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函数的概念及表示
一、知识框架
1.函数的概念
概念 一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A
三要素对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 自变量取值的范围
值域 所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}
2.同一个函数
(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.
(2)结论：这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.
二、真题演练
1.（2020广东普通高中学业水平考试）函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
解：由题意得： 解得，即的定义域为.
故选：D
2.（2020广东普通高中学业水平考试）已知函数，设，则（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【详解】
解：因为，
故答案为：A
3.（2022广东普通高中学业水平考试）食品安全问题越来越引起人们的重视，为了给消费者提供放心的蔬菜，某农村合作社搭建了两个无公害蔬菜大棚，分别种植西红柿和黄氐′根据以往的种植经验，发现种植西红柿的年利润P(单位：万元)，种植黄瓜的年利润Q(单位：万元)与投入的资金x(4≤x≤16，单位：万元)满是，现该合作社共筹集正20万，将其中8万元投入种植西红和，剩余资金投入种植西瓜，求这两个大棚的年利润总和
【答案】39（万元）
【详解】
解：P=,Q=,
P+Q=24+15=39（万元）.
这两个大棚的年利润总和为39（万元）.
三、典型例题
考向1 求函数定义域
1．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由题意得： 解得，即的定义域为.
故选：C.
2．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．R
【答案】C
【详解】
由题意得，函数的定义域为.
故选：C.
3．下列函数定义域为R的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
A：函数的定义域为，故A不符合题意；
B：函数的定义域为，故B不符合题意；
C：函数的定义域为R，故C符合题意；
D：函数的定义域为，故D不符合题意；
故选：C
考向2 分段函数及其应用
1．已知函数，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【详解】
故选：C
2．设函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．18
【答案】B
【详解】
，
故选：B
3．设且，函数，若，则的值为________．
【答案】
【详解】
因为，且，则.
故答案为：.
考向3 求函数解析式
1．已知函数为一次函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设，则，解得，
，．
故选：A
2．已知函数，其中是x的正比例函数，是x的反比例函数，且，则（ ）
A．3 B．8 C．9 D．16
【答案】C
【详解】
根据题意设，则，
因为，
所以，解得，
所以，
所以，
故选：C
3．已知是一次函数，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意，设函数，
因为，可得，解得，
所以.
故选：B.
四、练习巩固
一、单选题
1．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
要使函数解析式有意义，需满足解得:.
故选：C
2．函数的定义域为（ ）
A．（0，2] B．[0，2] C．[0，2） D．（0，2）
【答案】A
【详解】
由题意可知：，
故选：A
3．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
依题意，解得，
所以函数的定义域为.
故选：B．
4．下列各项中表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
定义域为R，的定义域为，两者定义域不同，故A错误；
与对应关系不同，B错误；
，为同一函数，C正确；
定义域为R，定义域为，两者定义域不同，故D错误
故选：C
5．设，，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．e
【答案】A
【详解】
解：因为，，
所以，所以．
故选：A
6．已知函数，则（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【详解】
解：
故选：C
7．函数可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
当时，，当时，，即，A，B，C都不正确，D正确.
故选：D
8．函数f(x)＝若f(x)＝2，则x的值是( )
A． B．± C．0或1 D．
【答案】A
【详解】
若f(x)＝2，
①x≤－1时，x＋2＝2，解得x＝0(不符合，舍去)；
②－1＜x＜2时，，解得x＝(符合)或x＝(不符，舍去)；
③x≥2时，2x＝2，解得x＝1(不符，舍去).
综上，x＝.
故选：A.
9．已知函数 ，若，则（ ）
A． B．2或 C．或2 D．或
【答案】C
【详解】
当时，此时，即令，得 ，满足；
当时，此时，即令，得 ，因为，所以。
综上所述，或.
故选：C.
10．已知函数，若，则实数的值等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
当时，由，该方程无实根；
当时，，显然符合，
故选：B
11．已知是一次函数，且，则的解析式为
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【详解】
设，则，
即对任意的恒成立，
所以，解得：或，
所以的解析式为或，
故选：A
12．已知为二次函数,且满足,,则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
设,因为,所以.
又,所以有
,解得
.
故选：A
二、填空题
1．函数的定义域为__________．
【答案】
【详解】
由题意，解得且，所以定义域为．
故答案为：．
2．函数的定义域为______．
【答案】且
【详解】
要使函数有意义，必须使，即，所以且，即且．
所求函数的定义域为且
故答案为：且
3．若，则____________
【答案】
【详解】
由题意，，则.
故答案为：.
4．已知与x成反比例，当时，，则y与x间的函数关系式为_____ .
【答案】
【详解】
由题意可设，又时，，
∴，即，故.
故答案为：
三、解答题
1．已知一次函数满足，．
（1）求这个函数的解析式；
（2）若函数，求函数的零点．
【答案】（1）（2）零点是2和1．
【详解】
解：（1）设
由条件得：，解得，
故；
（2）由（1）知，即，
令，解得或，
所以函数的零点是2和1．函数的概念及表示
一、知识框架
1.函数的概念
概念 一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A
三要素对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 自变量取值的范围
值域 所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}
2.同一个函数
(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.
(2)结论：这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.
二、真题演练
1.（2020广东普通高中学业水平考试）函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
2.（2020广东普通高中学业水平考试）已知函数，设，则（ ）
A. 2 B. C. D.
3.（2022广东普通高中学业水平考试）食品安全问题越来越引起人们的重视，为了给消费者提供放心的蔬菜，某农村合作社搭
建了两个无公害蔬菜大棚，分别种植西红柿和黄氐′根据以往的种植经验，发现种植西红柿
的年利润P(单位：万元)，种植黄瓜的年利润Q(单位：万元)与投入的资金
x(4≤x≤16，单位：万元)满是，现该合作社共筹集正20
万，将其中8万元投入种植西红和，剩余资金投入种植西瓜，求这两个大棚的年利润总和
三、典型例题
考向1 求函数定义域
1．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．R
3．下列函数定义域为R的是（ ）
A． B． C． D．
考向2 分段函数及其应用
1．已知函数，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．设函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．18
3．设且，函数，若，则的值为________．
考向3 求函数解析式
1．已知函数为一次函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，其中是x的正比例函数，是x的反比例函数，且，则（ ）
A．3 B．8 C．9 D．16
3．已知是一次函数，，则（ ）
A． B． C． D．
四、练习巩固
一、单选题
1．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为（ ）
A．（0，2] B．[0，2] C．[0，2） D．（0，2）
3．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．下列各项中表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．设，，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．e
6．已知函数，则（ ）
A． B． C．4 D．
7．函数可表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．函数f(x)＝若f(x)＝2，则x的值是( )
A． B．± C．0或1 D．
9．已知函数 ，若，则（ ）
A． B．2或 C．或2 D．或
10．已知函数，若，则实数的值等于（ ）
A． B．
C． D．
11．已知是一次函数，且，则的解析式为
A．或 B．或
C．或 D．或
12．已知为二次函数,且满足,,则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
1．函数的定义域为__________．
2．函数的定义域为______．
3．若，则____________
4．已知与x成反比例，当时，，则y与x间的函数关系式为_____ .
三、解答题
1．已知一次函数满足，．
（1）求这个函数的解析式；
（2）若函数，求函数的零点．

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