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第4节　三角函数的图象与性质　
[课题要求]　三角函数性质：①能画出三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；②借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在上的性质．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R ，且x≠kπ＋
值域 [－1，1] [－1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 ， [2kπ－π，2kπ] ，
递减区间 ， [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
(一)必背常用结论
(1)函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)函数y＝A cos (ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)函数y＝A cos (ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ(k∈Z)．
(二)盘点易错易混
1．忽视正切函数自身的定义域；
2．忽视ω的正负对单调性的影响；
3．忽视正、余弦函数的有界性。
【小题热身】
1．(一题多法)函数f(x)＝sin 的图象的一条对称轴是(　　)
A．x＝　　　　　　　　　B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
解析：法一　∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，
故令x－＝kπ＋，k∈Z，∴x＝kπ＋，k∈Z．
取k＝－1，则x＝－．
法二　用验证法．
x＝时，y＝sin ＝0，不合题意，排除A；
x＝时，y＝sin ＝，不合题意，排除B；
x＝－时，y＝sin ＝－1，符合题意，C项正确；
x＝－时，y＝sin ＝－，不合题意，故D项也不正确．
答案：C
2．函数f(x)＝－2tan 的定义域是(　　 )
A．
B．
C．
D．
解析：由2x＋≠kπ＋，k∈Z，
得x≠＋，k∈Z．
答案：D
3．[易错题]函数y＝cos 的单调递减区间为______________．
解析：由y＝cos ＝cos ，
得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数的单调递减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
4．若函数f(x)＝sin (φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝________．
解析：由已知f(x)＝sin 是偶函数，可得＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，
又φ∈[0，2π]，所以φ＝．
答案：
5．函数y＝3－2cos 的最大值为________，此时x＝________．
解析：函数y＝3－2cos 的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)．
答案：5　＋2kπ(k∈Z)
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__三角函数的定义域和值域[自主演练]
1．函数y＝的定义域为________．
解析：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0．利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．
在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为
．
答案：(k∈Z)
2．(2021·山东青岛一模)函数y＝2sin －(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)
A．2－　　　　　　　　　B．0
C．－1 D．－1－
解析：因为0≤x≤9，所以－≤－≤，
所以－≤sin ≤1，则－≤y≤2．
所以ymax＋ymin＝2－．
答案：A
3．(2021·湖南长沙一模)函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x的值域为______________．
解析：设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cos x，∴sin x cos x＝，且－≤t≤．
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，]．
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－．
∴函数的值域为．
答案：
[思维升华]　1．求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝a sin x＋b cos x＋c的三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝a sin 2x＋b sin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
考点2__三角函数的周期性、奇偶性与对称性[典例引领]
【例1】　(1)(2022·湖北黄冈一模)若函数f(x)＝2tan (kx＋)的最小正周期T满足1(2)若函数y＝cos (ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为________．
(3)已知函数f(x)＝3sin ，φ∈(0，π)．若f(x)为偶函数，则φ＝________；若f(x)为奇函数，则φ＝________．
解析：(1)由题意得1<<2，k∈N，
∴(2)由题意知＋＝kπ＋(k∈Z)，
∴ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，∴ωmin＝2．
(3)因为f(x)＝3sin 为偶函数，
所以－＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
又因为φ∈(0，π)，所以φ＝．
因为f(x)＝3sin 为奇函数，
所以－＋φ＝kπ(k∈Z)，又φ∈(0，π)，所以φ＝．
答案：(1)2或3　(2)2　(3)　
[思维升华]　1．对于函数y＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．
2．求三角函数周期的方法
(1)利用周期函数的定义．
(2)利用公式：y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为．
3．三角函数奇偶性的判断方法
三角函数中判断奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx的形式．判断偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋b的形式．
[对点练]　1．(多选)下列函数，最小正周期为π的偶函数有(　　 )
A．y＝tan x
B．y＝|sin x|
C．y＝2cos x
D．y＝sin
解析：函数y＝tan x的最小正周期为π，且该函数为奇函数，故排除A；
函数y＝|sin x|的最小正周期为π，且该函数为偶函数，故B满足条件；
函数y＝2cos x的最小正周期为2π，且该函数为偶函数，故C不满足条件，故排除C；
