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<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题44 随机事件的概率与古典概型
1．（2022·全国甲卷）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：从6张卡片中无放回抽取2张，共有如下15种情况：
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，
其中数字之积为4的倍数的有其中数字之积为4的倍数的有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6种情况，
故概率为 .
故选：C.
2．（2022·新高考Ⅰ卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：由题意得，从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有 个不同的结果，其中不是互质的有（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（4，6），（4，8），（6，8），共7个结果，则这2个数互质的概率为 .
故选：D
1．概率和频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
2．事件的关系与运算
定义 符号表示
包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，则称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等关系 若B A且A B，则称事件A与事件B相等 A＝B
并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
互斥事件 A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝
对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝ 且P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1
3．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
4．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
5．古典概型的概率公式
P(A)＝.
考点一 随机事件
【方法总结】(1)判断互斥事件、对立事件一般用定义，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；若两个事件中有且仅有一个发生，则这两个事件互为对立事件．对立事件一定是互斥事件．
(2)概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率随着试验次数的增加越来越接近概率，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．
(3)求复杂互斥事件的概率的两种方法：①将所求事件转化成几个彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件概率的加法公式求解概率．②若将一个较复杂的事件转化为几个彼此互斥事件的和事件时分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑先求其对立事件的概率，即运用“正难则反”的思想．常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率．
命题点1　随机事件的关系
1．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是(　　)
A．恰好有1件次品和恰好有2件次品
B．至少有1件次品和全是次品
C．至少有1件正品和至少有1件次品
D．至少有1件次品和全是正品
【答案】A
【解析】依据互斥和对立事件的定义知，B，C都不是互斥事件；D不但是互斥事件而且是对立事件；只有A是互斥事件但不是对立事件．
命题点2　随机事件的频率与概率
2．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
【答案】(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为＝0.6.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900，
所以，利润Y的所有可能值为－100,300,900.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
命题点3　互斥事件与对立事件的概率
3．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)1张奖券的中奖概率；
(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
【答案】(1)设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C，
依题意，P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
因为A，B，C两两互斥，
所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝.
故1张奖券的中奖概率为.
(2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
考点二 古典概型
4．从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是________．
【答案】
【解析】从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换，基本事件总数为n＝C·C＝9，从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，第一次调换后的位置关系有三种：甲丙乙、乙甲丙、丙乙甲，第二次调换后甲在乙左边对应的关系有：丙甲乙、甲乙丙；丙甲乙、甲乙丙；甲乙丙、丙甲乙，∴经过两次这样的调换后，甲在乙左边包含的基本事件个数m＝6，∴经过这样的调换后，甲在乙左边的概率P＝＝＝.
考点三 古典概型与统计的综合应用
5．某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校本课程供学生选择(如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等)．现统计了某班50名学生一周用在兴趣爱好方面的学习时间(单位：h)的数据，按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分成五组，得到了如下的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中m的值及该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间；
(2)从[4,6)，[6,8)两组中按分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求恰有1人在[6,8)组中的概率．
【答案】(1)由频率分布直方图可得0.06×2＋0.08×2＋0.2×2＋2m＋0.06×2＝1，所以m＝0.1，
学生的平均学习时间为1×0.12＋3×0.16＋5×0.4＋7×0.2＋9×0.12＝5.08.
(2)由频率分布直方图可得，[4,6)中有20人，[6,8)中有10人，根据分层抽样，需要从[4,6)中抽取4人，分别记为A1，A2，A3，A4，从[6,8)中抽取2人，分别记为B1，B2，再从这6人中随机抽取2人，所有的抽取方法有A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A3A4，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，B1B2共15种，其中恰有一人在[6,8)组中的抽取方法有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2共8种，所以，从这6人中随机抽取2人，恰有1人在[6,8)组中的概率为.
一、单选题
1．（2022·西安模拟）甲、乙两人约定某日上午在地见面，若甲是7点到8点开始随机到达，乙是7点30分到8点30分随机到达，约定，先到者没有见到对方时等候10分钟，则甲、乙两人能见面的概率为（　　）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：从早上7点开始计时，设甲经过十分钟到达，乙经过十分钟到达，
则、满足，作出不等式组对应的平面区域，得到图中的正方形，
若甲乙能够见面，则、满足，
该不等式对应的平面区域是图中的四边形，
，
因此，甲乙能见面的概率
故答案为：B．
2．（2022·广州模拟）“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满80元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有5名顾客都领取一件礼品，则他们中恰有3人领取的礼品种类相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先考虑恰有3人领取的礼品种类相同的，先从5人中选取3人有种，再从三类礼品中领取一件有，
另外2人从剩下的2类礼品中任意选择有种，按照分步乘法计数原理可得种，
又总情况有种，故恰有3人领取的礼品种类相同的概率是.
