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容斥原理（数学技巧点拨系列）——2023 届高考三轮冲刺
容斥原理
【知识点讲解】
1、原理
容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的
数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
2、解释
由图可以直接看出各部分之间的关系
由 Venn图可知：（A∪B = A+B - A∩B)
由 Venn图可知：（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）
3、应用
两类
如果被计数的事物有 A、B两类，那么，A 类 B类元素个数总和= 属于 A 类元素个数+ 属
于 B 类元素个数—既是 A 类又是 B类的元素个数。
三类
如果被计数的事物有 A、B、C三类，那么，A类和 B 类和 C 类元素个数总和= A 类元素个
数+ B类元素个数+C类元素个数—既是 A类又是 B类的元素个数—既是 A类又是 C类的元素个
数—既是 B 类又是 C类的元素个数+既是 A 类又是 B 类而且是 C类的元素个数。
4、解题导语
使用容斥原理一般用于集合相关问题中，但是此类思想在数学学习中仍有巨大作用。例如
在计数原理中使用间接法等等。因此学习此类问题对数学能力的提升是有很大帮助的，它可以
帮助你换一个角度看数学题，从而找到更简单的办法。
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容斥原理（数学技巧点拨系列）——2023 届高考三轮冲刺
【例题详析】
例 1、（2020宁夏）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，
并称为中国古典小说四大名著，六盘水市第七中学为了解我校学生阅读四大名著的情况，随机
调查了 100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位，阅读过《红楼梦》
的学生共有 80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60 位，则在调查的 100
位同学中阅读过《西游记》的学生人数为（ ）
A．80 B．70 C．60 D．50
【参考答案】B
【详解】因为阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90位，
阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60位，
所以《西游记》与《红楼梦》两本书中只阅读了一本的学生共有 90-60=30位，
因为阅读过《红楼梦》的学生共有 80位，
所以只阅读过《红楼梦》的学生共有 80-60=20位，
所以只阅读过《西游记》的学生共有 30-20=10位，
故阅读过《西游记》的学生人数为 10+60=70位，
【方法解析】由两类的容斥原理得：总人数=阅读过《西游记》+阅读过《红楼梦》-阅读过《红
楼梦》和《西游记》的，由此得阅读过《西游记》的学生人数=90+60-80=70（位）
例 2：某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96 名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足
球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有（ ）名．
A．62 B．56 C．46 D．42
【参考答案】C
【详解】喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别记为 A，B，
依题意，集合 A，B， A B中元素个数分别为： n(A) 60,n(B) 82,n(A B) 96，
则n(A B) n(A) n(B) n(A B) 60 82 96 46，
所以中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有 46名.
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容斥原理（数学技巧点拨系列）——2023 届高考三轮冲刺
例 3．某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有 63人，
参加唱歌课外活动的有 89人，参加体育课外活动的有 47人，三种课外活动都参加的有 24 人，
只选择两种课外活动参加的有 46人，不参加其中任何一种课外活动的有 15人.问接受调查的
小学生共有多少人？（ ）
A．120 B．144 C．177 D．192
【参考答案】A
【详解】
如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生
分别用集合 A,B,C表示，
则 card(A) 63,card(B) 89,card(C ) 47,card(A B C ) 24
不妨设总人数为n，韦恩图中三块区域的人数分别为 x, y, z
即 card(A B) 24 x,card(A C ) y 24,card(B C ) z 24
x y z 46，由容斥原理：
n 15 card(A) card(B) card(C ) card(A B) card(A C ) card(B C ) card(A B C )
63 89 47 (24 x) (24 y) (24 z) 24解得：n 120
【跟踪训练】
一、单选题
1．某校高三（1）班有 50名学生，春季运动会上，有 15 名学生参加了田赛项目，有 20名学
生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有 8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参
加的人数为（ ）
A．27 B．23 C．15 D．7
2．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 19 种商品，第二天售出 13种商
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品，第三天售出 18种商品；前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的商品有 4种．则该
网店这三天售出的商品最少有（ ）．
A．25 种 B．27种 C．29种 D．31种
3．为了丰富同学们的课外生活，某班 58 名同学在选课外兴趣小组时，选择篮球小组的有 28
人，选择乒乓球小组的有 36人，既没有选择篮球小组又没有选择乒乓球小组的有 12 人，那么
选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的人数为（ ）
A．8 B．10 C．18 D．20
4．某班有 50名同学，有 20 名同学既不选修足球课程也不选修篮球课程，有 18 名同学选修了
足球课程，28名同学选修了篮球课程，则既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有
（ ）名
A．10 B．12 C．14 D．16
5．中共一大会址、江西井冈山、贵州遵义、陕西延安是中学生的几个重要的研学旅行地.某中
学在校学生3000人，学校团委为了了解本校学生到上述红色基地研学旅行的情况，随机调查了
500名学生，其中到过中共一大会址或井冈山研学旅行的共有40人，到过井冈山研学旅行的20
人，到过中共一大会址并且到过井冈山研学旅行的恰有10人，根据这项调查，估计该学校到过
中共一大会址研学旅行的学生大约有（ ）人
A． 240 B．180 C．120 D．60
6．某班 45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草 植树两项劳动.依据劳动表现，
