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<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题46 二项分布与正态分布
1．（2022·全国乙卷）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，且 ．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（　　）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
2．（2021·新高考Ⅱ卷）某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确的是（　　）
A． 越小，该物理量在一次测量中在 的概率越大
B． 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C． 越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D． 越小，该物理量在一次测量中落在 与落在 的概率相等
1．条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝(P(A)>0)．
在古典概型中，若用n(A)和n(AB)分别表示事件A和事件AB所包含的基本事件的个数，则P(B|A)＝.
(2)条件概率具有的性质
①0≤P(B|A)≤1.
②如果B和C是两个互斥事件，
则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．相互独立事件
(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．
(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．
(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
(4)P(AB)＝P(A)P(B) A与B相互独立．
3．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．
4．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
5．正态分布
(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
③曲线在x＝μ处达到峰值.
④曲线与x轴之间的面积为1.
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示．
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
(3)正态分布的定义及表示
一般地，如果对于任何实数a，b(a正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ②P(μ－2σ③P(μ－3σ考点一 条件概率
【方法总结】求条件概率的常用方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.
1．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．
考点二 独立重复试验与二项分布
【方法总结】(1)求相互独立事件同时发生的概率的方法
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
(2)独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略
①在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．
②在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．
命题点1　相互独立事件的概率
2．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3，各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件1,2中至少有1个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及均值．
命题点2　独立重复试验
3．连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai，若存在正整数k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，则称k为你的幸运数字．
(1)求你的幸运数字为3的概率；
(2)若k＝1，则你的得分为6分；若k＝2，则你的得分为4分；若k＝3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记0分，求得分ξ的分布列和均值．
命题点3　二项分布
4．某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节．在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案．抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是.”
(1)求抽奖者获奖的概率；
(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列和均值．
考点三 正态分布
5．设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是(　　)
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t) D．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
一、单选题
1．（2022·四川模拟）某班在一次以“弘扬伟大的抗疫精神，在抗疫中磨炼成长”为主题的班团活动中，拟在2名男生和4名女生这六名志愿者中随机选取3名志愿者分享在参加抗疫志愿者活动中的感悟，则所选取的3人中女生人数的均值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
2．（2022·临沂二模）已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 （　　）
A．0.6 B．0.5 C．0.3 D．0.2
3．（2022·辽宁模拟）在北京时间2022年2月6日举行的女足亚洲杯决赛中，中国女足面对上半场0-2落后的劣势，发扬永不言弃的拼搏精神，最终强势逆转，时隔16年再夺亚洲杯冠军！足球比赛中点球射门是队员练习的必修课．已知某足球队员在进行点球射门时命中率为87%，由于惯用脚的原因，他踢向球门左侧的概率为70%，踢向球门右侧的概率为30%．经统计，当他踢向球门左侧时，球进的概率为90%，那么他踢向球门右侧时，球进的概率为（　　）
A．87% B．84% C．81% D．80%
4．（2022·南平三模）抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（　　）
A．至多一枚硬币正面朝上 B．只有一枚硬币正面朝上
C．两枚硬币反面朝上 D．两枚硬币正面朝上
5．（2022·毕节模拟）已知50个产品中，有35个产品长度合格，45个产品质量合格，20个产品长度和质量都合格，现任取一个产品，若它的质量合格，则它的长度也合格的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·河南模拟）某校在高三第一次联考成绩公布之后，选取两个班的数学成绩作对比．已知这两个班的人数相等，数学成绩均近似服从正态分布，如图所示．其中正态密度函数中的是正态分布的期望值，是正态分布的标准差，且，，，则以下结论正确的是（　　）
A．1班的数学平均成绩比2班的数学平均成绩要高
B．相对于2班，本次考试中1班不同层次学生的成绩差距较大
C．1班110分以上的人数约占该班总人数的4.55%
D．2班114分以上的人数与1班110分以上的人数相等
7．（2022·眉山模拟）2021年冬某地民兵预备役训练，民兵射击成绩（单位：环），.如果8940名民兵的射击成绩中有个在区间（，8]上，则（　　）
A． B．
C． D．
8．（2022·丰台模拟）小王每天在6：30至6：50出发去上班，其中在6：30至6：40出发的概率为0.3，在该时间段出发上班迟到的概率为0.1；在6：40至6：50出发的概率为0.7，在该时间段出发上班迟到的概率为0.2，则小王某天在6：30至6：50出发上班迟到的概率为（　　）
A．0.13 B．0.17 C．0.21 D．0.3
9．（2022·东城模拟）若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为60%，加强免疫接种（第三针）的接种率为36%，则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为（　　）
A．0.6 B．0.375 C．0.36 D．0.216
10．（2022·湖北模拟）奥密克戎变异毒株传染性强、传播速度快隐蔽性强，导致上海疫情严重，牵动了全国人民的心．某医院抽调了包括甲、乙在内5名医生随机派往上海①，②，③，④四个医院，每个医院至少派1名医生，“医生甲派往①医院”记为事件A：“医生乙派往①医院”记为事件B；“医生乙派往②医院”记为事件C，则（　　）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立
C． D．
二、填空题
11．（2022·浙江模拟）从装有大小完全相同的m个白球，n个红球和3个黑球共6个球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取3次，记摸取的白球个数为X，若 ，则m=　 　， =　 　.
