资源简介

和差化积与积化和差公式、万能公式
【知识点讲解】
1、积化和差公式
cos α·cos β＝；
sin α·sin β＝－；
sin α·cos β＝；
cos α·sin β＝．
2、和差化积公式
sin α＋sin β＝2sin cos ；
sin α－sin β＝2cos sin ；
cos α＋cos β＝2cos cos ；
cos α－cos β＝－2sin sin ．
3、万能公式
sin α＝；cos α＝；tan α＝．
4、解题导语
使用这类公式时首先要确保公式记忆正确，其实在记忆时记住关键结构再比较各种公式的不同即可有效记忆。同时，在实际应用中要考虑两角和、两角差是否为一个特殊值再进行使用，不要盲目使用！
【例题讲解】
【例1】已知.求证：.
【分析】由，结合万能公式化简可得结果.
【详解】.
【跟踪训练1】已知，，求的值．
【答案】
【分析】先用万能公式求出的值，再根据得出，最后联立可求得答案.
【详解】，则有①，
又已知，从而有②．
联立①②可得，．
∴．
【例2】计算：
(1)cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°；
(2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用和差化积公式计算；（2）利用积化和差公式计算.
【解析】(1)原式＝cos 20°＋＋(cos 100°＋cos 140°)
＝cos 20°＋＋2cos 120°cos 20°＝cos 20°＋－cos 20°＝.
(2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°
＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°)
＝－sin 50°＋cos 40°＝－sin 50°＋sin 50°＝.
【跟踪训练2】利用和差化积公式，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)； (2)0； (3).
【分析】(1)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算得解.
(2)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值结合诱导公式求解作答.
(3)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值结合诱导公式求解作答.
【解析】
(1).
(2).
(3)
.
【对点训练】
一、单选题
1．已知，且，若，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【详解】，，，且，设，
则，故函数在，上单调递增，且是的一个零点．
，即．
根据，，故也是的一个零点，，
，
，或（舍去），
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】.
3．已知角的大小如图所示，则（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【详解】由图可知， ，
；
4．cos15° sin 105°=（ ）
A．+ B．-
C．+1 D．-1
【答案】A
【详解】
5．若， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，
所以，因为，
所以，
所以，所以，
6．已知锐角满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由得，所以，
又，所以，
由，解得，或（舍去，此时不是锐角），
，是锐角，，
，则，
所以．
7．若，，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【详解】
因为，，所以且，
解得，所以.
二、多选题
8．下列关系式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】由，
，
，
，
代入前三项，得，A正确，
B错误，右边应是
C错误，右边应是
选项D，等号右边
，故选项D正确，
三、填空题
9．已知为锐角且，则的值是________．
【答案】或-0.6
【详解】
由，
得，
解得，或.
因为为锐角，故.
10．____．
【答案】或 0.5
【详解】
原式
.
11．若，则的值为________.
【答案】
【详解】解：∵，
∴.
12．已知，则______.
【答案】.
【详解】
令，则，且，所以.
13．已知，则________．
【答案】
【详解】因为，由诱导公式得：
所以．
，
．
14．已知则的值为______.
【答案】
【详解】，
所以，
，
所以．
15．利用和差化积和积化和差公式完成下面的问题：已知，，则___________.
【答案】
【详解】
，可得；，可得；
则；.
16． _____．
【答案】或
【详解】
．
四、双空题
17．已知角的终边在直线上，则___________；___________.
【答案】 或0.5 或0.8
【详解】
由直线的斜率为，则，
又.
18．已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则tan(α＋β)＝________，cos(α－β)＝________.
【答案】 或
【详解】
，
即①，
，
即②，
①②两式相除得，
则；
，
，
两式相加可得，
.
五、解答题
19．把下列各式化成积的形式：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【解析】
(1)解：
(2)解：
；
(3)解：；
(4)解：.
20．利用积化和差公式，求下列各式的值：
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：由积化和差公式得： ，
；
(2)由积化和差公式得：，
，
，
，
.
21．计算:sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°.
【答案】
【详解】
．
证明下列各恒等式：
22．；
23．；
24．．
【解析】
(1)
，
故成立.
(2)
，
故成立.
(3)
，
故.
25．把下列各式化为积的形式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
(1)
(2)
(3)
(4)和差化积与积化和差公式、万能公式
【知识点讲解】
1、积化和差公式
cos α·cos β＝；
sin α·sin β＝－；
sin α·cos β＝；
cos α·sin β＝．
2、和差化积公式
sin α＋sin β＝2sin cos ；
sin α－sin β＝2cos sin ；
cos α＋cos β＝2cos cos ；
cos α－cos β＝－2sin sin ．
3、万能公式
sin α＝；cos α＝；tan α＝．
4、解题导语
使用这类公式时首先要确保公式记忆正确，其实在记忆时记住关键结构再比较各种公式的不同即可有效记忆。同时，在实际应用中要考虑两角和、两角差是否为一个特殊值再进行使用，不要盲目使用！
【例题讲解】
【例1】已知.求证：.
【跟踪训练1】已知，，求的值．
【例2】计算：
(1)cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°；
(2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.
【跟踪训练2】利用和差化积公式，求下列各式的值：
(1)；(2)；
(3)．
【对点训练】
一、单选题
1．已知，且，若，则（ ）
A． B． C． D．3
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知角的大小如图所示，则（ ）
A． B．5 C． D．
4．cos15° sin 105°=（ ）
A．+ B．- C．+1 D．-1
5．若， ，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知锐角满足，则（ ）
A． B． C． D．
7．若，，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．
二、多选题
8．下列关系式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．已知为锐角且，则的值是________．
11．若，则的值为________.
12．已知，则______.
13．已知，则________．
14．已知则的值为______.
15．利用和差化积和积化和差公式完成下面的问题：已知，，则___________.
16． _____．
四、双空题
17．已知角的终边在直线上，则___________；___________.
18．已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则tan(α＋β)＝________，cos(α－β)＝________.
五、解答题
19．把下列各式化成积的形式：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
20．利用积化和差公式，求下列各式的值：
(1)；(2)．
21．计算:sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°.
证明下列各恒等式：
22．；
23．；
24．．
25．把下列各式化为积的形式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．

展开更多......

收起↑