故答案为：D.
3．（2022·潍坊模拟）某省新高考改革方案推行“”模式，要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、思想政治4门科目中任选2门．某学生各门功课均比较优异，因此决定按方案要求任意选择，则该生选考物理、生物和政治这3门科目的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设，该生选考物理、生物和政治这3门科目的概率.
故答案为：D
4．（2022·洛阳模拟）2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受吉祥物爱好者的喜爱，“冰墩墩”和“雪容融”将中国文化符号和冰雪运动完美融合，承载了新时代中国的形象和梦想.若某个吉祥物爱好者从装有3个“冰墩墩”和3个“雪容融”的6个盲盒的袋子中任取2个盲盒，则恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】记3个“冰墩墩”分别为a、b、c，3个“雪容融”分别为1、2、3；
从6个盲盒的袋子中任取2个盲盒有：ab，ac，a1，a2，a3，bc，b1，b2，b3，c1，c2，c3，12，13，23共15种情况；其中恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”包含a1，a2，a3， b1，b2，b3，c1，c2，c3共9种，
所以概率为： .
故答案为：C
5．（2022·扬州模拟）在一个长度为的数字序列中，当且仅当相邻元素差的绝对值经过排序后正好是从1到，则认定该数字序列存在“有趣的跳跃”如果一组数经过排序后存在“有趣的跳跃”，则称这组数为“有趣的跳跃数组”.例如，因为差的绝对值分别为2，1，所以存在“有趣的跳跃”，这组数为“有趣的跳跃数组”现从这六个数中一次任取3个数，则这3个数是“有趣的跳跃数组”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：6个数任取3个共有个，这3个数是“有趣的跳跃数组”有
共10个，
概率.
故答案为：C
6．（2022·广东模拟）甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】4月份日期为1号，2号，3号，，30号，甲工作的日期为1，2，4，5，7，8，10，11，…，28，29，乙工作的日期为1，2，3，5，6，7，9，10，11，，29，30，丙工作的日期为1，2，3，4，6，7，8，9，，28，29，在同一天工作的日期为1，2，7，11，13，14，17，19，22，23，26，29，所以三人在同一天工作的概率为．
故答案为：B.
7．（2022·马鞍山模拟）将5个0和3个1随机排成一行，则3个1不相邻的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：将5个0和3个1随机排成一行有种排法，其中3个1不相邻有种排法，
所以所求概率为，
故答案为：A.
8．（2022·河南模拟）古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式．”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，若两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则所有四位数的回文数中能被3整除的个数是（　　）
A．27 B．28 C．29 D．30
【答案】D
【解析】要能被3整除，则四个数的和是3的偶数倍数．满足条件的回文数分为以下几类：
和为6的回文数：1221，2112，3003， 3个．
和为12的回文数：3333，2442，4224，1551，5115，6006， 6个．
和为18的回文数：1881，8118，2772，7227，3663，6336，4554，5445，9009，9个．
和为24的回文数：3993，9339，4884，8448，5775，7557，6666，7个．
和为30的回文数：7887，8778，6996，9669，4个．
和为36的回文数：9999，1个．
故共有3+6+9+7+4+1＝30个．
故答案为：D
9．（2022·宜宾模拟）在新高考“”模式中，“3”是指语文、数学、外语3门科目必考，“1”是指从“首选科目”物理、历史2门中选考1门，“2”是指从“再选科目”思想政治、地理、化学、生物学4门中选考2门．若某同学在“首选科目”已选物理的情况下，从“再选科目”中随机选2门，其中有化学的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】基本事件总数 种
4门科中选2门包含化学的事件数有 种
选科中有化学的概率为
故答案为：D
10．（2022·日照模拟）已知王大爷养了5只鸡和3只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：5只鸡， 只兔子走出房门，共有 种不同的方案，
其中恰有2只兔子相邻走出房子的方案为：先排5只鸡，会产生6个空隙，再从3只兔子中选2只捆绑排列，最后与剩下的兔子排列到6个空隙中共有： 种方案，
故恰有2只兔子相邻走出房子的概率为： .