12．（2022·西安模拟）橘生淮南则为橘，生于准北则为枳，出自《晏子使楚》.意思是说，橘树生长在淮河以南的地方就是橘树，生长在淮河以北的地方就是枳树，现在常用来比喻一旦环境改变，事物的性质也可能随之改变.某科研院校培育橘树新品种，使得橘树在淮北种植成功，经过科学统计，单个果品的质量（单位：g）近似服从正态分布，且，在有1000个的一批橘果中，估计单个果品质量不低于的橘果个数为　 　.
13．（2022·新高考Ⅱ卷）已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则 　 　．
14．（2022·义乌模拟）某高中数学社团招募成员，依次进行笔试，面试两轮选拔，每轮结果都分“合格”和“不合格”.当参选同学在第一轮笔试中获得“合格”时，才能进入下一轮面试选拔，两轮选拔都合格的同学入选到数学社团.现有甲同学参加数学社团选拔，已知甲同学在笔试，面试选拔中获得“合格”和“不合格”的概率分别为，，且在笔试，面试两轮选拔中取得的成绩均相互独立，互不影响且概率相同，则甲同学能进入到数学社团的概率是　 　，设甲同学在本次数学社团选拔中恰好通过X轮选拔，则数学期望　 　．
15．（2022·惠州模拟）在一次教学质量调研测试中，某学校高三有1200名学生，全部学生的数学成绩服从正态分布，若，且，则本次测试数学成绩在80到120之间的学生约有　 　人.
三、解答题
16．（2022·南充模拟）2022年春节后，新冠肺炎的新变种奥密克戎在我国部分地区爆发．该病毒是一种人传人，不易被人们直接发现，潜伏期长且传染性极强的病毒．我们把与该病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者．一旦发现感染者，社区会立即对其进行流行性病医学调查，找到其密切接触者进行隔离观察．调查发现某位感染者共有10位密切接触者，将这10位密切接触者隔离之后立即进行核酸检测．核酸检测方式既可以采用单样本检测，又可以采用“k合1检测法”．“k合1检测法”是将k个样本混合在一起检测，若混合样本只要呈阳性，则该组中各个样本再全部进行单样本检测；若混合样本呈阴性，则可认为该混合样本中每个样本都是阴性．通过病毒指标检测，每位密切按触者为阴性的概率为，且每位密切接触者病毒指标是否为阴性相互独立．
（1）现对10个样本进行单样本检测，求检测结果最多有2个样本为阳性的概率的表达式；
（2）若对10个样本采用“5合1检测法”进行核酸检测．
①求某个混合样本呈阳性的概率；
②设总检测次数为X，求X的分布列和数学期望．
17．（2022·安徽模拟）从某酒店开车到机场有两条路线，为了解两条路线的通行情况，随机统计了走这两条路线各10次的全程时间（单位：min），数据如下表：
路线一 44 58 66 50 34 42 50 38 62 56
路线二 62 56 68 62 58 61 61 52 61 59
将路线一和路线二的全程时间的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和.
