件共包括不同的结果．
所以；
（2）解：的可能取值为0、1、2、3，
∴
0 1 2 3
【解析】（1）由题意知3名志愿者每人任选一天参加社区服务，共有 53种不同的结果，这些结果出现的可能性都相等满足条件的事件是3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作共包括不同的结果根据概率公式做出概率；
（2）表示这3名志愿者在10月1号参加社区服务工作的人数 ，可能取值 为0、1、2、3，类似第一问，写出分布列即可.
20．（2022·河南模拟）新高考按照“”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理四科中选择两科．某校为了解该校考生的选科情况，从首选科目为物理的考生中随机抽取12名（包含考生甲和考生乙）进行调查．假设考生选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响．
（1）求考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率．
（2）已知抽取的这12名考生中，女生有3名．从这12名考生中随机抽取3名，记X为抽取到的女生人数，求X的分布列与数学期望．
【答案】（1）解：考生甲选择了地理作为再选科目的概率是，
考生乙选择了地理作为再选科目的概率是，
所以考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率是；
（2）解：X为的可能取值为：0，1，2，3，
所以，
，
则X的分布列为：
X 0 1 2 3
p
.
【解析】（1）利用已知条件结合组合数公式和古典概型求概率公式以及独立事件乘法求概率公式，进而得出考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率。
（2）利用已知条件得出随机变量X的可能取值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题42 排列、组合
1．（2022·新高考Ⅱ卷）有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（　　）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
2．（2021·全国甲卷）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(　　)
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
1．排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列
组合 作为一组
2．排列数与组合数
(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号A表示．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号C表示．
3．排列数、组合数的公式及性质
公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，且m≤n)． (2)C＝＝ ＝(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C＝1.
性质 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C.
【常用结论】
解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排．
(2)合理分类与准确分步．
(3)排列、组合混合问题要先选后排．
(4)相邻问题捆绑处理．
(5)不相邻问题插空处理．
(6)定序问题倍缩法处理．
(7)分排问题直排处理．
(8)“小集团”排列问题先整体后局部．
(9)构造模型．
(10)正难则反，等价转化．
题型一　排列问题
1．(多选)17名同学站成两排，前排7人，后排10人，则不同站法的种数为(　　)
A．AA B．AA C．A＋A D．A
2．现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为(　　)
A．A·A B．A－A·A
C．A·A D．A－A
题型二　组合问题
【方法总结】组合问题常有以下两类题型变化
(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
3．两个三口之家(父母＋小孩)共6人去旅游，有红旗和大众两辆新能源汽车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为(　　)
A．48 B．50
C．98 D．68
4．泉州洛阳桥，原名万安桥，桥长834米，宽7米，46个桥墩，47个桥孔，全都是由花岗岩筑成，素有“海内第一桥”之誉，是古代著名跨海梁式石构桥．北宋泉州太守蔡襄(今莆田市仙游县人，北宋名臣，书法家、文学家、茶学家)与卢锡共同主持历经七年建成，至今已有九百多年历史．现有一场划船比赛，选取相邻的12个桥孔作为比赛道口，有4艘参赛船只将从一字排开的12个桥孔划过，若为安全起见相邻两艘船都必须至少留有1个空桥孔间隔划过，12个桥孔头尾两侧桥孔也不过船，所有的船都必须从不同的桥孔划过，每个桥孔都只允许1艘船划过，则4艘船通过桥孔的不同方法共有 种(用数字作答)．
题型三　排列与组合的综合应用
【方法总结】
1、相邻、相间问题的解题策略
(1)要求相邻时，把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列．
(2)对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．
2、定序问题的处理策略
对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为n个，新插入的元素为m个，则排列数为.
3、解决分组分配问题的策略
(1)对于整体均分，分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.
