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<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题45 离散型随机变量的分布列、均值与方差
1．（2020·新课标Ⅲ·理）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为 ，且 ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 ；
对于B选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 ；
对于C选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 ；
对于D选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 .
因此，B选项这一组的标准差最大.
故答案为：B.
2．（2019·浙江）设0＜a＜1随机变量X的分布列是
X 0 a 1
P
则当a在（0，1）内增大时（　　）
A．D（X）增大 B．D（X）减小
C．D（X）先增大后减小 D．D（X）先减小后增大
【答案】D
【解析】 解：E（X）= ，
，
根据二次函数的单调性，可知D（X）先减小后增大；
故答案为：D.
1．离散型随机变量的分布列
(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．
(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：
①pi≥0，i＝1,2，…，n；
②＝1.
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
2．两点分布
如果随机变量X的分布列为
X 0 1
P 1－p p
其中0其中p＝P(X＝1)，称为成功概率．
3．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．
4．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X).(a，b为常数)
5．超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝ (k＝0,1,2，…，m)，即
X 0 1 … m
P …
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
考点一 分布列的求法
【方法总结】离散型随机变量分布列的求解步骤
1．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．
【答案】(1)设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则
P(A)＝＝.
所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
X的分布列为
X 1 2 3 4
P
考点二 均值与方差
【方法总结】离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值．
(2)求ξ取每个值的概率．
(3)写出ξ的分布列．
(4)由均值的定义求E(ξ)．
(5)由方差的定义求D(ξ)．
2．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．
【答案】(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，
甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1－－＝，1－－＝.
两人都付0元的概率为P1＝×＝，
两人都付40元的概率为P2＝×＝，
两人都付80元的概率为P3＝×＝，
则两人所付费用相同的概率为
P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
(2)ξ的所有可能取值为0,40,80,120,160，则
P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝40)＝×＋×＝，
P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝120)＝×＋×＝，
P(ξ＝160)＝×＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 40 80 120 160
P
E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.
D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝.
考点三 超几何分布
【方法总结】(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：
①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
3．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列，并求E(X)．
【答案】(1)由已知，有P(A)＝＝.
所以事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
一、单选题
1．（2022·河南模拟）小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4，1小时10分到达的概率为0.3，1小时20分到达的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励为200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元.设小林最后获得的奖励为X元，则（　　）
A．176 B．182 C．184 D．186
【答案】B
【解析】依题意可得X的可能值为200，180，160.
，，，
X的分布列为
200 180 160
0.4 0.3 0.3
所以.
故答案为：B.
2．（2022·柯桥模拟）已知随机变量和的分布列如下图．
1 2 3 4
1 2 3 4
则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得：，
；
，
，
故，
故答案为：D
3．（2022·怀化模拟）已知的分布列如下表：
0 1 2
P ？ ! ？
其中，尽管“!”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此计算，下列各式中：①；②；③，正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】设“？”处的数据为则“!”处数据为 ，则，故
，
故答案为：：C
4．（2022·浙江模拟）设随机变量，满足：，，若，则（　　）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【解析】由于随机变量满足： ，，
，
解得：，即
，
又随机变量，满足：，
，
故答案为：C.
5．（2021·如皋模拟）已知随机变量 ，若 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为随机变量 ，则 .
故答案为：B.
6．（2022·浙江模拟）随机变量的分布列如下所示，其中，则下列说法中正确的是（　　）
-1 0 1
P
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据分布列可得：，
则，
因为，故，即．
令（）
则
当时，，单调递增；
当时，，单调递减
又因为
所以与大小无法确定
故答案为：D．
7．（2022·浙江模拟）已知，，是两两不相等的非负实数，随机变量的分布列是
则（　　）
A．无最小值，无最大值 B．无最小值，有最大值
C．有最小值，无最大值 D．有最小值，有最大值
【答案】A
【解析】由题， ，由概率性质得，，
（1）因为，，是两两不相等的非负实数，，不能取等号，即，故无最小值；
（2），故，但两两不相等，无法取等号，故无最大值；
故答案为：A
8．（2022·东阳模拟）甲乙两个盒子中有若干个大小相同的球，甲盒子中有4个红球和2个白球，乙盒子中有3个红球和1个白球，同时从甲乙盒子中各取出两个球，并进行交换，交换后，记乙盒中红球个数为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，取值为，
其中表示甲盒中取出2个白球且乙盒中取出2个红球，可得；
表示甲盒中取出2个白球且乙盒中取出1个红球和1个白球或者甲盒中取出1个红球和1个白球且乙盒中取2个红球，；
表示甲盒中取出数出1个红球和1个白球且乙盒中取出1个红球和1个白球或者甲盒中取出2个红球且乙盒中取出2个红球，；
表示甲盒中取出取出2个红球且乙盒中取出1个红球和1个白球，
，
所以.