（1）求.
（2）假设路线一的全程时间X服从正态分布，路线二的全程时间Y服从正态分布，分别用作为的估计值.现有甲 乙两人各自从该酒店打车去机场，甲要求路上时间不超过，乙要求路上时间不超过，为尽可能满足客人要求，司机送甲 乙去机场应该分别选哪条路线？
18．（2022·焦作模拟）为了鼓励师生积极参与体育运动，某校举办运动会并设置了丰厚的奖励，甲同学报名参加了羽毛球和长跑比赛．甲在羽毛球比赛中顺利晋级到了决赛，决赛采用“五局三胜制”，先获胜三局的选手即获得冠军，甲在每局中获胜的概率均为，各局胜负相互独立．
（1）求甲获得羽毛球比赛冠军的概率
（2）长跑比赛紧接在羽毛球决赛后进行，由于连续比赛，体力受到影响，若羽毛球决赛局打3就结束，则甲在长跑比赛中有的概率跑进前十名，若羽毛球决赛局数大于3，则甲在长跑比赛中不可能跑进前十名．已知羽毛球比赛冠军奖金是300元，亚军奖金是100元，长跑比赛跑进前十名就获得100元奖金，没有其他奖项，求甲在这两项比赛中获得的奖金总额X（单位：元）的分布列．
19．（2022·齐齐哈尔模拟）中国神舟十三号载人飞船返回舱于2022年4月16日在东风着陆场成功着陆，这标志着此次载人飞行任务取得圆满成功．神舟十三号载人飞行任务是中国迄今为止在太空轨道上停留时间最长的一次任务，航天员王亚平成为第一位在太空行走的中国女性．三位航天员在为期半年的任务期间，进行了两次太空行走，完成了20多项不同的科学实验，并开展了两次“天宫课堂”活动，在空间站进行太空授课．神州十三号的成功引起了广大中学生对于航天梦的极大兴趣，某校从甲、乙两个班级所有学生中分别随机抽取8名学生，对他们的航天知识进行评分调查（满分100分），被抽取的学生的评分结果如下茎叶图所示：
（1）若分别从甲、乙两个班级被抽取的8名学生中各抽取1名，在已知两人中至少有一人评分不低于80分的条件下，求抽到的甲班级学生评分低于80分的概率；
（2）用样本的频率分布估计总体的概率分布，若从甲班级所有学生中，再随机抽取4名学生进行评分细节调查，记抽取的这4名学生中评分不低于90分的人数为，求的分布列与数学期望．
20．（2022·西安模拟）新生儿的某种疾病要接种三次疫苗进行免疫，假设三次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等．为了解新生儿该疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，现进行了两种接种方案的临床试验：10∕次剂量组与20∕次剂量组，接种三次后的试验结果如下：
单位：人
接种方案 结果 合计
接种成功 接种不成功
10∕次剂量组 900 100 1000
20∕次剂量组 973 27 1000
合计 1873 127 2000
（1）根据数据说明哪种接种方案效果好，并依据的独立性检验，判断能否认为该疫苗是否接种成功与接种方案有关；
（2）以频率代替概率，若选用接种效果好的方案，参与该试验的1000人此剂量接种三次的成功人数比只接种一次的成功人数平均提高多少？<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题46 二项分布与正态分布
1．（2022·全国乙卷）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，且 ．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（　　）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【解析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为
则
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即 ， ，
则该棋手在第二盘与丙比赛， 最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
2．（2021·新高考Ⅱ卷）某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确的是（　　）
A． 越小，该物理量在一次测量中在 的概率越大
B． 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C． 越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D． 越小，该物理量在一次测量中落在 与落在 的概率相等
【答案】D
【解析】解：对于A，为数据的方差，所以越小，数据在μ=10附近越集中，所以测量结果落在（9.9,10.1）内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在（9.9,10.0）的概率与落在（10.2,10.3）的概率不同，所以一次测量结果落在（9.9,10.2）的概率与落在（10,10.3）的概率不同，故D错误.
故选：D.
1．条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝(P(A)>0)．
在古典概型中，若用n(A)和n(AB)分别表示事件A和事件AB所包含的基本事件的个数，则P(B|A)＝.