评定为“优秀” “合格”2 个等级，结果如下表：
等级
优秀 合格 合计
项目
除草 30 15 45
植树 20 25 45
若在两个项目中都“合格”的学生最多有 10 人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
7．高考“3 3”模式指考生总成绩由语文、数学、外语 3 个科目成绩和高中学业水平考试3个科
目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在
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思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选
择情况，随机调查了100位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有40位，选择化学
的学生共有30位，选择物理也选择化学的学生共有10位，则该校选择物理的学生人数与该校
学生总人数比值的估计值为（ ）
A．0.1 B． 0.2 C．0.3 D． 0.4
8．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中
新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，共中使用过移动支付或共享单车的学生共90
位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60
位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
9．某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为45％，电视机拥有率为55％，洗衣机拥
有率为65％，拥有上述三种电器的任意两种的占35％，三种电器齐全的为 25％，那么一种电器
也没有的农户所占比例是（ ）
A． 20％ B．10％ C．15％ D．12％
10．某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是 8，10，14，若这三天中至少有
一天开车上班的职工人数是 20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
二、填空题
11．学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有 23人参加羽毛
球赛，35人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有 6 人，则该班学生数为______．
12．某校高三（1）班有 50名学生，春季运动会上，有 15 名学生参加了田赛项目，有 20 名学
生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有 8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参
加的人数为__________．
13．某单位共有员工 85 人，其中 68人会骑车，62人会驾车，既会骑车也会驾车的人有 57 人，
则既不会骑车也不会驾车的人有___________人.
14．高一某班有学生45人，其中参加数学竞赛的有32人，参加物理竞赛的有28人，另外有5人
两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有___.人．
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15．某班有学生 48人，经调查发现，喜欢打羽毛球的学生有 35 人，喜欢打篮球的学生有 20
人.设既喜欢打羽毛球，又喜欢打篮球的学生的人数为 x，则 x的最小值是_________.
16．网络流行词“新四大发明’’是指移动支付 高铁 网购与共享单车.某中学为了解本校学生中
“新四大发明”的普及情况，随机调查了 100名学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共
90名，使用过移动支付的学生共有 80名，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共
有 60名，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为___________.
17．某班有 39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组.已知
参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26，15，13，同时参加数学和物理小组的有 6 人，
同时参加物理和化学小组的有 4人，则同时参见数学和化学小组有多少人__________.
18．某班共40人，其中 24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都不喜欢，
则只喜欢其中一项运动的人数为________
19．某班有45名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个兴趣小组的同学有20人，
同时参加语文和数学兴趣小组的同学有9人，同时参加数学和英语兴趣小组的同学有15人，同
时参加语文和英语兴趣小组的同学有11人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人
___________.
20．某班进行集体活动，为活跃气氛，班主任要求班上 60名同学从唱歌、跳舞、讲故事三个
节目中至少选择一个节目、至多选两个节目为大家表演，已知报名参加唱歌、跳舞、讲故事的
人数分别为 40，20,30，同时参加唱歌和讲故事的有 15人，同时参加唱歌和跳舞的有 10 人，
则同时只参加跳舞和讲故事的人数为__________．
21．对班级 40名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之
三，其余的不赞成，赞成 B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A、B都不赞成的学
生数比对A、 B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A、 B都赞成的学生有________人.
22．2021 年是中国共产党成立 100 周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短
视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党
伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有 50人，观看了《青春之歌》的有 21人，观看
了《建党伟业》的有 23 人，观看了《开国大典》的有 26 人.其中，只观看了《青春之歌》和
《建党伟业》的有 4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有 7 人，只观看了《青春之
歌》和《开国大典》的有 6 人，三支短视频全观看了的有 3 人，则没有观看任何一支短视频的
人数为________
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【参考答案】
1．B
【详解】
设高三（1）班有 50 名学生组成的集合为U ,参加田赛项目的学生组成的集合为A，参加径赛
项目的学生组成的集合为 B
由题意集合A有 15个元素， B有 20个元素， A B中有 8 个元素
所以 A B有15+20 8 27个元素.