故答案为：D.
二、填空题
11．（2022·全国甲卷）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为　 　．
【答案】
【解析】解：从正方体的8个顶点中任取4个，有 个结果，这 个点在同一个平面的有m=6+6=12个，
故所求概率．
故答案为： ．
12．（2022·全国乙卷）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为　 　．
【答案】
【解析】从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为 ，所以甲、乙都入选的概率 .
故答案为：
13．（2022·浙江模拟）林锋家所在小区原本是开放式小区，停车难问题一直困扰着该小区居民.今年当地政府积极进行老小区改造，通过竭力协调将闲置的空间改造成了绿色车位，受到居民的广泛称赞，如今林锋家楼下原本堆满废墟的地方已经改造成了7个绿色车位.某天中午林锋家来了四位客人，这四位客人各自驾驶一辆车，其中三辆黑色，一辆白色.此时这7个车位恰好均未使用，于是这四辆车随机规范停入这7个车位.则恰好三辆黑色车相邻停放的概率为　 　；记剩余的3个空车位中相邻的车位数最大者为（若3个空车位均相邻则，若3个空车位有且仅有两个相邻则，若3个空车位均不相邻则），则的数学期望为　 　.
【答案】；
【解析】记“恰好三辆黑色车相邻停放”为事件M，则.
随机变量的取值为1，2，3，
则；；，
故.
故答案为：；.
14．（2022·滨州二模）某社区对在抗击疫情工作中表现突出的3位医生、2位护士和1位社区工作人员进行表彰并合影留念．现将这6人随机排成一排，则3位医生中有且只有2位相邻的概率为　 　．
【答案】
【解析】解：由题意，先将2位护士和1位社区工作人员排成一排，有 种排法，然后将3位医生分成两组，一组2人一组1人，有 种分组方法，然后插入到2位护士和1位社区工作人员所排成的4个空中的2个空，有 种插空方法，最后交换相邻2位医生的位置有 种方法，所以3位医生中有且只有2位相邻共有 种排法，又6人随机排成一排有 种排法，
所以所求概率为 ，
故答案为： .
15．（2022·徐汇二模）上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是　 　．（结果用最简分数表示）
【答案】
【解析】4个人分配到4个学校的情况总数为种，4个人恰好分配到4个学校的情况为种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是.
故答案为：.
三、解答题
16．（2022·沈阳模拟）某学校最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏班主任把8个小球（只是颜色有不同）放入一个袋子里，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个，现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分为获胜，否则为负．并规定如下：
①一个人摸球，另一人不摸球；
②摸出的球不放回；
③摸球的人先从袋子中摸出1球，若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，摸球人的得分为两次摸出的球的记分之和；
（1）若由甲摸球，如果甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率；
（2）若由乙摸球，如果乙先摸出了红色球，求该局乙得分的分布列和数学期望；
（3）有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由．
【答案】（1）解：记“甲第一次摸出了绿色球，甲获胜”为事件，
则；
（2）解：如果乙第一次摸出了红色球，则可以再从袋中摸出3个球，
则得分情况有6分，7分，8分，9分，10分，11分，
，，
，，
，，
所以的分布列为：
6 7 8 9 10 11
所以的数学期望；
（3）解：由（1）可知，若先摸出绿球，则摸球人获胜的概率，
由（2）可知，若先摸出红球，则摸球人获胜的概率，
若先摸出黄球，则摸球人获胜的概率，
若先摸出白球，则摸球人获胜的概率，
则摸球人获胜的概率为，
答案一：因为摸球人获胜的概率为，所以比赛不公平
答案二：如果指定由某人先摸球，则比赛不公平.
答案三：如果先摸球的人是在甲乙两人中随机等可能的产生，则这样的比赛是公平的.