(2)条件概率具有的性质
①0≤P(B|A)≤1.
②如果B和C是两个互斥事件，
则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．相互独立事件
(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．
(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．
(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
(4)P(AB)＝P(A)P(B) A与B相互独立．
3．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．
4．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
5．正态分布
(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
③曲线在x＝μ处达到峰值.
④曲线与x轴之间的面积为1.
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示．
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
(3)正态分布的定义及表示
一般地，如果对于任何实数a，b(a正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ②P(μ－2σ③P(μ－3σ考点一 条件概率
【方法总结】求条件概率的常用方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.
1．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．
【答案】
【解析】方法一　(应用条件概率公式求解)设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第二次取到不合格品”，则所求的概率为P(B|A)，
因为P(AB)＝＝，P(A)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
方法二　(缩小样本空间求解)第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，还有99件产品，其中有4件不合格品，因此第二次取到不合格品的概率为.
考点二 独立重复试验与二项分布
【方法总结】(1)求相互独立事件同时发生的概率的方法
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
(2)独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略
①在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．
②在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．
命题点1　相互独立事件的概率
2．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3，各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件1,2中至少有1个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及均值．
【答案】设“部件1,2,3中需要调整的事件”分别为A1，A2，A3，则P(A1)＝0.1，P(A2)＝0.2，P(A3)＝0.3.
(1)设“部件1,2中至少有1个需要调整的事件”为B，则为“部件1,2中都不需要调整”．
由于部件1,2的状态相互独立，
则P(B)＝1－P()＝1－[1－P(A1)][1－P(A2)]＝1－(1－0.1)(1－0.2)＝1－0.9×0.8＝0.28.
(2)由题意知，设备在一天的运转中需要调整的部件个数可能为0,1,2,3.
则P(X＝0)＝[1－P(A1)][1－P(A2)][1－P(A3)]＝(1－0.1)×(1－0.2)×(1－0.3)＝0.504.
P(X＝1)＝P(A1)[1－P(A2)][1－P(A3)]＋[1－P(A1)]P(A2)[1－P(A3)]＋[1－P(A1)][1－P(A2)]·P(A3)＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.056＋0.126＋0.216＝0.398，
P(X＝2)＝P(A1)P(A2)[1－P(A3)]＋P(A1)[1－P(A2)]P(A3)＋[1－P(A1)]P(A2)P(A3)
＝0.1×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.3＝0.014＋0.024＋0.054＝0.092.
P(X＝3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝0.1×0.2×0.3＝0.006.
则X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P 0.504 0.398 0.092 0.006
故E(X)＝0×0.504＋1×0.398＋2×0.092＋3×0.006＝0.398＋0.184＋0.018＝0.6.
命题点2　独立重复试验
3．连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai，若存在正整数k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，则称k为你的幸运数字．
(1)求你的幸运数字为3的概率；
(2)若k＝1，则你的得分为6分；若k＝2，则你的得分为4分；若k＝3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记0分，求得分ξ的分布列和均值．
【答案】(1)记“连续抛掷k次骰子的点数和为6”为事件A，则它包含事件A1，A2，A3，
其中A1：三次恰好都为2；A2：三次中恰好1,2,3各一次；A3：三次中有两次为1，一次为4，A1，A2，A3为互斥事件，
则k＝3的概率P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝C3＋C··C··C·＋C2·＝.
(2)由已知得ξ的所有可能取值为6,4,2,0，
P(ξ＝6)＝，P(ξ＝4)＝2＋C··＋C··＝，
P(ξ＝2)＝，P(ξ＝0)＝1－－－＝.
∴ξ的分布列为
ξ 6 4 2 0
P
∴E(ξ)＝6×＋4×＋2×＋0×＝.
命题点3　二项分布
4．某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节．在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案．抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是.”
(1)求抽奖者获奖的概率；
(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列和均值．
【答案】(1)设“扫黑除恶利国利民”卡有n张，
由＝，得n＝4，故“普法宣传人人参与”卡有5张，抽奖者获奖的概率为＝.
(2)在新规则下，每个抽奖者获奖的概率为×＋×＝，
所以X～B，
P(X＝k)＝Ck3－k(k＝0,1,2,3)，
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝3×＝.
