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集合的概念、基本关系及运算
一、知识框架
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、_______、无序性.
(2)元素与集合的关系是______或不属于，表示符号分别为∈和 .
(3)集合的三种表示方法：______、______、图示法.
(4)常用数集及记法
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 ______ ______ ______ ______ ______
2.集合间的基本关系
(1)子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集.记作A B(或B A).
(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集.记作______.
(3)相等：若A B，且______，则A＝B.
(4)空集的性质： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为 UA
图形表示
二、真题演练
1.（2022广东普通高中学业水平考试）设集合M={0,2,3}，N={1,3}则M∪N（ ）
A. B. C. D.
2.（2020广东普通高中学业水平考试）已知集合则（ ）
A. B. C. D.
3.（2021广东普通高中学业水平考试）设全集U={2,3,4,5}，A={2}，则( )
A．{2,3,4,5} B.{2,3,4,5} C.{3,4,5} D.{3,4}
三、典型例题
考向1 元素与集合
1．已知集合A中含有5和这两个元素，且，则的值为（ ）
A．0 B．1或 C．1 D．
2．下列命题中正确的是（ ）
①与表示同一个集合
②由1，2，3组成的集合可表示为或
③方程的所有解的集合可表示为
④集合可以用列举法表示
A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都对
3．下列关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
考向2 集合间的关系
1．已知，则的子集个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
2．以下六个写法中：①；② ；③；④ ；⑤；正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．已知集合，且中的至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
考向3 集合的基本运算
1．已知集合，或，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．设集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
四、练习巩固
一、单选题
1．下列关系中正确的个数是（ ）
①，②， ③， ④
A． B． C． D．
2．①，②，③，④，其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列各式中关系符号运用正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若集合满足，，，，则满足上述条件的集合的个数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．4
5．设集合{是正四棱柱}，{是长方体}，{是正方体}，则（ ）
A． B． C． D．
6．设集合，，则的子集的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知集合，，则的非空子集个数为（ ）
A．15 B．14 C．7 D．6
8．若全集，集合，．则等于（ ）
A．{1，3，5} B．{2，5} C．{2，4，5} D．{2，4，6}
9．已知全集，集合或，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
11．设全集为，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示，阴影部分表示的集合是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
1．已知集合，则______ .
2．用适当的符号( ， ，∈， )填空：
（1）________；
（2）2________；
（3）N*________N；
（4）R________Q.
3．已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值的集合是______
4．集合且的真子集有___个．
5．集合，，若，则的值为__________.
三、解答题
1．设A＝{x|x是小于11的正整数}，，．求，，，．集合的概念、基本关系及运算
一、知识框架
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、_______、无序性.
(2)元素与集合的关系是______或不属于，表示符号分别为∈和 .
(3)集合的三种表示方法：______、______、图示法.
(4)常用数集及记法
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 ______ ______ ______ ______ ______
2.集合间的基本关系
(1)子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集.记作A B(或B A).
(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集.记作______.
(3)相等：若A B，且______，则A＝B.
(4)空集的性质： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为 UA
图形表示
二、真题演练
1.（2022广东普通高中学业水平考试）设集合M={0,2,3}，N={1,3}则M∪N（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】
根据集合的并集关系很容易得到，故选：B．
2.（2020广东普通高中学业水平考试）已知集合则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】
根据集合的并集关系很容易得到，故选：C．
3.（2021广东普通高中学业水平考试）设全集U={2,3,4,5}，A={2}，则( )
A．{2,3,4,5} B.{2,3,4,5} C.{3,4,5} D.{3,4}
【答案】C
【详解】
根据集合的补集关系很容易得到{3,4,5}，故选：C．
三、典型例题
考向1 元素与集合
1．已知集合A中含有5和这两个元素，且，则的值为（ ）
A．0 B．1或 C．1 D．
【答案】B
【详解】
根据题意得，
整理得，解之得或
则或
故选：B．
2．下列命题中正确的是（ ）
①与表示同一个集合
②由1，2，3组成的集合可表示为或
③方程的所有解的集合可表示为
④集合可以用列举法表示
A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都对
【答案】C
【详解】
解：对于①，由于“0”是元素，而“”表示含0元素的集合，而不含任何元素，所以①不正确；
对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确；
对于③，根据集合元素的互异性，知③错误；
对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确.