所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为50 27=23
故选：B
2．C
【详解】
解：因为前两天都售出的商品有 3 种，因此第一天售出且第二天没有售出的商品有19 3 16（种
)；同理第三天售出的商品中有 14种第二天未售出，有 1 种商品第一天未售出；
所以三天商品种数最少时，是第三天中 14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，
此时商品总数是14 16 1 29（种 )；
分别用集合A、 B、C表示第一、第二和第三天售出的商品，则商品数最少时，
如图所示．
故选：C．
3．B
【详解】
设既选择篮球小组又选择乒乓球小组的有 x人，则选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的有
28 x 人，选择乒乓球小组但没有选择篮球小组的有 36 x 人.由题意可得
12 28 x 36 x x 58，解得 x 18，所以选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的人数为
28 x 10 .
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4．D
【详解】
设既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有 x名，
由容斥原理得20 18 28 x 50，解得 x 16 .
故选：D.
5．B
【详解】
如下图所示，设调查的学生中去过中共一大会址研学旅行的学生人数为 x，
由题意可得 x 10 20 40，解的 x 30，
30
因此，该学校到过中共一大会址研学旅行的学生的人数为 3000 180 .
500
6．C
【详解】
用集合A表示除草优秀的学生， B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则 U A表示
除草合格的学生，则 UB表示植树合格的学生，作出 Venn图，如图，
设两个项目都优秀的人数为 x，两个项目都是合格的人数为 y，由图可得 20 x x 30 x y 45，
x y 5，因为 ymax 10，所以 xmax 10 5 15．
故选：C．
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7．B
【详解】
选择物理的学生人数为 40 30 10 20，
20
即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为 0.2．
100
故选： B
8．C
【详解】
根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，
70
因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值 0.7，故选 C.
100
9．A
【详解】
解：设农户总共为 100家，则有 55家农户有电视机，45家农户有电冰箱，65 家农户有洗衣机，
有 25家农户同时拥有这三种电器，
另外 75家只有其中两种或一种或没有电器．
设只有电冰箱和电视机的农户有 a家，只有电冰箱和洗衣机的农户有 b家，只有洗衣机和电视
机的农户有 c家，
只有电视机、电冰箱、洗衣机的分别有 d、e、f家，没有任何电器的农户有 x家．
那么对于拥有电冰箱的农户可得出： 25 a b e 45①
那么对于拥有电视机的农户可得出： 25 a c d 55②
那么对于拥有洗衣机的农户可得出：25 b c f 65③
把上面三个式子相加可得：2 a b c d e f 90④
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对于拥有上述三种电器的任意两种的占35%，
得到： a b c 35⑤
把⑤代入④可得到 d e f 20⑥
因为农户共有 100家，
所以 25 a b c d e f x 100，
把⑤和⑥代入上式得到 x = 20，
即一种电器也没有的农户所占比例为20%，
10．C
【详解】
解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A， B，C，集合A， B，C中元
素个数分别为nA．，nB．，nC．，
则nA． 14，nB． 10，nC． 8， n(A B C) 20，
因为 n(A B C) n A． nB． nC． n(A B) n(A C) n(B C) n(A B C)，且
n(A B) n(A B C)， n(A C) n(A B C)， n(B C) n(A B C)，
所以14 10 8 20 n(A B C) 3n(A B C)
14 10 8 20
，即 n(A B C) 62 ．
故选：C．
11．52
【详解】
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解：设参加羽毛球赛为集合A，参加乒乓球赛为集合 B，
依题意可得如下韦恩图：
所以该班一共有17 6 29 52人；
故答案为：52
12．23
【详解】
由题意，15名参加田赛的同学中有 7 名没有参加径赛，20名参加径赛的同学中有 12 名没有参
加田赛，
所以参加田赛和径赛的同学共有7 8 12 27人，
综上，该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为50 27 23人.
13．12
【详解】
设会骑车的人组合的集合为A，会驾车的人组成的集合为 B，
既会骑车也会驾车的人组成的集合为集合C ,
易知 A B C，
记 card(A)表示集合A中的元素个数，
则有 card (A B) card (A) card (B) card (A B) 68 62 57 73，
所以既不会骑车也不会驾车的人为85 73 12 .