故答案为：C.
9．（2022·上虞模拟）某听众打电话参加广播台猜商品名称节目，猜对每件商品的名称相互独立，猜对三件商品名称D，E，F的概率及猜对时获得相应的奖金如下表所示：
商品 D E F
猜对的概率 0.8 0.5 0.3
获得的金额/元 100 200 300
规则如下：只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品，你认为哪个答题顺序获得的奖金的均值最大（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A：按照的顺序获得的奖金的均值为
（元）
B：按照的顺序获得的奖金的均值为
（元）
C：按照的顺序获得的奖金的均值为
（元）
D：按照的顺序获得的奖金的均值为
（元）
综上，C的顺序所得的奖金的均值最大.
故答案为：C
10．（2022·滨海模拟）某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100].从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ，则ξ的数学期望为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由频率分布直方图知，3×0.006×10＋0.01×10＋0.054×10＋10x＝1，解得x＝0.018，∴成绩不低于80分的学生有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，成绩在90分以上(含90分)的学生有0.006×10×50＝3人．ξ的可能取值为0，1，2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝。
故答案为：B.
二、填空题
11．（2022·海宁模拟）在一次投篮训练中，甲同学每次投篮投中的概率为，乙和丙同学每次投篮投中的概率均为，每人各投1次，记为三人投中的总次数，则　 　；　 　．
【答案】；
【解析】，
，
，
故，
故答案为：
12．（2022·浙江模拟）随机变量的分布列如下表，其中．当　 　时，取最小值；当　 　时，有最小值．
1 2 3
p p
【答案】；
【解析】解：由题意可得，
故当时，取最小值；
，
因为对称轴方程为，，
故当时，取最小值.
故答案为：；.
13．（2022·南开模拟）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球．①先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则　 　；②从甲、乙两罐中分别随机各取出一球，则取到黑球的个数的数学期望为　 　．
【答案】；
【解析】，
设取得黑球的个数为，则可取，
又，，
，
故的分布列为：
0 1 2
故
故答案为：
14．（2022·河西模拟）某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为　 　；取出的3件产品中次品的件数的期望是　 　.
【答案】；
【解析】（1）从10件产品中，抽取3件，有种可能；
若取出的3件中恰有1件是次品，有种可能；
故满足题意的概率；
（2）根据题意，，
；；，
故.
故答案为：；.
15．（2022·天津市模拟）某志愿者召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃 训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是　 　；若用表示抽取的三人中女志愿者的人数，则　 　.
【答案】；
【解析】由题意三人全是男志愿者，即事件，，，，，
，
再记全是男志愿者为事件，至少有一名男志愿者为事件，
，，
．
故答案为：；．
三、解答题
16．（2022·全国甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【答案】（1） 解：设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为
P=
=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2
=0.16+0.16+ 0.24+0.04
=0.6.
（2）解：依题可知，X的可能取值为 ，所以，
，
，
，
.
即X的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
期望
【解析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知，X的可能取值为 ，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．
17．（2022·唐山模拟）某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：
游客投球目标为由近及远设置的A，B，C三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费10元，投进A桶，奖励游客面值20元的景区消费券；投进B桶，奖励游客面值60元的景区消费券；投进C桶，奖励游客面值90元的景区消费券；
投不进则没有奖励．游客各次投球是否投进相互独立．
（1）向A桶投球3次，每次投进的概率为p，记投进2次的概率为，求的最大值点；
（2）游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，若他投球一次，他应该选择向哪个桶投球更有利？说明理由．
【答案】（1）解：3次向A桶投球投进2次的概率．
．
令，得．
当时，；当时，．
∴在上单调递增，在单调递减，
∴所以的最大值点．
（2）解：由（1）得游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为．
设投进A桶的纯收入为X元，；
设投进B桶的纯收入为Y元，；
设投进C桶的纯收入为Z元，；
因为
所以游客甲选择向B桶投球更有利．
【解析】(1)根据题意由n次独立事件的概率公式，代入数值整理化简即可得出关于P的方程， 结合导数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性结合函数的极值即可求出函数的最值。
(2)首先由已知条件即可求出各自的概率值，然后由期望公式代入数值计算出结果，由此进行比较即可得出结论。
18．（2022·保定模拟）甲 乙两人进行一次乒乓球比赛，比赛最多打5个回合，先胜3回合者胜出且比赛结束.在每回合比赛中，先发球者获胜的概率为0.6，胜者获得下一回合先发球的资格.已知第1回合中，甲先发球.
（1）求比赛只进行了3回合的概率；
（2）设比赛共进行了X回合，求X的数学期望.
【答案】（1）解：因为比赛只进行了3回合，所以甲连胜3回合或乙连胜3回合，
故所求概率为.