考点三 正态分布
5．设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是(　　)
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t) D．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
【答案】D
【解析】由正态分布密度曲线可知，x＝μ2为Y曲线的对称轴，μ1<μ2，所以P(Y≥μ2)＝P(X≤σ1)，故B错；对任意正数t，P(X>t)t)，即有P(X≥t)t)t)，因此有P(X≤t)≥P(Y≤t)，故D正确．
一、单选题
1．（2022·四川模拟）某班在一次以“弘扬伟大的抗疫精神，在抗疫中磨炼成长”为主题的班团活动中，拟在2名男生和4名女生这六名志愿者中随机选取3名志愿者分享在参加抗疫志愿者活动中的感悟，则所选取的3人中女生人数的均值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】记所选取的3人中女生人数为X，则X的可能值为1，2，3，
则，
，
则X均值．
故答案为：C.
2．（2022·临沂二模）已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 （　　）
A．0.6 B．0.5 C．0.3 D．0.2
【答案】D
【解析】 .
故答案为：D.
3．（2022·辽宁模拟）在北京时间2022年2月6日举行的女足亚洲杯决赛中，中国女足面对上半场0-2落后的劣势，发扬永不言弃的拼搏精神，最终强势逆转，时隔16年再夺亚洲杯冠军！足球比赛中点球射门是队员练习的必修课．已知某足球队员在进行点球射门时命中率为87%，由于惯用脚的原因，他踢向球门左侧的概率为70%，踢向球门右侧的概率为30%．经统计，当他踢向球门左侧时，球进的概率为90%，那么他踢向球门右侧时，球进的概率为（　　）
A．87% B．84% C．81% D．80%
【答案】D
【解析】设某队员踢向球门右侧时，球进的概率为x，则由题可知：
，解得 ．
故答案为：D．
4．（2022·南平三模）抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（　　）
A．至多一枚硬币正面朝上 B．只有一枚硬币正面朝上
C．两枚硬币反面朝上 D．两枚硬币正面朝上
【答案】C
【解析】由对立事件的概念知：“至少一枚硬币正面朝上”的对立事件为“两枚硬币反面朝上”.
故答案为：C.
5．（2022·毕节模拟）已知50个产品中，有35个产品长度合格，45个产品质量合格，20个产品长度和质量都合格，现任取一个产品，若它的质量合格，则它的长度也合格的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：设事件A表示“产品长度合格”，事件B表示“产品质量合格”，
则事件AB表示“产品质量、长度都合格”，
则，
所以，
故答案为：C
6．（2022·河南模拟）某校在高三第一次联考成绩公布之后，选取两个班的数学成绩作对比．已知这两个班的人数相等，数学成绩均近似服从正态分布，如图所示．其中正态密度函数中的是正态分布的期望值，是正态分布的标准差，且，，，则以下结论正确的是（　　）
A．1班的数学平均成绩比2班的数学平均成绩要高
B．相对于2班，本次考试中1班不同层次学生的成绩差距较大
C．1班110分以上的人数约占该班总人数的4.55%
D．2班114分以上的人数与1班110分以上的人数相等
【答案】D
【解析】解：因为的最大值为，所以1班的数学成绩，2班数学成绩，所以1班的数学平均成绩为100，2班的数学平均成绩为102，A不符合题意；
因为1班数学成绩的标准差为5，2班数学成绩的标准差为6，标准差越大，说明成绩分布越分散，差距越大，所以B不符合题意；
因为，所以C不符合题意；
因为，所以D符合题意．
故答案为：D.
7．（2022·眉山模拟）2021年冬某地民兵预备役训练，民兵射击成绩（单位：环），.如果8940名民兵的射击成绩中有个在区间（，8]上，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：∵，
，
名民兵的射击成绩中有个在区间上，
∴，
故答案为：B.
8．（2022·丰台模拟）小王每天在6：30至6：50出发去上班，其中在6：30至6：40出发的概率为0.3，在该时间段出发上班迟到的概率为0.1；在6：40至6：50出发的概率为0.7，在该时间段出发上班迟到的概率为0.2，则小王某天在6：30至6：50出发上班迟到的概率为（　　）
A．0.13 B．0.17 C．0.21 D．0.3
【答案】B
【解析】解：由题意在6：30至6：50出发上班迟到的概率为.