故答案为：12
14．20
【详解】
设该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生人数为 x，
以集合U表示该班集体，集合A表示参加数学竞赛的学生组成的集合，
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集合 B表示参加物理竞赛的学生组成的集合，如下图所示：
由题意可得 32 x x 28 x 5 65 x 45 ，解得 x = 20 .
故答案为：20 .
15．7
【详解】
设既不喜欢打羽毛球，又不喜欢打篮球的学生的人数为 y，则35 20 x y 48，即 x y 7，
因为 y 0，所以 x 7 .因为 x 20，所以7 x 20 .
故答案为： 7 .
7
16． ##0.710
【详解】
根据题意，将使用过移动支付 共享单车的人数用如图所示的韦恩图表示，
60 10 7
所以该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 .
100 10
7
故答案为： .10
17．5
【详解】
设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为A， B、C，同时参加数学和化学小组
的人数为 x，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为 0，如
图所示：
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由图可知：20 x 6 5 x 4 9 x 39，解得 x 5，
所以同时参加数学和化学小组有5人.
故答案为：5 .
18．28
【详解】
6人这两项运动都不喜欢， 喜欢一项或两项运动的人数为40 6 34人；
喜欢两项运动的人数为： 24 16 34 6人，
喜欢篮球的人数为24 6 18人；喜欢乒乓球的人数为16 6 10人；
只喜欢其中一项运动的人数为18 10 28人.
故答案为：28 .
19．5
【详解】
以集合A、 B、C表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，如下图所示：
设同时参加这三个兴趣小组的同学有 x人，由图可得 20 9 x 11 x 15 x x 55 2x 45，
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解得 x 5 .
故答案为：5 .
20．5
【详解】
参加唱歌、跳舞、讲故事的人分别用集合 A,B,C表示，作出Venn图，如图，
图中字母表示相应区域人数，则n 0，
又a b m 40，b c d 20，d e m 30，m 15，b 10，a b c d e m 60，
则 (a b m) (b c d ) (d e m) b m a b c 2d e m，
∴ d 40 20 30 15 10 60 5，
∴同时只参加跳舞和讲故事的人数为 5人．
故答案为：5．
21．18
【详解】
赞成A的人数为40
3
24，赞成 B的人数为24 3 27，
5
x 1设对A、 B都赞成的学生有 ，则 x 1 27 x x 24 x 40，解得 x 18 .3
故答案为：18.
22．3
【详解】
把大学社团 50人形成的集合记为全集 U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三
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支短视频的人形成的集合分别记为 A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，
观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有 21 人，则只看了《青春之歌》的有21 4 6 3 8 (人)，
因观看了《建党伟业》的有 23人，则只看了《建党伟业》的有23 4 7 3 9 (人)，
因观看了《开国大典》的有 26人，则只看了《开国大典》的有26 6 7 3 10 (人)，
因此，至少看了一支短视频的有3 4 6 7 8 9 10 47 (人)，
所以没有观看任何一支短视频的人数为50 47 3
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【知识点讲解】
1、原理
容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
2、解释
由图可以直接看出各部分之间的关系
由Venn图可知：（A∪B = A+B - A∩B)
由Venn图可知：（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）
3、应用
两类
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
三类
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
4、解题导语
使用容斥原理一般用于集合相关问题中，但是此类思想在数学学习中仍有巨大作用。例如在计数原理中使用间接法等等。因此学习此类问题对数学能力的提升是有很大帮助的，它可以帮助你换一个角度看数学题，从而找到更简单的办法。
【例题详析】
例1、（2020宁夏）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，六盘水市第七中学为了解我校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则在调查的100位同学中阅读过《西游记》的学生人数为（ ）
A．80 B．70 C．60 D．50
【参考答案】B
【详解】因为阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，
阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，
所以《西游记》与《红楼梦》两本书中只阅读了一本的学生共有90-60=30位，
因为阅读过《红楼梦》的学生共有80位，
所以只阅读过《红楼梦》的学生共有80-60=20位，
所以只阅读过《西游记》的学生共有30-20=10位，
故阅读过《西游记》的学生人数为10+60=70位，
【方法解析】由两类的容斥原理得：总人数=阅读过《西游记》+阅读过《红楼梦》-阅读过《红楼梦》和《西游记》的，由此得阅读过《西游记》的学生人数=90+60-80=70（位）
例2：某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有（ ）名．
A．62 B．56 C．46 D．42
【参考答案】C
【详解】喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别记为A，B，
依题意，集合A，B，中元素个数分别为：，
则，
所以中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有46名.
