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解析几何中的对称问题（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
解析几何中的对称问题
【知识点讲解】
1、解题方法
（1）点关于点对称：点 0, 0 关于点 , 的对称点为 ′ 2 0, 2 0 。
（2）点关于线对称：设点 , 关于直线 = + 的对称点为 ′ ′ ′0 0 , ,
′ 0 = 1，
′则有 0 可求出 ′ ， ′ 。（重点）
′+ ′0 = + 0 + ，
2 2
（3）线关于线对称：线上任意不同两点关于线对称
2、特殊情况
（1）点(x，y)关于直线 x＝a的对称点为(2a－x，y)，
关于直线 y＝b的对称点为(x,2b－y)；
（2）点(x，y)关于直线 y＝x的对称点为(y，x)，
关于直线 y＝－x的对称点为(－y，－x)（即反函数）
（3）点(x，y)关于直线 x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，
关于直线 x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)
（4）圆关于线对称是由于线过圆心。
3、解题导语
关于对称问题很可能即将成为解析几何给出条件的一种方式、可以与立体空间中拓展使用、
还可以与基本不等式相联系。所以对称问题是解一系列问题的敲门砖，要求学生掌握。
【例题讲解】
【例 1】点 ( 1,1)关于直线 x y 1 0的对称点是______.
听课笔记：
第 1 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint
解析几何中的对称问题（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
1
【跟踪训练 1】点 , 1 关于直线 l： x y 1 02 对称的点的坐标为_________.
独立试做：
【例 2】若直线 与 的图像关于直线 对称，则 _______．
听课笔记：
【跟踪训练 2】已知直线 l1：y 2x 3，直线 l2与 l1关于直线 y x对称，则直线 l2的斜率为______.
独立试做：
【例 3】圆 x2 y2 2x 1 0关于 x y 2 0对称的圆的方程是________.
听课笔记：
解题反思:
第 2 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint
解析几何中的对称问题（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
【对点训练】
一、填空题
1．已知点M ( 3, 2,1)关于 z轴的对称点是N，则 MN ___________

2．已知 A(1，2， 1)关于面 xOy的对称点为 B，C(1, 2, 1)，则 BC ___________
3．已知圆C : (x 1)2 ( y 2)2 4关于直线 l : x y m 0对称，则实数m __________．
4．圆 关于直线 对称，则 ab 的取值范围是
___________________.
5．点M 3,1 关于点N , 4 的对称点为D 5,7 ，则 ______.
6．点 A( 7,1)关于直线 l : 2x y 5 0对称点 A 的坐标是________．
7．已知直线 l： x y 1 0，点 A 3,0 ，则点A关于直线 l： x y 1 0的对称点为___________.
8．点 A(1,2)关于直线m : x y 1 0的对称点是_________.
9．原点关于 x 2y 1 0的对称点的坐标为_____．
10．点 P(3, 4)关于直线 x y 1的对称点的坐标是_____．
11．已知点P 2,1 ，Q a,b 关于直线 x y 1 0对称，则a b _________.
12．已知直线 l1 : 2x y 2 0 与 l2 : 4x by c 0关于点 P(1,0)对称，则b c ______.
13．点P 3,2,1 关于点Q 1,2, 3 的对称点M 的坐标为________．
第 3 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint
解析几何中的对称问题（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
14．若直线 与 的图像关于直线 对称，则 _______．
15．圆 x2 y2 4x 6y 1 0关于直线 ax by 8 0(a 0,b 0)
3 2
对称，则 的最小值是_____.
a b
16．点 (3,9)关于直线 x 3y 10 0对称的点的坐标是______．
17．若直线 l与直线2x y 2 0关于直线 x y 4 0对称，则 l的方程是__________．
18．求 A( 3,5)关于直线 l : 3x 4y 4 0对称的点的坐标___________.
19．原点关于直线 x y 2对称的点的坐标为______________
20．直线 x y 2 0关于直线 x - 2y + 2 = 0对称的直线方程是__________.