（答案二、答案三和其他答案酌情给分）
【解析】(1)由已知条件结合排列组合以及计数原理，计算出结果，再由古典概率公式，代入数值计算出结果即可。
(2)根据题意即可得出的取值，再由概率的公式求出对应的的概率由此得到的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
(3)由已知条件把数值代入到相互独立事件的概率公式，利用概率的加法公式和古典概率公式，代入数值计算出结果，进行比较由此得出结论。
17．（2021·长春模拟）水立方、国家体育馆、五棵松体育馆、首都体育馆、国家速滑馆是2022冬奥会的比赛场馆. 现有8名大学生报名参加冬奥会志愿者比赛场馆服务培训，其中1人在水立方培训，3人在国家体育馆培训，4人在五棵松体育馆培训.
（1）若从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训，求所抽调的2人来自不同场馆的概率；
（2）若从中一次抽调3名大学生志愿者到首都体育馆培训，要求这3人中来自水立方的人数和来自国家体育馆的人数都不超过来自五棵松体育馆的人数. 设从五棵松抽出的人数为 ，求随机变量 的概率分布列及数学期望 .
【答案】（1）解：设 “从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆，所抽调2人来自不同场馆”，在8名大学生一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训，所有基本事件 种情况. 若2人都来自国家体育馆有 种情况，若2人都来自五棵松体育馆有 种情况，所以抽调的2人来自不同场馆的概率
（2）解：由题意 的所有可能取值为 .及来自五棵松体育馆的人数至少是1人，则满足题设条件的情况共有： 种.
当 时，只有一种情况水立方、国家体育馆、五棵松体育馆各抽1人，共 种，此 ；
当 时，水立方1人、五棵松体育馆2人或国家体育馆各1人，五棵松体育馆2人，共 =24种， ,
当 时，3人都来自于五棵松体育馆，共 种.
的分布列如下：
1 2 3
【解析】(1)由已知条件结合组合数公式计算出满足条件的事件的个数，再由概率公式以及概率的性质计算出结果即可。
(2)由题意即可求出的取值，再由概率公式计算出对应的的概率值，由此得出 的分布，再把数值代入到期望公式计算出结果即可。
18．（2022·吉林模拟）“学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台．“学习强国”中有“双人对战”和“四人赛”两项竞赛答题活动，活动规则如下：“双人对战”每日首局胜利积2分，失败积1分，每日仅首局得分；“四人赛”每日首局第一名积3分，第二、三名积2分，第四名积1分，第二局第一名积2分，其余名次积1分，每日仅前两局得分．已知周老师参加“双人对战”答题时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”答题（每日两局）时，第一局得3分、2分的概率分别为、，第二局得2分的概率为．周老师每天参加一局“双人对战”，两局“四人赛”，各局比赛互不影响．
（1）求周老师每天参加答题活动总得分为6分的概率；
（2）求周老师连续三天参加“双人对战”答题总得分的分布列和期望．
【答案】（1）解：设每天答题活动总得分为6分的事件为，
事件包含三种情况：
参加“双人对战”得2分，第一局“四人赛”得3分，第二局“四人赛”得1分，
概率为；
参加“双人对战”得2分，第一局“四人赛”得2分，第二局“四人赛”得2分，
概率为；
参加“双人对战”得1分，第一局“四人赛”得3分，第二局“四人赛”得2分，
概率为，
则，所以周老师每天答题活动总得分为6分的概率为
（2）解：连续三天参加“双人对战”答题总得分的可能取值为3、4、5、6，
，，
，，
所以，随机变量的分布列为：
3 4 5 6
则
【解析】(1)根据题意由概率的乘法以及加法公式结合题意，代入数值计算出答案即可。
(2)根据题意求出X的取值，再由概率公式计算出对应每个X的概率值，由此即可得出X 的分布列 ，并把数值代入到期望值公式计算出结果即可。
19．（2022·眉山模拟）新冠疫苗有三种类型：腺病毒载体疫苗 灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗.腺病毒载体疫苗只需要接种一针即可产生抗体，适合身体素质较好的青壮年，需要短时间内完成接种的人群，突发聚集性疫情的紧急预防.灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗安全性高，适合老 幼 哺 孕及有慢性基础病患者和免疫缺陷人群，灭活疫苗需要接种两次.重组蛋白亚单位新冠疫苗需要完成全程三针接种，接种第三针后，它的有效保护作用为90%，人体产生的抗体数量提升5-10倍，甚至更高（即接种疫苗第三针后，有90%的人员出现这种抗疫效果）.以下是截止2021年12月31日在某县域内接种新冠疫苗人次（单位：万人，忽略县外人员在本县接种情况）统计表：
腺病毒载体疫苗 灭活疫苗 重组蛋白亚单位疫苗
第一针 0.5 10 110
第二针 0 10 110
第三针 0 0 100