例3．某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？（ ）
A．120 B．144 C．177 D．192
【参考答案】A
【详解】
如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示，
则
不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为
即
，由容斥原理：
解得：
【跟踪训练】
一、单选题
1．某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（ ）
A．27 B．23 C．15 D．7
2．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有（ ）．
A．25种 B．27种 C．29种 D．31种
3．为了丰富同学们的课外生活，某班58名同学在选课外兴趣小组时，选择篮球小组的有28人，选择乒乓球小组的有36人，既没有选择篮球小组又没有选择乒乓球小组的有12人，那么选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的人数为（ ）
A．8 B．10 C．18 D．20
4．某班有50名同学，有20名同学既不选修足球课程也不选修篮球课程，有18名同学选修了足球课程，28名同学选修了篮球课程，则既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有
（ ）名
A．10 B．12 C．14 D．16
5．中共一大会址、江西井冈山、贵州遵义、陕西延安是中学生的几个重要的研学旅行地.某中学在校学生人，学校团委为了了解本校学生到上述红色基地研学旅行的情况，随机调查了名学生，其中到过中共一大会址或井冈山研学旅行的共有人，到过井冈山研学旅行的人，到过中共一大会址并且到过井冈山研学旅行的恰有人，根据这项调查，估计该学校到过中共一大会址研学旅行的学生大约有（ ）人
A． B． C． D．
6．某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草 植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀” “合格”2个等级，结果如下表：
等级 项目 优秀 合格 合计
除草 30 15 45
植树 20 25 45
若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（ ）A．5 B．10 C．15 D．20
7．高考“”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有位，选择化学的学生共有位，选择物理也选择化学的学生共有位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为（ ）
A． B． C． D．
8．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了位学生，共中使用过移动支付或共享单车的学生共位，使用过移动支付的学生共有位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）
A． B． C． D．
9．某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为，电视机拥有率为，洗衣机拥有率为，拥有上述三种电器的任意两种的占，三种电器齐全的为，那么一种电器也没有的农户所占比例是（ ）
A． B． C． D．
10．某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
二、填空题
11．学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23人参加羽毛球赛，35人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6人，则该班学生数为______．
12．某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为__________．
13．某单位共有员工85人，其中68人会骑车，62人会驾车，既会骑车也会驾车的人有57人，则既不会骑车也不会驾车的人有___________人.
14．高一某班有学生人，其中参加数学竞赛的有人，参加物理竞赛的有人，另外有人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有___.人．
15．某班有学生48人，经调查发现，喜欢打羽毛球的学生有35人，喜欢打篮球的学生有20人.设既喜欢打羽毛球，又喜欢打篮球的学生的人数为x，则x的最小值是_________.
16．网络流行词“新四大发明’’是指移动支付 高铁 网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100名学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90名，使用过移动支付的学生共有80名，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60名，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为___________.
17．某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参见数学和化学小组有多少人__________.
18．某班共人，其中人喜欢篮球运动，人喜欢乒乓球运动，人这两项运动都不喜欢，则只喜欢其中一项运动的人数为________
19．某班有名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个兴趣小组的同学有人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有人，同时参加数学和英语兴趣小组的同学有人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人___________.
20．某班进行集体活动，为活跃气氛，班主任要求班上60名同学从唱歌、跳舞、讲故事三个节目中至少选择一个节目、至多选两个节目为大家表演，已知报名参加唱歌、跳舞、讲故事的人数分别为40，20,30，同时参加唱歌和讲故事的有15人，同时参加唱歌和跳舞的有10人，则同时只参加跳舞和讲故事的人数为__________．
21．对班级名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成的比赞成的多人，其余的不赞成，另外，对、都不赞成的学生数比对、都赞成的学生数的三分之一多人，问对、都赞成的学生有________人.
22．2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________
【参考答案】
1．B
【详解】
设高三（1）班有50名学生组成的集合为 ,参加田赛项目的学生组成的集合为，参加径赛项目的学生组成的集合为
由题意集合有15个元素，有20个元素，中有8个元素
所以有个元素.