故答案为：B.
9．（2022·东城模拟）若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为60%，加强免疫接种（第三针）的接种率为36%，则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为（　　）
A．0.6 B．0.375 C．0.36 D．0.216
【答案】A
【解析】解：设事件为抽取的一人完成新冠疫苗全程接种，事件为抽取的一人完成加强免疫接种，
所以，，
所以在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为.
故答案为：A
10．（2022·湖北模拟）奥密克戎变异毒株传染性强、传播速度快隐蔽性强，导致上海疫情严重，牵动了全国人民的心．某医院抽调了包括甲、乙在内5名医生随机派往上海①，②，③，④四个医院，每个医院至少派1名医生，“医生甲派往①医院”记为事件A：“医生乙派往①医院”记为事件B；“医生乙派往②医院”记为事件C，则（　　）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立
C． D．
【答案】C
【解析】将甲、乙在内5名医生派往①，②，③，④四个医院，每个医院至少派1名医生有个基本事件，它们等可能．
事件A含有的基本事件数为，则，同理，
事件AB含有的基本事件数为，则
事件AC含有的基本事件数为，则
，
即事件A与B相互不独立，事件A与C相互不独立，A、B不正确；
，，
故答案为：C．
二、填空题
11．（2022·浙江模拟）从装有大小完全相同的m个白球，n个红球和3个黑球共6个球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取3次，记摸取的白球个数为X，若 ，则m=　 　， =　 　.
【答案】2；
【解析】解：由题意知：摸到白球的概率为，则，则 ，解得m=2；
摸到白球的概率为，则P(X≥2)=P(X =2)+P(X=3)= .
故答案为：2； .
12．（2022·西安模拟）橘生淮南则为橘，生于准北则为枳，出自《晏子使楚》.意思是说，橘树生长在淮河以南的地方就是橘树，生长在淮河以北的地方就是枳树，现在常用来比喻一旦环境改变，事物的性质也可能随之改变.某科研院校培育橘树新品种，使得橘树在淮北种植成功，经过科学统计，单个果品的质量（单位：g）近似服从正态分布，且，在有1000个的一批橘果中，估计单个果品质量不低于的橘果个数为　 　.
【答案】300
【解析】结合正态分布特征，，，所以估计单个果品质量不低于的橘果个数为.
故答案为：300.
13．（2022·新高考Ⅱ卷）已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则 　 　．
【答案】0.14
【解析】因为 ，所以 ，因此 ．
故答案为：0.14
14．（2022·义乌模拟）某高中数学社团招募成员，依次进行笔试，面试两轮选拔，每轮结果都分“合格”和“不合格”.当参选同学在第一轮笔试中获得“合格”时，才能进入下一轮面试选拔，两轮选拔都合格的同学入选到数学社团.现有甲同学参加数学社团选拔，已知甲同学在笔试，面试选拔中获得“合格”和“不合格”的概率分别为，，且在笔试，面试两轮选拔中取得的成绩均相互独立，互不影响且概率相同，则甲同学能进入到数学社团的概率是　 　，设甲同学在本次数学社团选拔中恰好通过X轮选拔，则数学期望　 　．
【答案】；
【解析】记甲同学通过笔试为事件A，通过面试为事件B，
因为，所以
则甲同学能进入到数学社团的概率；
甲同学无法通过笔试的概率，
通过笔试但没有通过面试的概率，
得分布列：
X 0 1 2
P
所以.
故答案为：，.
15．（2022·惠州模拟）在一次教学质量调研测试中，某学校高三有1200名学生，全部学生的数学成绩服从正态分布，若，且，则本次测试数学成绩在80到120之间的学生约有　 　人.