21．点 (1, 2)和 ( 1,m)关于 kx y 3 0对称，则m k __________．
1 2
22．圆 x2 y2 2x 4y 1 0关于直线 ax by 3 0(a 0，b 0)对称，则 的最小值是__________.
a b
第 4 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint解析几何中的对称问题
【知识点讲解】
1、解题方法
（1）点关于点对称：点 关于点 的对称点为 。
（2）点关于线对称：设点 关于直线 的对称点为 ,
则有 可求出 ， 。（重点）
（3）线关于线对称：线上任意不同两点关于线对称
2、特殊情况
（1）点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，
关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)；
（2）点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，
关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)（即反函数）
（3）点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，
关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)
圆关于线对称是由于线过圆心。
3、解题导语
关于对称问题很可能即将成为解析几何给出条件的一种方式、可以与立体空间中拓展使用、还可以与基本不等式相联系。所以对称问题是解一系列问题的敲门砖，要求学生掌握。
【例题讲解】
【例1】点关于直线的对称点是______.
听课笔记：
【跟踪训练1】点关于直线：对称的点的坐标为_________.
独立试做：
【例2】若直线与的图像关于直线对称，则_______．
听课笔记：
【跟踪训练2】已知直线：，直线与关于直线对称，则直线的斜率为______.
独立试做：
【例3】圆关于对称的圆的方程是________.
听课笔记：
解题反思:
【对点训练】
一、填空题
1．已知点关于轴的对称点是，则___________
2．已知关于面的对称点为，，则___________
3．已知圆关于直线对称，则实数__________．
4．圆关于直线对称，则ab的取值范围是___________________.
5．点关于点的对称点为，则______.
6．点关于直线对称点的坐标是________．
7．已知直线：，点，则点关于直线：的对称点为___________.
8．点关于直线的对称点是_________.
9．原点关于的对称点的坐标为_____．
10．点关于直线的对称点的坐标是_____．
11．已知点，关于直线对称，则_________.
12．已知直线与关于点对称，则______.
13．点关于点的对称点的坐标为________．
14．若直线与的图像关于直线对称，则_______．
15．圆关于直线对称，则的最小值是_____.
16．点关于直线对称的点的坐标是______．
17．若直线与直线关于直线对称，则的方程是__________．
18．求关于直线对称的点的坐标___________.
19．原点关于直线对称的点的坐标为______________
20．直线关于直线对称的直线方程是__________.
21．点和关于对称，则__________．
22．圆关于直线对称，则的最小值是__________.解析几何中的对称问题
【知识点讲解】
1、解题方法
（1）点关于点对称：点 关于点 的对称点为 。
（2）点关于线对称：设点 关于直线 的对称点为 ,
则有 可求出 ， 。（重点）
（3）线关于线对称：线上任意不同两点关于线对称
2、特殊情况
（1）点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，
关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)；
（2）点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，
关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)（即反函数）
（3）点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，
关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)
圆关于线对称是由于线过圆心。
3、解题导语
关于对称问题很可能即将成为解析几何给出条件的一种方式、可以与立体空间中拓展使用、还可以与基本不等式相联系。所以对称问题是解一系列问题的敲门砖，要求学生掌握。
【例题讲解】
【例1】点关于直线的对称点是______.
【答案】
【详解】设点M（﹣1，1）关于直线l：x﹣y﹣1=0对称的点N的坐标（x，y）
则MN中点的坐标为（，），
利用对称的性质得：KMN==﹣1，且 ﹣﹣1=0，
解得：x=2，y=﹣2，
∴点N的坐标（2，﹣2），
故答案为（2，﹣2）．
【跟踪训练1】点关于直线：对称的点的坐标为_________.
【答案】
【详解】设点关于直线：对称的点的坐标为，
因为点与点的中点在上，
所以，即，
因为过点与点的直线与垂直，的斜率为，
所以，即，
联立，解得，，对称的点的坐标为，
【例2】若直线与的图像关于直线对称，则_______．
【答案】2
【详解】函数与的图象关于直线对称，则函数与互为反函数，由，得，∴的反函数为．则
【跟踪训练2】已知直线：，直线与关于直线对称，则直线的斜率为______.
【答案】
【详解】在上设点，关于直线对称点的坐标为，
直线与关于直线对称，，即，
直线的斜率为.
【跟踪训练3】圆关于对称的圆的方程是________.
【答案】.
【详解】
圆的标准方程为，圆心为，半径为.
关于对称的圆的半径不变，设对称圆的圆心为，
则，解得，
所求圆的标准方程为：.