其中接种腺病毒载体疫苗的统计情况如下：
接种时间 接种原因 接种人次（单位：人）
3月 疫情突发 1500
6月 高考考务 1000
7月 抗洪救灾 2500
（1）遭遇3月疫情突发 服务6月高考考务 参加7月抗洪救灾的人都是不同的人.在已接种腺病毒载体疫苗的人员中随机抽取一名，求这个人参加了抗洪救灾的概率；
（2）在已接种灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗的人员中，用分层抽样的方法抽取12人，其中接种重组蛋白亚单位疫苗的人员是根据人体产生的抗体数量是否至少提升5-10倍为依据分层抽样抽取的，再从这12人随机抽取3人，这3人中，人体产生的抗体数量至少提升5-10倍的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）解：由表可知，截止2021年12月31日，该县接种腺病毒载体疫苗共5000人，其中参加抗洪的有2500人，设“在已接种腺病毒载体疫苗的人员中随机抽取一名，这个人参加了抗洪救灾”为事件，由题意得
，
所以这个人参加了抗洪救灾的概率；
（2）解：根据已知条件，截止2021年12月31日，该县接种新冠灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗的人员共120万，其中接种灭活疫苗的有10万人，接种重组蛋白亚单位疫苗的有110万人，所以用分层抽样的方法抽取12人中有1人接种灭活疫苗，11人接种重组蛋白亚单位疫苗，在接种重组蛋白亚单位疫苗人员中，只有10人接种了第三针，根据有效保护率，接种了第三针的10人中，只有9人体产生抗体的数量提升5-10倍.
由此可知可能的取值为，，，，
，，
，，
则的分布列为
0 1 2 3
所以.
【解析】（1）直接利用古典概型公式求解即可；
（2）分析已知条件可知 可能的取值为，，，，，并求出所对应的概率，列出分布列，最后利用期望公式求解即可.
20．（2022·内江模拟）2021年某省约有28万理科考生参加高考，除去成绩在630分及以上的8145人与成绩在430分以下的103600人，还有约16.81万理科考生的成绩集中在内，其成绩的频率分布如下表所示：
分数段
频率 0.23 0.25 0.24 0.18 0.10
（1）请估计该次高考理科考生成绩在内的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）若在分数段和的考生中采用分层抽样的方法抽取7名考生进行电话访问，再从被电话访问的7名考生中随机抽取3名考生进行问卷调查，求进行问卷调查的3名考生中至少有2名分数不低于550分的概率．
【答案】（1）解：该次高考理科考生成绩在内的平均分的估计值为
（2）解：分数段在和的考生人数的比值为，
∴按分层抽样方法在分数段的考生中应抽取名，
在分数段的考生中应抽取名，
在抽取的7名考生中再随机抽取3名进行问卷调查的情况种数，
进行问卷调查的3名考生中有3名分数不低于550分的情况种数，
进行问卷调查的3名考生中有2名分数不低于550分的情况种数，
∴进行问卷调查的3名考生中至少有2名分数不低于550分的概率.
【解析】(1)根据频率分布表计算平均数的方法，直接计算即可解出该次高考理科考生成绩在内的平均分 ；
(2)根据古典概型的概率计算公式，即可解出 3名考生中至少有2名分数不低于550分的概率．<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题44 随机事件的概率与古典概型
1．（2022·全国甲卷）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·新高考Ⅰ卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（　　）
A． B． C． D．
1．概率和频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
2．事件的关系与运算
定义 符号表示
包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，则称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等关系 若B A且A B，则称事件A与事件B相等 A＝B
并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
互斥事件 A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝
对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝ 且P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1
3．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
4．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
5．古典概型的概率公式
P(A)＝.