【答案】720
【解析】由题意，
所以．人数为．
故答案为：720．
三、解答题
16．（2022·南充模拟）2022年春节后，新冠肺炎的新变种奥密克戎在我国部分地区爆发．该病毒是一种人传人，不易被人们直接发现，潜伏期长且传染性极强的病毒．我们把与该病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者．一旦发现感染者，社区会立即对其进行流行性病医学调查，找到其密切接触者进行隔离观察．调查发现某位感染者共有10位密切接触者，将这10位密切接触者隔离之后立即进行核酸检测．核酸检测方式既可以采用单样本检测，又可以采用“k合1检测法”．“k合1检测法”是将k个样本混合在一起检测，若混合样本只要呈阳性，则该组中各个样本再全部进行单样本检测；若混合样本呈阴性，则可认为该混合样本中每个样本都是阴性．通过病毒指标检测，每位密切按触者为阴性的概率为，且每位密切接触者病毒指标是否为阴性相互独立．
（1）现对10个样本进行单样本检测，求检测结果最多有2个样本为阳性的概率的表达式；
（2）若对10个样本采用“5合1检测法”进行核酸检测．
①求某个混合样本呈阳性的概率；
②设总检测次数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：由题意可知，对10个样本进行逐个检测属于独立重复试验，所以最多有2个阳性样本的概率为：
（2）解：①设“某个混合样本呈阳性”为事件，则表示事件“某个混合样本呈阴性”，而混合样本呈阴性即为该混合样本全部为阴性，．
故
②X的可能取值为2，7，12．
当两个混合样本都呈阴性时，.
当两个混合样本一个呈阳性，一个呈阴性时，．
当两个混合样本都呈阳性时，．
故X的分布列为：
2 7 12
的数学期望
【解析】（1）对10个样本进行逐个检测属于独立重复试验，利用独立重复试验概率即可求解；
（2）采用“5合1检测法”，“某个混合样本呈阴性”仍然属于独立重复试验，可求出该事件的概率，利用互为对立事件的概率和为1即可求出；此时总检测次数可能为2，7，12，列出 X 分布列，计算数学期望.
17．（2022·安徽模拟）从某酒店开车到机场有两条路线，为了解两条路线的通行情况，随机统计了走这两条路线各10次的全程时间（单位：min），数据如下表：
路线一 44 58 66 50 34 42 50 38 62 56
路线二 62 56 68 62 58 61 61 52 61 59
将路线一和路线二的全程时间的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和.
（1）求.
（2）假设路线一的全程时间X服从正态分布，路线二的全程时间Y服从正态分布，分别用作为的估计值.现有甲 乙两人各自从该酒店打车去机场，甲要求路上时间不超过，乙要求路上时间不超过，为尽可能满足客人要求，司机送甲 乙去机场应该分别选哪条路线？
【答案】（1）解：，
，
，
.
（2）解：由（1）知.
因为，且，
所以，
因为，
又，所以，
所以送甲去机场应该选择路线一，送乙去机场应该选择路线二.
【解析】（1）根据求平均数公式和方差公式进行求解；
2）根据正态曲线的对称性进行求解.
18．（2022·焦作模拟）为了鼓励师生积极参与体育运动，某校举办运动会并设置了丰厚的奖励，甲同学报名参加了羽毛球和长跑比赛．甲在羽毛球比赛中顺利晋级到了决赛，决赛采用“五局三胜制”，先获胜三局的选手即获得冠军，甲在每局中获胜的概率均为，各局胜负相互独立．
（1）求甲获得羽毛球比赛冠军的概率
（2）长跑比赛紧接在羽毛球决赛后进行，由于连续比赛，体力受到影响，若羽毛球决赛局打3就结束，则甲在长跑比赛中有的概率跑进前十名，若羽毛球决赛局数大于3，则甲在长跑比赛中不可能跑进前十名．已知羽毛球比赛冠军奖金是300元，亚军奖金是100元，长跑比赛跑进前十名就获得100元奖金，没有其他奖项，求甲在这两项比赛中获得的奖金总额X（单位：元）的分布列．
【答案】（1）解：甲获得羽毛球比赛冠军有3种情况：
①甲连胜3局，概率为；
②前3局甲输1局，第4局甲胜，概率为；
③前4局甲输2局，第5局甲胜，概率为．
所以甲获得羽毛球比赛冠军的概率为．
（2）解：依题意的可能取值为100、200、300、400，
①羽毛球打3局获胜，长跑获奖，此时，概率为；
②羽毛球打3局获胜，长跑末获奖，此时，概率为；
