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不等关系与一元二次不等式
一、知识框架
关于实数a，b大小的比较，有以下方法：
作差法： 作商法：
不等式具有以下性质：
性质 别名 性质内容
性质1 对称性 a>b b性质2 传递性 a>b，b>c a>c
性质3 可加性 a>b a＋c>b＋c
性质4 可乘性 ac>bc
ac性质5 同向可加性 a＋c>b＋d
性质6 同向同正可乘性 ac>bd
性质7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N*，n≥2)
性质8 可开方性 a>b>0 >(n∈N*，n≥2)
一元二次不等式的解集
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} {x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x二、真题演练
1．（2022广东普通高中学业水平考试）不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
因为不等式解得:
所以解集为: ，故选:D
2.（2021广东普通高中学业水平考试）不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
因为不等式解得:
所以解集为: ，故选:B
3.（2019广东普通高中学业水平考试）不等式x2－9<0的解集为(　　)
A．{x|x<－3} B．{x|x<3} C．{x|x<－3或x>3} D．{x|－3【答案】C
【详解】
因为不等式x2－9<0解得: x<－3或x>3
所以解集为: {x|x<－3或x>3}，故选:C
三、典型例题
考向1 不等式的性质
1．设a＞b＞1，y1，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
【答案】C
【详解】
解：由a＞b＞1，有y1﹣y20，即y1＞y2，
由a＞b＞1，有y2﹣y30，即y2＞y3，
所以y1＞y2＞y3，，故选：C.
2．如果，则正确的是（ ）
A．若a>b，则 B．若a>b，则
C．若a>b，c>d，则a+c>b+d D．若a>b，c>d，则ac>bd
【答案】C
【详解】
对于A:取则，故A错，
对于B:若，则，故B错误，
对于C:由同号可加性可知：a>b，c>d，则a+c>b+d，故C正确，
对于D:若，则，，故D错误.，故选：C
3．已知，则下列不等关系中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：因为，所以，故A正确；
对于B：当时，故B错误；
对于C：当，，显然满足，但是，故C错误；
对于D：当，，显然满足，但是，故D错误；，故选：A
考向2 一元二次不等式的解法
1．不等式的解集为（ ）
A． B．（－4，1）
C．（－1，4） D．
【答案】C
【详解】
因为不等式可化为:
解得:
所以解集为:.，故选:C.
2．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由得，解得，即解集为.，故选：C.
3．求下列不等式的解集：
(1)； (2).
【答案】(1)或(2)
(1)其中，即，所以或，
故的解集为或；
(2)因为，解得：或，
故的解集为
四、练习巩固
一、单选题
1．已知，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
为正数，为负数，所以，，
，
所以.，故选：C
2．已知，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【详解】
对于A，当时不成立；
对于B，当时，显然不成立；
对于C，当时不成立；
对于D，因为，所以有，即成立.，故选：D．
3．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
对于选项A：当时，不等式，故A不正确；对于选项B：当时，，故B不正确；
对于选项C：当时，，故C不正确；对于选项D：因为，所以，故D正确．，故选：D．
4．若，c为实数，则下列不等关系不一定成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
A选项中，若，则不成立；
B选项中，，所以，成立；
由不等式的可乘方性知选项C正确；
由不等式的可加性知选项D正确．，故选：A
5．若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
，又，则，则
，又，则，则
综上，，故选：A
6．已知，，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为，所以，又，所以.，故选：B.
7．下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【详解】
对于A，若，由可得：，A错误；
对于B，若，则，此时未必成立，B错误；
对于C，当时，，C错误；
对于D，当时，由不等式性质知：，D正确.，故选：D.
8．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．，或
【答案】C
【详解】
解：由，解得，即不等式的解集为；，故选：C
9．已知的解集为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【答案】B
【详解】
因为的解集为，
所以为方程的一个根，
所以．，故选:B．
10．不等式的解集为（ ）
A．R B． C． D．
【答案】B
【详解】
由，得，
得，
所以不等式的解集为.，故选：B
二、解答题
1．解下列关于的不等式；
(1)； (2). (3)；
(4)； (5)； (6).
【答案】(1)(2)(3)；(4)；
(5)；(6).
【详解】
(1)解：不等式可化为，解得，
所以不等式的解集为；
(2)解：不等式可化为，解得或，
所以不等式的解集为.
(3)，可得，∴不等式解集为.
(4)原不等式等价于，
∴，可得.∴不等式解集为.
(5)，可得，∴不等式解集为.
(6)原不等式等价于，即，显然无解，
∴不等式的解集为.不等关系与一元二次不等式
一、知识框架
关于实数a，b大小的比较，有以下方法：
作差法： 作商法：
不等式具有以下性质：
性质 别名 性质内容
性质1 对称性 a>b b性质2 传递性 a>b，b>c a>c
性质3 可加性 a>b a＋c>b＋c
性质4 可乘性 ac>bc
ac性质5 同向可加性 a＋c>b＋d
性质6 同向同正可乘性 ac>bd
性质7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N*，n≥2)
性质8 可开方性 a>b>0 >(n∈N*，n≥2)
一元二次不等式的解集
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} {x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x二、真题演练
1．（2022广东普通高中学业水平考试）不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
2.（2021广东普通高中学业水平考试）不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
3.（2019广东普通高中学业水平考试）不等式x2－9<0的解集为(　　)
A．{x|x<－3} B．{x|x<3} C．{x|x<－3或x>3} D．{x|－3三、典型例题
考向1 不等式的性质
1．设a＞b＞1，y1，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
2．如果，则正确的是（ ）
A．若a>b，则 B．若a>b，则
C．若a>b，c>d，则a+c>b+d D．若a>b，c>d，则ac>bd
3．已知，则下列不等关系中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
考向2 一元二次不等式的解法
1．不等式的解集为（ ）
A． B．（－4，1）
C．（－1，4） D．
2．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．求下列不等式的解集：
(1)； (2).
四、练习巩固
1．已知，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．若，c为实数，则下列不等关系不一定成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
5．若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．，或
9．已知的解集为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
10．不等式的解集为（ ）
A．R B． C． D．
11.解下列关于的不等式；
(1)； (2). (3)；
(4)； (5)； (6).

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