考点一 随机事件
【方法总结】(1)判断互斥事件、对立事件一般用定义，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；若两个事件中有且仅有一个发生，则这两个事件互为对立事件．对立事件一定是互斥事件．
(2)概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率随着试验次数的增加越来越接近概率，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．
(3)求复杂互斥事件的概率的两种方法：①将所求事件转化成几个彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件概率的加法公式求解概率．②若将一个较复杂的事件转化为几个彼此互斥事件的和事件时分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑先求其对立事件的概率，即运用“正难则反”的思想．常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率．
命题点1　随机事件的关系
1．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是(　　)
A．恰好有1件次品和恰好有2件次品
B．至少有1件次品和全是次品
C．至少有1件正品和至少有1件次品
D．至少有1件次品和全是正品
命题点2　随机事件的频率与概率
2．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
命题点3　互斥事件与对立事件的概率
3．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)1张奖券的中奖概率；
(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
考点二 古典概型
4．从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是________．
考点三 古典概型与统计的综合应用
5．某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校本课程供学生选择(如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等)．现统计了某班50名学生一周用在兴趣爱好方面的学习时间(单位：h)的数据，按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分成五组，得到了如下的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中m的值及该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间；
(2)从[4,6)，[6,8)两组中按分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求恰有1人在[6,8)组中的概率．
一、单选题
1．（2022·西安模拟）甲、乙两人约定某日上午在地见面，若甲是7点到8点开始随机到达，乙是7点30分到8点30分随机到达，约定，先到者没有见到对方时等候10分钟，则甲、乙两人能见面的概率为（　　）.
A． B． C． D．
2．（2022·广州模拟）“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满80元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有5名顾客都领取一件礼品，则他们中恰有3人领取的礼品种类相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·潍坊模拟）某省新高考改革方案推行“”模式，要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、思想政治4门科目中任选2门．某学生各门功课均比较优异，因此决定按方案要求任意选择，则该生选考物理、生物和政治这3门科目的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·洛阳模拟）2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受吉祥物爱好者的喜爱，“冰墩墩”和“雪容融”将中国文化符号和冰雪运动完美融合，承载了新时代中国的形象和梦想.若某个吉祥物爱好者从装有3个“冰墩墩”和3个“雪容融”的6个盲盒的袋子中任取2个盲盒，则恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2022·扬州模拟）在一个长度为的数字序列中，当且仅当相邻元素差的绝对值经过排序后正好是从1到，则认定该数字序列存在“有趣的跳跃”如果一组数经过排序后存在“有趣的跳跃”，则称这组数为“有趣的跳跃数组”.例如，因为差的绝对值分别为2，1，所以存在“有趣的跳跃”，这组数为“有趣的跳跃数组”现从这六个数中一次任取3个数，则这3个数是“有趣的跳跃数组”的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·广东模拟）甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2022·马鞍山模拟）将5个0和3个1随机排成一行，则3个1不相邻的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2022·河南模拟）古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式．”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，若两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则所有四位数的回文数中能被3整除的个数是（　　）
A．27 B．28 C．29 D．30
9．（2022·宜宾模拟）在新高考“”模式中，“3”是指语文、数学、外语3门科目必考，“1”是指从“首选科目”物理、历史2门中选考1门，“2”是指从“再选科目”思想政治、地理、化学、生物学4门中选考2门．若某同学在“首选科目”已选物理的情况下，从“再选科目”中随机选2门，其中有化学的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．（2022·日照模拟）已知王大爷养了5只鸡和3只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·全国甲卷）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为　 　．
12．（2022·全国乙卷）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为　 　．
13．（2022·浙江模拟）林锋家所在小区原本是开放式小区，停车难问题一直困扰着该小区居民.今年当地政府积极进行老小区改造，通过竭力协调将闲置的空间改造成了绿色车位，受到居民的广泛称赞，如今林锋家楼下原本堆满废墟的地方已经改造成了7个绿色车位.某天中午林锋家来了四位客人，这四位客人各自驾驶一辆车，其中三辆黑色，一辆白色.此时这7个车位恰好均未使用，于是这四辆车随机规范停入这7个车位.则恰好三辆黑色车相邻停放的概率为　 　；记剩余的3个空车位中相邻的车位数最大者为（若3个空车位均相邻则，若3个空车位有且仅有两个相邻则，若3个空车位均不相邻则），则的数学期望为　 　.