故答案为：.
【对点训练】
一、填空题
1．已知点关于轴的对称点是，则___________
【答案】
【详解】根据空间直角坐标系的定义，可得点关于轴的对称点是，
可得.
2．已知关于面的对称点为，，则___________
【答案】.
【详解】关于面的对称点为.
由，得.
故答案为:.
3．已知圆关于直线对称，则实数__________．
【答案】
【详解】圆关于直线对称，
圆心在直线上，.
4．圆关于直线对称，则ab的取值范围是___________________.
【答案】
【详解】由题意知直线经过该圆的圆心，则有，则，又，则的取值范围是．
5．点关于点的对称点为，则______.
【答案】1
6．点关于直线对称点的坐标是________．
【答案】
【详解】
直线的斜率为，设，则线段的中点坐标为，直线的斜率为，由于关于直线的对称点是，所以
，解得.所以的坐标是.
故答案为：
7．已知直线：，点，则点关于直线：的对称点为___________.
【答案】（，4）
【详解】设点关于直线的对称点为，则这两点的中点为（，），
所以，解得，，
所以点关于直线的对称点为（，4）.
8．点关于直线的对称点是_________.
【答案】
【详解】
设对称点为，由题意可知，解得，所以对称点为.
9．原点关于的对称点的坐标为_____．
【答案】
【详解】设原点关于的对称点的坐标为，
则，解得．
要求的点()．
故答案为：．
10．点关于直线的对称点的坐标是_____．
【答案】
【详解】设关于直线的对称点坐标为
，解得：
本题正确结果：
11．已知点，关于直线对称，则_________.
【答案】
【详解】由题意，点，关于直线对称，
可得，解得，所以.
故答案为：.
12．已知直线与关于点对称，则______.
【答案】
【详解】
在直线上取点，，M，N关于点对称的点分别为.
点在直线上，
，解得，
.
13．点关于点的对称点的坐标为________．
【答案】
【详解】
设，因为的中点是，所以，解得：，所以.
14．若直线与的图像关于直线对称，则_______．
【答案】2
【详解】函数与的图象关于直线对称，则函数与互为反函数，由，得，∴的反函数为．则
15．圆关于直线对称，则的最小值是_____.
【答案】
【详解】解：由，得，所以圆心为，
因为圆关于直线对称，
所以直线过圆心，
所以，即，
所以，当且仅当，即时取等号，故答案为：3
16．点关于直线对称的点的坐标是______．
【答案】
【详解】
设点关于直线对称的点的坐标是，
则，解得，
所以点关于直线对称的点的坐标是.
故答案为：
17．若直线与直线关于直线对称，则的方程是__________．
【答案】
【详解】
设直线上任意一点为，则关于直线的对称点在直线上，由对称性可得，解得，代入直线可得，化简可得所求直线方程为，故答案为.
18．求关于直线对称的点的坐标___________.
【答案】
【详解】设对称点为，则，解得，
所以对称点坐标为，故答案为：．
19．原点关于直线对称的点的坐标为______________
【答案】
【详解】设原点（0，0）关于直线对称的点的坐标是（a，b），
则，解得a，b=2．
∴要求的对称的点的坐标是．
故答案为
20．直线关于直线对称的直线方程是__________.
【答案】
【详解】
因为直线与直线
所以联立直线方程可得,解方程组可得
即两条直线的交点的坐标为
在直线上取一个点,设关于直线的对称点为,由中点坐标公式及斜率关系可得
,解方程组可得
所以
则直线方程的斜率为
由点斜式可得直线的方程为
化简可得
即直线关于直线对称的直线方程为
故答案为:
21．点和关于对称，则__________．
【答案】5
【详解】由题意，点（1，2）和（﹣1，m）关于kx﹣y+3=0对称，
则点（，）在直线kx﹣y+3=0上，
可得：，解得m=4．
那么：点（1，2）和（﹣1，4）确定的直线的斜率为﹣1与kx﹣y+3=0垂直，
故得：k=1
则m+k=4+1=5，
故答案为5．
22．圆关于直线对称，则的最小值是__________.
【答案】
【详解】解：由已知得圆的圆心坐标为，半径为，
由于圆关于直线对称，
所以直线过圆心，
所以，，
所以，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故答案为：

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