所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为
故选：B
2．C
【详解】
解：因为前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出且第二天没有售出的商品有（种；同理第三天售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出；
所以三天商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，
此时商品总数是（种；
分别用集合、、表示第一、第二和第三天售出的商品，则商品数最少时，
如图所示．
故选：C．
3．B
【详解】
设既选择篮球小组又选择乒乓球小组的有人，则选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的有人，选择乒乓球小组但没有选择篮球小组的有人.由题意可得，解得，所以选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的人数为.
4．D
【详解】
设既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有名，
由容斥原理得，解得.
故选：D.
5．B
【详解】
如下图所示，设调查的学生中去过中共一大会址研学旅行的学生人数为，
由题意可得，解的，
因此，该学校到过中共一大会址研学旅行的学生的人数为.
6．C
【详解】
用集合表示除草优秀的学生，表示植树优秀的学生，全班学生用全集表示，则表示除草合格的学生，则表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，
设两个项目都优秀的人数为，两个项目都是合格的人数为，由图可得，，因为，所以．
故选：C．
7．B
【详解】
选择物理的学生人数为，
即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为．
故选：
8．C
【详解】
根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，
因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值，故选C.
9．A
【详解】
解：设农户总共为100家，则有55家农户有电视机，45家农户有电冰箱，65家农户有洗衣机，有25家农户同时拥有这三种电器，
另外75家只有其中两种或一种或没有电器．
设只有电冰箱和电视机的农户有a家，只有电冰箱和洗衣机的农户有b家，只有洗衣机和电视机的农户有c家，
只有电视机、电冰箱、洗衣机的分别有d、e、f家，没有任何电器的农户有x家．
那么对于拥有电冰箱的农户可得出：
那么对于拥有电视机的农户可得出：
那么对于拥有洗衣机的农户可得出：
把上面三个式子相加可得：
对于拥有上述三种电器的任意两种的占，
得到：
把代入可得到
因为农户共有100家，
所以，
把和代入上式得到，
即一种电器也没有的农户所占比例为，
10．C
【详解】
解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为，，，集合，，中元素个数分别为A．，B．，C．，
则A．，B．，C．，，
因为A．B．C．，且，，，
所以，即．
故选：．
11．
【详解】
解：设参加羽毛球赛为集合，参加乒乓球赛为集合，
依题意可得如下韦恩图：
所以该班一共有人；
故答案为：
12．23
【详解】
由题意，15名参加田赛的同学中有7名没有参加径赛，20名参加径赛的同学中有12名没有参加田赛，
所以参加田赛和径赛的同学共有人，
综上，该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为人.
13．12
【详解】
设会骑车的人组合的集合为，会驾车的人组成的集合为，
既会骑车也会驾车的人组成的集合为集合,
易知，
记表示集合中的元素个数，
则有，
所以既不会骑车也不会驾车的人为.
故答案为：12
14．
【详解】
设该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生人数为，
以集合表示该班集体，集合表示参加数学竞赛的学生组成的集合，
集合表示参加物理竞赛的学生组成的集合，如下图所示：
由题意可得，解得.
故答案为：.
15．7
【详解】
设既不喜欢打羽毛球，又不喜欢打篮球的学生的人数为y，则，即，因为，所以.因为，所以.
故答案为：.
16．##0.7
【详解】
根据题意，将使用过移动支付 共享单车的人数用如图所示的韦恩图表示，
所以该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为.
故答案为：.
17．
【详解】
设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，同时参加数学和化学小组的人数为，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为，如图所示：
由图可知：，解得，
所以同时参加数学和化学小组有人.
故答案为：.
18．
【详解】
人这两项运动都不喜欢，喜欢一项或两项运动的人数为人；
喜欢两项运动的人数为：人，
喜欢篮球的人数为人；喜欢乒乓球的人数为人；
只喜欢其中一项运动的人数为人.
故答案为：.
19．
【详解】
以集合、、表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，如下图所示：
设同时参加这三个兴趣小组的同学有人，由图可得，解得.
故答案为：.
20．5
【详解】
参加唱歌、跳舞、讲故事的人分别用集合表示，作出图，如图，
图中字母表示相应区域人数，则，
又，，，，，，
则，
∴，
∴同时只参加跳舞和讲故事的人数为5人．
故答案为：5．
21．
【详解】
赞成的人数为，赞成的人数为，
设对、都赞成的学生有，则，解得.
故答案为：18.
22．3
【详解】
把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三
支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，
观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有(人)，
因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有(人)，
因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有(人)，
因此，至少看了一支短视频的有(人)，
所以没有观看任何一支短视频的人数为

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