综上可得只有②正确.
故选：C.
3．下列关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
根据常见的数集，元素与集合的关系可知，，，不正确，
故选：C
考向2 集合间的关系
1．已知，则的子集个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】D
【详解】
因为所以，
则,而又因为,
所以，集合中有3个元素，所以的子集个数为：（个）.
故选：D.
2．以下六个写法中：①；② ；③；④ ；⑤；正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【详解】
对于①：是集合与集合的关系，应该是，①不对；
对于②：空集是任何集合的子集，，②对；
对于③：是一个集合，是集合与集合的关系，，③不对；
对于④：根据集合的无序性可知，④对；
对于⑤：是空集，表示没有任何元素，应该是，⑤不对；
正确的是：②④．
故选：B．
3．已知集合，且中的至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【详解】
当集合中无偶数，则，或，
当集合中只有一个偶数，则，或，或，或，
共有个，
故选：D.
考向3 集合的基本运算
1．已知集合，或，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解出集合，利用集合的运算、集合间的包含关系判断可得出结论.
【详解】
因为或，则，，，
故选：A.
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为，所以，
因为，所以集合中元素为所有小于等于2的整数，
所以.
故选：C
3．设集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
，或，则.
故选：D.
四、练习巩固
一、单选题
1．下列关系中正确的个数是（ ）
①，②， ③， ④
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
①错误②正确③错误④正确
故选：B
2．①，②，③，④，其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】
正确；
正确；
不正确，左边是数集，右边是点集；
不正确，左边是点集，右边是点集，但点不相同.
故正确的有①②，共2个.
故选：B.
3．下列各式中关系符号运用正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；
根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；
根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.
故选：C.
4．若集合满足，，，，则满足上述条件的集合的个数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．4
【答案】D
【详解】
解：因为，，
所以中最多能含有0，2两个元素，
所以，，，，共4个．
故选：D．
5．设集合{是正四棱柱}，{是长方体}，{是正方体}，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
当正四棱柱的高与底面边长相等时，该正四棱柱为正方体；
当长方体底面为正方形时，该长方体为正四棱柱；.
故选：B.
6．设集合，，则的子集的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】
由得，即方程组有2组解，
故有2个元素，故其子集的个数是．
故选：C．
7．已知集合，，则的非空子集个数为（ ）
A．15 B．14 C．7 D．6
【答案】C
【详解】
因为，又，
所以，所以的元素个数为，其非空子集有个.
故选：C．
8．若全集，集合，．则等于（ ）
A．{1，3，5} B．{2，5} C．{2，4，5} D．{2，4，6}
【答案】D
【详解】
由题意，，故
故选：D
9．已知全集，集合或，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
解：由题意得：
.
故选：D.
10．设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为，，所以，因为，所以.
故选：D.
11．设全集为，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：，，
故选：B.
12．如图所示，阴影部分表示的集合是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由图可知，阴影部分表示的集合包含于A，且包含于B的补集，且包含于，
∴阴影部分表示的集合为： ，
故选：A．
三、填空题
1．已知集合，则______ .
【答案】
【详解】
若，符合题意；若，不符合题意；若，符合题意.
故答案为：.
2．用适当的符号( ， ，∈， )填空：
（1）________；
（2）2________；
（3）N*________N；
（4）R________Q.
【答案】
【详解】
（1）当时，，故；
（2）当时，，故2；
（3）因为为正整数集，为自然数集，所以
（4）因为为实数集，为有理数集，所以.
故答案为：；；；.
3．已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值的集合是______
【答案】
【详解】
当时，只有一个解，
则集合有且只有一个元素，符合题意；
当时，若集合A中只有一个元素，
则一元二次方程有二重根，
即，即
综上，或，故实数a的取值的集合为
故答案为：
4．集合且的真子集有___个．
【答案】
【详解】
且，该集合的元素个数为，
因此，该集合的真子集个数为.
故答案为：.
26．集合，，若，则的值为__________.
【答案】0
【详解】
因为，所以，
显然，
若，则与集合元素的互异性矛盾，舍去；
若，则或（舍去），
综上，．
故答案为：0．
三、解答题
1．设A＝{x|x是小于11的正整数}，，．求，，，．
【答案】，，，
【详解】
，则；
；
，故；
，所以

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