14．（2022·滨州二模）某社区对在抗击疫情工作中表现突出的3位医生、2位护士和1位社区工作人员进行表彰并合影留念．现将这6人随机排成一排，则3位医生中有且只有2位相邻的概率为　 　．
15．（2022·徐汇二模）上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是　 　．（结果用最简分数表示）
三、解答题
16．（2022·沈阳模拟）某学校最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏班主任把8个小球（只是颜色有不同）放入一个袋子里，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个，现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分为获胜，否则为负．并规定如下：
①一个人摸球，另一人不摸球；
②摸出的球不放回；
③摸球的人先从袋子中摸出1球，若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，摸球人的得分为两次摸出的球的记分之和；
（1）若由甲摸球，如果甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率；
（2）若由乙摸球，如果乙先摸出了红色球，求该局乙得分的分布列和数学期望；
（3）有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由．
17．（2021·长春模拟）水立方、国家体育馆、五棵松体育馆、首都体育馆、国家速滑馆是2022冬奥会的比赛场馆. 现有8名大学生报名参加冬奥会志愿者比赛场馆服务培训，其中1人在水立方培训，3人在国家体育馆培训，4人在五棵松体育馆培训.
（1）若从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训，求所抽调的2人来自不同场馆的概率；
（2）若从中一次抽调3名大学生志愿者到首都体育馆培训，要求这3人中来自水立方的人数和来自国家体育馆的人数都不超过来自五棵松体育馆的人数. 设从五棵松抽出的人数为 ，求随机变量 的概率分布列及数学期望 .
18．（2022·吉林模拟）“学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台．“学习强国”中有“双人对战”和“四人赛”两项竞赛答题活动，活动规则如下：“双人对战”每日首局胜利积2分，失败积1分，每日仅首局得分；“四人赛”每日首局第一名积3分，第二、三名积2分，第四名积1分，第二局第一名积2分，其余名次积1分，每日仅前两局得分．已知周老师参加“双人对战”答题时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”答题（每日两局）时，第一局得3分、2分的概率分别为、，第二局得2分的概率为．周老师每天参加一局“双人对战”，两局“四人赛”，各局比赛互不影响．
（1）求周老师每天参加答题活动总得分为6分的概率；
（2）求周老师连续三天参加“双人对战”答题总得分的分布列和期望．
19．（2022·眉山模拟）新冠疫苗有三种类型：腺病毒载体疫苗 灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗.腺病毒载体疫苗只需要接种一针即可产生抗体，适合身体素质较好的青壮年，需要短时间内完成接种的人群，突发聚集性疫情的紧急预防.灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗安全性高，适合老 幼 哺 孕及有慢性基础病患者和免疫缺陷人群，灭活疫苗需要接种两次.重组蛋白亚单位新冠疫苗需要完成全程三针接种，接种第三针后，它的有效保护作用为90%，人体产生的抗体数量提升5-10倍，甚至更高（即接种疫苗第三针后，有90%的人员出现这种抗疫效果）.以下是截止2021年12月31日在某县域内接种新冠疫苗人次（单位：万人，忽略县外人员在本县接种情况）统计表：
腺病毒载体疫苗 灭活疫苗 重组蛋白亚单位疫苗
第一针 0.5 10 110
第二针 0 10 110
第三针 0 0 100
其中接种腺病毒载体疫苗的统计情况如下：
接种时间 接种原因 接种人次（单位：人）
3月 疫情突发 1500
6月 高考考务 1000
7月 抗洪救灾 2500
（1）遭遇3月疫情突发 服务6月高考考务 参加7月抗洪救灾的人都是不同的人.在已接种腺病毒载体疫苗的人员中随机抽取一名，求这个人参加了抗洪救灾的概率；
（2）在已接种灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗的人员中，用分层抽样的方法抽取12人，其中接种重组蛋白亚单位疫苗的人员是根据人体产生的抗体数量是否至少提升5-10倍为依据分层抽样抽取的，再从这12人随机抽取3人，这3人中，人体产生的抗体数量至少提升5-10倍的人数为，求的分布列和数学期望.
20．（2022·内江模拟）2021年某省约有28万理科考生参加高考，除去成绩在630分及以上的8145人与成绩在430分以下的103600人，还有约16.81万理科考生的成绩集中在内，其成绩的频率分布如下表所示：
分数段
频率 0.23 0.25 0.24 0.18 0.10
（1）请估计该次高考理科考生成绩在内的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）若在分数段和的考生中采用分层抽样的方法抽取7名考生进行电话访问，再从被电话访问的7名考生中随机抽取3名考生进行问卷调查，求进行问卷调查的3名考生中至少有2名分数不低于550分的概率．

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