③羽毛球打3局失败，长跑获奖，此时，概率为；
④羽毛球打3局失败，长跑末获奖，此时，概率为；
⑤羽毛球打4局或5局获胜，此时，概率为；
⑥羽毛球打4局或5局失败，此时，概率为．
所以，，，．
即的分布列为
100 200 300 400
【解析】（1）利用已知条件结合二项分布求概率公式和互斥事件求概率公式，进而得出甲获得羽毛球比赛冠军的概率。
（2）利用已知条件得出随机变量的可能取值，再利用独立事件乘法求概率公式、互斥事件求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出随机变量X的分布列。
19．（2022·齐齐哈尔模拟）中国神舟十三号载人飞船返回舱于2022年4月16日在东风着陆场成功着陆，这标志着此次载人飞行任务取得圆满成功．神舟十三号载人飞行任务是中国迄今为止在太空轨道上停留时间最长的一次任务，航天员王亚平成为第一位在太空行走的中国女性．三位航天员在为期半年的任务期间，进行了两次太空行走，完成了20多项不同的科学实验，并开展了两次“天宫课堂”活动，在空间站进行太空授课．神州十三号的成功引起了广大中学生对于航天梦的极大兴趣，某校从甲、乙两个班级所有学生中分别随机抽取8名学生，对他们的航天知识进行评分调查（满分100分），被抽取的学生的评分结果如下茎叶图所示：
（1）若分别从甲、乙两个班级被抽取的8名学生中各抽取1名，在已知两人中至少有一人评分不低于80分的条件下，求抽到的甲班级学生评分低于80分的概率；
（2）用样本的频率分布估计总体的概率分布，若从甲班级所有学生中，再随机抽取4名学生进行评分细节调查，记抽取的这4名学生中评分不低于90分的人数为，求的分布列与数学期望．
【答案】（1）解：设事件A为两人中至少一人评分不低于80，事件B为甲班级学生评分低于80；
则；
（2）解：由题意知，，
则．
所以其分布列如下：
0 1 2 3 4
P
；
综上，抽到的甲班级学生评分低于80分的概率为 ，数学期望为1.
【解析】（1）利用已知条件结合茎叶图中的数据和条件概型求概率公式，进而得出抽到的甲班级学生评分低于80分的概率。
（2）利用已知条件得出， 再利用二项分布求概率公式得出随机变量 的分布列，再利用二项分布求数学期望公式得出 的数学期望。
20．（2022·西安模拟）新生儿的某种疾病要接种三次疫苗进行免疫，假设三次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等．为了解新生儿该疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，现进行了两种接种方案的临床试验：10∕次剂量组与20∕次剂量组，接种三次后的试验结果如下：
单位：人
接种方案 结果 合计
接种成功 接种不成功
10∕次剂量组 900 100 1000
20∕次剂量组 973 27 1000
合计 1873 127 2000
（1）根据数据说明哪种接种方案效果好，并依据的独立性检验，判断能否认为该疫苗是否接种成功与接种方案有关；
（2）以频率代替概率，若选用接种效果好的方案，参与该试验的1000人此剂量接种三次的成功人数比只接种一次的成功人数平均提高多少？
【答案】（1）解：由于两种接种方案都是1000人接受临床试验，10∕次剂量组接种成功的人数为900，20∕次剂量组接种成功的人数为973，，所以20∕次剂量组接种方案效果好．
零假设为H0：该疫苗是否接种成功与接种方案无关．由表中数据得，
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该疫苗是否接种成功与接种方案有关．
（2）解：设20∕次剂量组临床试验接种一次成功的概率为p，由数据可知，三次接种成功的概率为，不成功的概率为，
由于三次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等，
所以，得，
则参与试验的1000人此剂量只接种一次的成功人数为，又，
所以选用20∕次剂量组接种方案，参与该试验的1000人此剂量接种三次的成功人数比只接种一次的成功人数平均提高273．
【解析】（1）由公式求得，进而比较可得结论；
（2）由题意可得 三次接种成功的概率为，不成功的概率为， 进而由，求得p，即可求解。

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