（2）解：X的可能取值为3，4，5.
由（1）得，.
比赛进行4回合且甲胜出的情情形如下：甲负胜胜胜 胜负胜胜 胜胜负胜.
.
比赛进行4回合且乙胜出的情形如下：乙负胜胜胜 胜负胜胜 胜胜负胜.
.
.
，
故.
【解析】（1）由 只进行了3回合等价于甲连胜3回合或乙连胜3回合，即可求解；
（2）由题意可知X的可能取值为3，4，5. 求得每个取值对应概率，再由期望计算公式即可求解。
19．（2022·西安模拟）2021年12月，新冠疫情的严重反弹，扰乱了西安市民乃至陕西全省人民正常的生活秩序，各行各业的正常生产、运营受到严重影响，相关部门，为了尽快杜绝疫情的扩散，果断实施了小区封控、西安市区封城、市民足不出户等有效措施.2022年1月下旬小区相继解封.某销售商场为尽快弥补疫情带来的损失，推行高档电器“大屏幕电视机、冰箱和洗衣机”三种商品的抢购优惠促销活动.活动规则是：人人都可以参加三种商品的抢购，但每种商品只能抢购一次一件；优惠标准是：抢购成功者，大屏幕电视机优惠800元；冰箱优惠500元；洗衣机优惠300元，张某参加了这次抢购且三种商品都抢购，假设抢购成功与否相互独立，抢购三种商品成功的概率顺次为、、，已知这三种商品都能抢购成功的概率为，至少一种商品能抢购成功的概率为.
（1）①求、的值；
②求张某恰好抢购成功两种商品的概率.
（2）求张某抢购成功获得的优惠总金额的分布列和数学期望.
【答案】（1）解：①由题意得
即
解得：
②设“张某恰好抢购到两种商品”为事件.则抢购到大屏幕电视机和冰箱且没有抢购到洗衣机，或抢购到冰箱和洗衣机且没有抢购到大屏幕电视机，或抢购到大屏幕电视机和洗衣机且没有抢购到冰箱.
∴.
即张某抢购成功两种商品的概率为
（2）解：的可能取值为0，300，500，800，1100，1300，1600
，
，
，
，
，
，
∴张某抢购成功获得的优惠总金额的分布列为
0 300 500 800 1100 1300 1600
张某抢购成功获得的优惠总金额的数学期望为
（元）
【解析】（1）①根据题目条件列出方程组，求出，②设出事件，利用独立事件概率乘法公式和互斥事件加法公式计算出概率；
（2）求出的可能取值及对应的概率，得到分布列，计算出数学期望.
20．（2022·郑州模拟）据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中．
（1）若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；
（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求的范围．
【答案】（1）解：设该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，则；
该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，则．
（2）解：该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为，
依题意，，则，
该同学报考乙大学达到优秀科目的个数设为，随机变量的可能取值为：0，1，2，3．
，
，，
随机变量的分布列：
0 1 2 3
，
因为该考生更希望进入甲大学的面试，则，即，解得，
所以的范围为：.
【解析】（1）利用已知条件结合二项分布求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而分别得出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率。
（2） 该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为，依题意得出，再利用二项分布求数学期望公式得出随机变量X的数学期望；该同学报考乙大学达到优秀科目的个数设为，进而得出随机变量的可能取值，再结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出随机变量Y的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量Y的数学期望，再利用该考生更希望进入甲大学的面试，则，进而得出实数n的取值范围。<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题45 离散型随机变量的分布列、均值与方差
1．（2020·新课标Ⅲ·理）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为 ，且 ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2019·浙江）设0＜a＜1随机变量X的分布列是
X 0 a 1
P
则当a在（0，1）内增大时（　　）
A．D（X）增大 B．D（X）减小
C．D（X）先增大后减小 D．D（X）先减小后增大
1．离散型随机变量的分布列
(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．
(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：
①pi≥0，i＝1,2，…，n；
②＝1.