5．某夜市的某排摊位上共有6个铺位，现有4家小吃类店铺，2家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为(　　)
A．AA B．AA
C．AA D．AA
6．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，那么安排这6项工程不同的排法种数是 ．
7．数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有(　　)
A.A种 B．CCC34种
C.43种 D．CCC43种
一、单选题
1．（2022·河南模拟）某晚会上需要安排4个歌舞类节目和2个语言类节目的演出顺序，要求语言类节目之间有且仅有2个歌舞类节目，则不同的演出方案的种数为（　　）．
A．72 B．96 C．120 D．144
2．（2022·焦作模拟）小张接到4项工作，要在下周一、周二、周三这3天中完成，每天至少完成1项，且周一只能完成其中1项工作，则不同的安排方式有（　　）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
3．（2022·苏州模拟）举世瞩目的第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举办，某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往A、B、C、D四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，由于工作需要甲同学和乙同学不能去同一场馆，则所有不同的安排方法种数为（　　）
A．216 B．180 C．108 D．72
4．（2022·江苏模拟）八音是中国古代对乐器的总称，指金 石 土 革 丝 木 匏 竹八类，每类又包括若干种乐器.现有土 丝 竹三类乐器，其中土有缶 埙2种乐器；丝有琴 瑟 筑 琵琶4种乐器；竹有箫 笛 笼3种乐器.现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲 乙 丙三位同学演奏，则不同的分配方案有（　　）
A．24种 B．72种 C．144种 D．288种
5．（2022·遵义模拟）贵州等七省份宣布从2021年秋季入学高一新生开始进入“”的新高考模式，2024年起高考不分文理新高考“”模式指的是，“3”即语文、数学、外语3门统一高考科目；“1”和“2”为选择性考试科目，其中“1”是从物理或历史科目中选择1门；“2”是从思想政治、地理、化学、生物学中选择2门．则新高考模式的不同组合有（　　）
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
6．（2022·齐齐哈尔模拟）近日，上海疫情形势严峻，市疾控中心在我市四家三甲医院选派多名医护人员支援上海，抗击疫情．其中，需要医生8名，现要求每所医院至少抽调一名医生，则不同的名额分配方法种数为（　　）
A．36 B．35 C．32 D．30
7．（2022·浙江模拟）某商场举行抽奖活动，箱子里有10个大小一样的小球，其中红色的3个，黄色的3个，蓝色的4个，现从中任意取出3个，则其中至少含有两种不同的颜色的小球的取法共有（　　）
A．96种 B．108种 C．114种 D．118种
8．（2022·义乌模拟）已知集合，，从集合A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成无重复数字且比5000大的自然数共有（　　）
A．180 B．300 C．468 D．564
9．（2022·汕头模拟）2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（　　）
A．36 B．24 C．18 D．42
10．（2022·内江模拟）安排6名医生去甲、乙、丙3个单位做核酸检测，每个单位去2名医生，其中医生A去甲单位，医生B不去乙单位，则不同的选派方式共有（　　）
A．18种 B．12种 C．9种 D．6种
二、填空题
11．（2022·张家口模拟）用0，1，2，3组成无重复数字的三位数，这个三位数是偶数的概率为　 　.
12．（2022·湖北模拟）“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”，“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中某时段更新了2篇文章和2个视频，一位学员准备学习这2篇文章和这2个视频，要求这2篇文章学习顺序不相邻，则不同的学法有　 　种．（用数字作答）
13．（2022·郑州模拟）党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”．为了响应报告精神，某师范大学6名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这6名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为　 　．
14．（2022·温州模拟）勠力同心，共克时艰!近日，某地因出现新冠疫情被划分为“封控区”“管控区”和“防范区”，现有6位专家到这三个“区”进行一天的疫情指导工作，每个“区”半天安排一位专家，每位专家只安排半天的工作，其中专家甲只能安排在上午，专家乙不安排在“防范区”，则不同的安排方案一共有　 　种.（用数字作答）
15．（2022·上海市模拟）小明给朋友发拼手气红包，1毛钱分成三份（不定额数，每份是1分的正整数倍），若这三个红包被甲、乙、丙三位同学抢到，则甲同学抢到5分钱的概率为　 　．
三、解答题
16．盒子内有3个不同的黑球，5个不同的白球.
（1）从中取出3个黑球、4个白球排成一列且4个白球两两不相邻的排法有多少种？
（2）从中任取6个球且白球的个数不比黑球个数少的取法有多少种？
17．一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．
（1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
（3）前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？
（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示）
18．（2022·汕头模拟）袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．
（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）用表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量的分布列和数学期望．
19．（2022·湖南模拟）3名志愿者在10月1号至10月5号期间参加社区服务工作．
（1）若每名志愿者在这5天中任选一天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，求3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率；
（2）若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，记表示这3名志愿者在10月1号参加社区服务工作的人数，求随机变量的分布列．
20．（2022·河南模拟）新高考按照“”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理四科中选择两科．某校为了解该校考生的选科情况，从首选科目为物理的考生中随机抽取12名（包含考生甲和考生乙）进行调查．假设考生选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响．
（1）求考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率．
（2）已知抽取的这12名考生中，女生有3名．从这12名考生中随机抽取3名，记X为抽取到的女生人数，求X的分布列与数学期望．

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