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2021-2022学年广东省深圳实验学校八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）关于x的一元一次不等式x﹣3＜0的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）分式方程的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣3
4．（3分）若直角三角形的斜边长为12，则斜边上的中线长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（3分）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（　　）
A．α﹣β＝0 B．α﹣β＜0
C．α﹣β＞0 D．无法比较α与β的大小
6．（3分）平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝110°，则∠B＝（　　）
A．70° B．110° C．125° D．130°
7．（3分）一次函数y＝mx﹣n的图象如图所示，则关于x的不等式mx﹣n＜0的解集是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3
8．（3分）已知多项式x2﹣x+m因式分解后得到一个因式为x+2，则m的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
9．（3分）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，O是BD的中点，E为AD边上一点，且有AE＝OB＝2．连接OE，若∠AEO＝75°，则DE的长为（　　）
A． B． C．2 D．2﹣2
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：y2+6y+9＝　 　．
12．（3分）方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　 　．
13．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组满足x﹣y＞0，则a的取值范围是 　 　．
14．（3分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点C顺时针旋转到△A1B1C，使点B1落在AC上，那么∠AA1B1的度数是 　 　°．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是AD上一点，连接CE，交BD于点F，若AB＝BF，则∠AEF＝　 　°．
三、解答题（共7小题）
16．（9分）计算：
（1）解不等式组；
（2）先化简，再求值：，其中a＝2，b＝1．
17．（7分）如图，已知三角形ABC，把三角形ABC先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形A′B′C′．
（1）在图中画出三角形A′B′C′，并写出A′，B′，C′的坐标；
（2）在y轴上是否存在一点P，使得三角形BCP与三角形ABC面积相等？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（7分）如图所示，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE，并延长CE交BA的延长线于点F，已知AE＝DE，FE＝CE．
（1）求证：△AEF≌△DEC；
（2）若AD∥BC，求证：四边形ABCD为平行四边形．
19．（7分）某商场一月份的销售额为125万元，二月份的销售额下降了20%，商场从三月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了144万元．
（1）求二月份的销售额；
（2）求三、四月份销售额的平均增长率．
20．（7分）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE．
（1）求证：AC＝DE；
（2）若F为BC的中点，连接OF，AC＝5，OF＝2，求△BDE的周长．
21．（9分）阅读：
对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为﹣（a+b），所以关于x的方程x+＝a+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程x+＝q的两个解分别为x1＝﹣2、x2＝3，则p＝　 　，q＝　 　；
（2）方程x+＝8的两个解中较大的一个为 　 　；
（3）关于x的方程2x+＝2n的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．（用含有字母n式表示）
22．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB边于点E，EF∥BC，交CD于点F，点G是BC边的中点，连接GF，且∠1＝∠2，CE与GF交于点M，过点M作MH⊥CD于点H．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CH＝1，求BC的长；
（3）求证：EM＝FG+MH．
2021-2022学年广东省深圳实验学校八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）关于x的一元一次不等式x﹣3＜0的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来，即可得出选项．
【解答】解：x﹣3＜0，
移项得：x＜3，
在数轴上表示为：
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能正确在数轴上表示不等式的解集是解此题的关键．
3．（3分）分式方程的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2＝x﹣1，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入得：x﹣1≠0，
∴分式方程的解为x＝3．
故选：C．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
4．（3分）若直角三角形的斜边长为12，则斜边上的中线长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求解．
【解答】解：∵直角三角形的斜边长为12，
∴斜边上的中线长为12×＝6．
故选：A．
【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
5．（3分）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（　　）
A．α﹣β＝0 B．α﹣β＜0
C．α﹣β＞0 D．无法比较α与β的大小
【分析】利用多边形的外角和都等于360°，即可得出结论．
【解答】解：∵任意多边形的外角和为360°，
∴α＝β＝360°．
∴α﹣β＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，正确利用任意多边形的外角和为360°解答是解题的关键．
6．（3分）平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝110°，则∠B＝（　　）