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
2．两点分布
如果随机变量X的分布列为
X 0 1
P 1－p p
其中0其中p＝P(X＝1)，称为成功概率．
3．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．
4．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X).(a，b为常数)
5．超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝ (k＝0,1,2，…，m)，即
X 0 1 … m
P …
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
考点一 分布列的求法
【方法总结】离散型随机变量分布列的求解步骤
1．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．
考点二 均值与方差
【方法总结】离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值．
(2)求ξ取每个值的概率．
(3)写出ξ的分布列．
(4)由均值的定义求E(ξ)．
(5)由方差的定义求D(ξ)．
2．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．
考点三 超几何分布
【方法总结】(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：
①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
3．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列，并求E(X)．
一、单选题
1．（2022·河南模拟）小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4，1小时10分到达的概率为0.3，1小时20分到达的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励为200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元.设小林最后获得的奖励为X元，则（　　）
A．176 B．182 C．184 D．186
2．（2022·柯桥模拟）已知随机变量和的分布列如下图．
1 2 3 4
1 2 3 4
则（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022·怀化模拟）已知的分布列如下表：
0 1 2
P ？ ! ？
其中，尽管“!”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此计算，下列各式中：①；②；③，正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2022·浙江模拟）设随机变量，满足：，，若，则（　　）
A．3 B． C．4 D．
5．（2021·如皋模拟）已知随机变量 ，若 ，则 （　　）
A． B． C． D．
6．（2022·浙江模拟）随机变量的分布列如下所示，其中，则下列说法中正确的是（　　）
-1 0 1
P
A． B．
C． D．
7．（2022·浙江模拟）已知，，是两两不相等的非负实数，随机变量的分布列是
则（　　）
A．无最小值，无最大值 B．无最小值，有最大值
C．有最小值，无最大值 D．有最小值，有最大值
8．（2022·东阳模拟）甲乙两个盒子中有若干个大小相同的球，甲盒子中有4个红球和2个白球，乙盒子中有3个红球和1个白球，同时从甲乙盒子中各取出两个球，并进行交换，交换后，记乙盒中红球个数为，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2022·上虞模拟）某听众打电话参加广播台猜商品名称节目，猜对每件商品的名称相互独立，猜对三件商品名称D，E，F的概率及猜对时获得相应的奖金如下表所示：
商品 D E F
猜对的概率 0.8 0.5 0.3
获得的金额/元 100 200 300
规则如下：只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品，你认为哪个答题顺序获得的奖金的均值最大（　　）
A． B． C． D．
10．（2022·滨海模拟）某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100].从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ，则ξ的数学期望为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·海宁模拟）在一次投篮训练中，甲同学每次投篮投中的概率为，乙和丙同学每次投篮投中的概率均为，每人各投1次，记为三人投中的总次数，则　 　；　 　．
12．（2022·浙江模拟）随机变量的分布列如下表，其中．当　 　时，取最小值；当　 　时，有最小值．
1 2 3
p p
13．（2022·南开模拟）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球．①先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则　 　；②从甲、乙两罐中分别随机各取出一球，则取到黑球的个数的数学期望为　 　．
14．（2022·河西模拟）某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为　 　；取出的3件产品中次品的件数的期望是　 　.
15．（2022·天津市模拟）某志愿者召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃 训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是　 　；若用表示抽取的三人中女志愿者的人数，则　 　.
三、解答题
16．（2022·全国甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
17．（2022·唐山模拟）某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：
游客投球目标为由近及远设置的A，B，C三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费10元，投进A桶，奖励游客面值20元的景区消费券；投进B桶，奖励游客面值60元的景区消费券；投进C桶，奖励游客面值90元的景区消费券；
投不进则没有奖励．游客各次投球是否投进相互独立．
（1）向A桶投球3次，每次投进的概率为p，记投进2次的概率为，求的最大值点；
（2）游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，若他投球一次，他应该选择向哪个桶投球更有利？说明理由．
18．（2022·保定模拟）甲 乙两人进行一次乒乓球比赛，比赛最多打5个回合，先胜3回合者胜出且比赛结束.在每回合比赛中，先发球者获胜的概率为0.6，胜者获得下一回合先发球的资格.已知第1回合中，甲先发球.
（1）求比赛只进行了3回合的概率；
（2）设比赛共进行了X回合，求X的数学期望.
19．（2022·西安模拟）2021年12月，新冠疫情的严重反弹，扰乱了西安市民乃至陕西全省人民正常的生活秩序，各行各业的正常生产、运营受到严重影响，相关部门，为了尽快杜绝疫情的扩散，果断实施了小区封控、西安市区封城、市民足不出户等有效措施.2022年1月下旬小区相继解封.某销售商场为尽快弥补疫情带来的损失，推行高档电器“大屏幕电视机、冰箱和洗衣机”三种商品的抢购优惠促销活动.活动规则是：人人都可以参加三种商品的抢购，但每种商品只能抢购一次一件；优惠标准是：抢购成功者，大屏幕电视机优惠800元；冰箱优惠500元；洗衣机优惠300元，张某参加了这次抢购且三种商品都抢购，假设抢购成功与否相互独立，抢购三种商品成功的概率顺次为、、，已知这三种商品都能抢购成功的概率为，至少一种商品能抢购成功的概率为.
（1）①求、的值；
②求张某恰好抢购成功两种商品的概率.
（2）求张某抢购成功获得的优惠总金额的分布列和数学期望.
20．（2022·郑州模拟）据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中．
（1）若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；
（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求的范围．

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