A．70° B．110° C．125° D．130°
【分析】根据平行四边形的性质可知∠A＝∠C，再根据邻角互补即可求出∠B．
【解答】解：在 ABCD中，∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝110°，
∴∠A＝∠C＝55°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝125°，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质是解题关键．
7．（3分）一次函数y＝mx﹣n的图象如图所示，则关于x的不等式mx﹣n＜0的解集是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3
【分析】由y＝mx﹣n的图象，根据数形结合即可直接得出答案．
【解答】解：由图象知：不等式mx﹣n＜0的解集是x＞3，
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的知识点，解答本题的关键是进行数形结合，此题比较简单．
8．（3分）已知多项式x2﹣x+m因式分解后得到一个因式为x+2，则m的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
【分析】令x+2＝0，求出x的值，代入多项式计算求出m的值即可．
【解答】解：令x+2＝0，即x＝﹣2，
把x＝﹣2代入多项式得：4﹣（﹣2）+m＝0，
解得：m＝﹣6．
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．
9．（3分）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【分析】根据实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，O是BD的中点，E为AD边上一点，且有AE＝OB＝2．连接OE，若∠AEO＝75°，则DE的长为（　　）
A． B． C．2 D．2﹣2
【分析】连接AC，OE，根据矩形的性质可得AC＝4，由∠AEO＝75°，可得∠EAO＝30°，进而利用含30度角的直角三角形即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AC，OE，
在矩形ABCD中，
∵O是BD的中点，
∴OA＝OB，
∵AE＝OB＝2．
∴AE＝OA＝2．
∴AC＝4，
∵∠AEO＝75°，
∴∠EAO＝30°，
∴CD＝AC＝2，
∴AD＝CD＝2，
∴DE＝AD﹣AE＝2﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：y2+6y+9＝　（y+3）2　．
【分析】利用完全平方公式进行分解，即可得出答案．
【解答】解：y2+6y+9＝（y+3）2，
故答案为：（y+3）2．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式的特点是解决问题的关键．
12．（3分）方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　1　．
【分析】由题可得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，即可得m的值．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，
解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，若一元二次方程有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＞0；若一元二次方程有两个相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＝0；若一元二次方程没有实数根，则Δ＝b2﹣4ac＜0．
13．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组满足x﹣y＞0，则a的取值范围是 　a＞1　．
【分析】根据方程组的特点，用第一个方程减第二个方程，即可得到x﹣y＝3a﹣3，再根据x﹣y＞0，即可得到3a﹣3＞0，从而可以求得a的取值范围．
【解答】解：，
①﹣②，得
x﹣y＝3a﹣3，
∵x﹣y＞0，
∴3a﹣3＞0，
解得a＞1，
故答案为：a＞1．
【点评】本题考查解一元一次不等式、二元一次方程组的解，比较简单．
14．（3分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点C顺时针旋转到△A1B1C，使点B1落在AC上，那么∠AA1B1的度数是 　15　°．
【分析】根据旋转的性质，可得对应角相等，对应线段相等，根据等腰三角形的性质，可得∠AA1C与∠A1AC的关系，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ACB＝∠B＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
由旋转得：∠ACA1＝∠ACB＝70°，AC＝A1C，
∴∠AA1C＝（180°﹣70°）÷2＝55°，
∵∠B1A1C＝∠BAC＝40°，
∴∠AA1B1＝∠AA1C﹣∠B1A1C＝55°﹣40°＝15°，
故答案为：15．
【点评】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，理解旋转前后的两个图形全等是解题关键．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是AD上一点，连接CE，交BD于点F，若AB＝BF，则∠AEF＝　112.5　°．
【分析】由题意可得AB＝BC，AD∥BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，则BF＝BC，∠BFC＝∠BCF＝＝67.5°，根据AD∥BC，可得∠DEF＝67.5°，再根据邻补角的定义可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，AD∥BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵AB＝BF，
∴BF＝BC，
∴∠BFC＝∠BCF＝＝67.5°，
∵AD∥BC，
∴∠BCF＝∠DEF＝67.5°，
∴∠AEF＝180°﹣∠DEF＝112.5°．
故答案为：112.5．
【点评】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解答本题的关键．
三、解答题（共7小题）
16．（9分）计算：
（1）解不等式组；
（2）先化简，再求值：，其中a＝2，b＝1．
【分析】（1）解出每个式子的解集后，求其交集即可；
（2）先通分，再约分，化简后代入求值即可．
【解答】解：（1），
解得：，
故解集为﹣1＜x＜2；
（2）＝×＝＝，
将a＝2，b＝1，
原式＝．
【点评】本题考查了不等式解集和分式化简求值，关键在于正确运用法则进行计算．
17．（7分）如图，已知三角形ABC，把三角形ABC先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形A′B′C′．
（1）在图中画出三角形A′B′C′，并写出A′，B′，C′的坐标；
（2）在y轴上是否存在一点P，使得三角形BCP与三角形ABC面积相等？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）设点P（0，m），构建方程求解即可．
【解答】解：（1）如图，三角形A′B′C′即为所求．A′（1，4），B′（0，1），C′（4，1）；
（2）设点P（0，m），则有×4×|m+2|＝×4×3，
解得，m＝1或﹣5，
∴P（0，1）或（0，﹣5）．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题．
18．（7分）如图所示，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE，并延长CE交BA的延长线于点F，已知AE＝DE，FE＝CE．
（1）求证：△AEF≌△DEC；
（2）若AD∥BC，求证：四边形ABCD为平行四边形．
【分析】（1）利用SAS定理证明△AEF≌△DEC；
（2）根据全等三角形的性质得到∠AFE＝∠DCE，得到AB∥CD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明结论．
【解答】证明：（1）在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（SAS）；
（2）∵△AEF≌△DEC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
19．（7分）某商场一月份的销售额为125万元，二月份的销售额下降了20%，商场从三月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了144万元．
（1）求二月份的销售额；
（2）求三、四月份销售额的平均增长率．
【分析】（1）利用二月份的销售额＝一月份的销售额×（1﹣20%），即可求出结论；
（2）设三、四月份销售额的平均增长率为x，利用四月份的销售额＝二月份的销售额×（1+平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）125×（1﹣20%）＝125×80%＝100（万元）．
答：二月份的销售额为100万元．
（2）设三、四月份销售额的平均增长率为x，
依题意得：100（1+x）2＝144，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：三、四月份销售额的平均增长率为20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（7分）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE．
（1）求证：AC＝DE；
（2）若F为BC的中点，连接OF，AC＝5，OF＝2，求△BDE的周长．
【分析】（1）由矩形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，根据平行四边形的判定定理和性质定理即可得到结论；
（2）先根据中位线定理证明OF∥CD，得∠OFB＝90°，由勾股定理可得BF的长，最后由三角形周长可解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵CE＝BC，
∴AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝5，
∴DE＝5，
∵OB＝OD＝，F是BC的中点，
∴OF∥CD，
∴∠OFB＝∠BCD＝90°，
由勾股定理得：BF＝＝，
∴BC＝CE＝2BF＝3，
∴△BDE的周长＝BE+BD+DE＝6+5+5＝16．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的判定，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
21．（9分）阅读：
对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为﹣（a+b），所以关于x的方程x+＝a+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程x+＝q的两个解分别为x1＝﹣2、x2＝3，则p＝　﹣6　，q＝　1　；
（2）方程x+＝8的两个解中较大的一个为 　7　；
（3）关于x的方程2x+＝2n的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．（用含有字母n式表示）
【分析】（1）利用题干中的方法解答即可；
（2）将原方程变形为题干中的模式，利用题干中的方法解答即可；
（3）利用换元的思想，把2x﹣1看成一个未知数，将原方程变形，利用（2）值的方法解答即可．
【解答】解：（1）∵方程x+＝q的两个解分别为x1＝﹣2、x2＝3，
∴x+＝﹣2+3，
即：x+＝1．
∴p＝﹣6，q＝1．
故答案为：﹣6；1；
（2）∵方程x+＝8，
∴x+＝7+1，
∴关于x的方程x+＝7+1有两个解，分别为x1＝7，x2＝1，
∴方程x+＝8的两个解中较大的一个为7，
故答案为：7；
（3）关于x的方程2x+＝2n就是：
2x﹣1+＝2n﹣1，
∴2x﹣1+＝n+n﹣1．
∴2x﹣1＝n或2x﹣1＝n﹣1，
∴x＝或x＝．
∵x1＜x2，
∴x1＝，，
∴原式＝＝．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，本题是阅读型题目，理解题干中的方法并熟练应用是解题的关键．
22．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB边于点E，EF∥BC，交CD于点F，点G是BC边的中点，连接GF，且∠1＝∠2，CE与GF交于点M，过点M作MH⊥CD于点H．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CH＝1，求BC的长；
（3）求证：EM＝FG+MH．
【分析】（1）由在平行四边形ABCD中，EF∥BC，可得四边形BCFE是平行四边形，又由CE平分∠BCD，易得△BCE是等腰三角形，继而证得四边形BCFE是菱形；
（2）由∠1＝∠2，可得∠ECF＝∠2，即△CMF是等腰三角形，又由MH⊥CD，可得CF＝2CH，继而求得BC的长；
（3）首先连接BF交CE于点O，易得△BCF是等边三角形，继而可得OM＝MH，OE＝FG，则可证得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠ECF，
∵EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠ECF，
∴∠BCE＝∠1，
∴BC＝BE，
∴四边形BCFE是菱形；
（2）∵∠1＝∠ECF，∠1＝∠2，
∴∠ECF＝∠2，
∴CM＝FM，
∵MH⊥CD，
∴CF＝2CH＝2×1＝2，
∵四边形BCFE是菱形；
∴BC＝CF＝2；
（3）连接BF交CE于点O，
∵G是BC中点，
∴CG＝CB，
∵CH＝CF，
∴CG＝CH，
在△CGM和△CHM中，
，
∴△CGM≌△CHM（SAS），
∴∠CGM＝∠CHM＝90°，
即FG⊥BC，
∴CF＝BF，
∵BC＝CF，
∴BC＝CF＝BF，
∴△BCF是等边三角形，
∴∠BFC＝60°，
∴∠2＝∠BFG＝30°，
∵BF⊥CE，
∴OM＝MH，
∵OE＝OC＝FG，
∴EM＝FG+MH．
【点评】此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

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