函数y＝sin ＝cos 2x的最小正周期为＝π，且该函数为偶函数，故D满足条件，故选BD．
答案：BD
2．(多选)(2021·辽宁大连模拟)已知函数f(x)＝sin x cos x＋(1－2sin 2x)，则有关函数f(x)的说法正确的是(　　 )
A．f(x)的图象关于点(，0)对称
B．f(x)的最小正周期为π
C．f(x)的图象关于直线x＝对称
D．f(x)的最大值为
解析：由题可知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin ．当x＝时，2x＋＝π，故函数f(x)的图象关于点对称，故A正确；函数f(x)的最小正周期T＝＝π，故B正确；当x＝时，2x＋＝，所以函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，故C错误；函数f(x)的最大值为1，故D错误．
答案：AB
考点3__三角函数的单调性[多维讲练]
三角函数的单调性是高考的高频考点，可单独命题，也可与三角函数图象及三角恒等变换相结合，考查求三角函数的单调区间、利用单调性比较大小、由单调区间求参数等，以选择题、填空题为主，难度中等偏下。应熟练掌握三角函数图象与性质，凸显直观想象和数学运算核心素养．
角度1　求三角函数的单调区间
【例2】　(1)函数f(x)＝sin 的单调递减区间为______________．
(2)函数f(x)＝tan 的单调递增区间是______________．
(3)函数y＝sin x＋cos x的单调递增区间是________．
解析：(1)f(x)＝sin
＝sin ＝－sin ，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z．
故所求函数的单调递减区间为
，k∈Z．
(2)由kπ－<2x＋得－所以函数f(x)＝tan 的单调递增区间为(k∈Z)．
(3)因为y＝sin x＋cos x＝sin ，
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
所以函数y＝sin 在R上的单调递增区间为(k∈Z)，
又x∈，所以函数的单调递增区间为．
答案：(1)，k∈Z
(2)(k∈Z)　(3)
[思维升华]　求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝A sin (ωx＋φ)形式，再求y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．
角度2　根据单调性求参数
【例3】　 (2022·湖南师大附中月考)若函数f(x)＝2·sin ωx cos ωx＋2sin 2ωx＋cos 2ωx在区间上单调递增，则正数ω的最大值为(　　 )
A． B．
C． D．
解析：因为f(x)＝2sin ωx cos ωx＋2sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋1，
在区间上单调递增，
所以解得ω≤，
所以正数ω的最大值是．故选B．
答案：B
[思维升华]　(1)已知三角函数解析式求单调区间，求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
[对点练]　1．函数g(x)＝－cos (－2x＋)的单调递增区间为__________．
解析：g(x)＝－cos ＝－cos ，
欲求函数g(x)的单调递增区间，
只需求函数y＝cos 的单调递减区间．
由2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
因为x∈，
所以函数g(x)的单调递增区间为
，．
答案：，
2．函数f(x)＝sin (ω＞0)在上单调递增，且图象关于直线x＝－π对称，则ω的值为________．
解析：因为函数f(x)＝sin (ω＞0)在上单调递增，所以
得0＜ω≤．又函数f(x)＝sin (ω＞0)的图象关于直线x＝－π对称，所以－π·ω＋＝kπ＋(k∈Z)，得ω＝－k－(k∈Z)，又0＜ω≤，所以ω＝．
答案：
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养
三角函数性质的综合应用
综合考查三角函数的性质是高考的热点， 题型以选择题、填空题为主，难度中等，对逻辑推理能力、运算求解能力有较高要求．
【典例】(1)(多选)已知函数f(x)＝sin ，下列说法正确的是(　　 )
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
C．函数f(x)的图象关于点对称
D．函数f(x)在上单调递增
解析：对于A，f(x)的最小正周期为T＝＝π，所以A正确；
对于B，因为f＝sin ＝sin ＝1，所以直线x＝为f(x)的一条对称轴，所以B正确；
对于C，因为f(－)＝sin ＝sin ≠0，所以点不是f(x)的图象的对称点，所以C错误；
对于D，由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，所以f(x)在上不是单调递增，所以D错误．
答案：AB
(2)(2020·新课标卷Ⅲ)关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称．
②f(x)的图象关于原点对称．
③f(x)的图象关于直线x＝对称．
④f(x)的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
解析：对于命题①，f＝＋2＝，f＝－－2＝－，则f≠f，
所以，函数f的图象不关于y轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数f的定义域为，定义域关于原点对称，
f＝sin ＋＝－sin x－＝－＝－f，
所以，函数f的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，∵f＝sin ＋＝cos x＋，
f＝sin ＋＝cos x＋，则f＝f，
所以，函数f的图象关于直线x＝对称，命题③正确；
对于命题④，当－π答案：②③
[思维升华]　解决三角函数性质的综合应用问题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质，把握“图象”这一本质，数形结合求解．
[对点练]　1．已知函数f＝cos 2x－sin 2x，则下列四个结论中：
①f的周期为π．
②x＝是f图象的一条对称轴．
③是f的一个单调递增区间．
④f在区间上的最大值为2．
所有正确结论的序号是(　　 )
　　　　　　　　　　　　　　　　
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
解析：由题可知：f＝cos 2x－sin 2x＝2cos
所以T＝＝＝π，故①正确，
当x＝时，则f＝2cos ＝－，并没有得到最值，所以②错
当x∈时，所以
∈，
又函数y＝cos x在单调递增，所以是f的一个单调递增区间
故③正确，
当x∈时，所以∈，所以fmax＝2cos ＝
故④错．
答案：B
2．(2019·新课标卷Ⅲ)设函数f＝sin (ωx＋)(ω＞0)，已知f在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①f在(0，2π)有且仅有3个极大值点
②f在(0，2π)有且仅有2个极小值点
③f在(0，)单调递增
④ω的取值范围是[，)
其中所有正确结论的编号是(　　)
A．①④ B．②③
C．①②③ D．①③④
解析：当x∈[0，2π]时，ωx＋∈，
∵f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，
∴5π≤2πω＋<6π，
∴≤ω<，故④正确，
由5π≤2πω＋<6π，知ωx＋∈时，
令ωx＋＝，，时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
当x∈时，ωx＋∈，
若f(x)在单调递增，
则< ，即ω<3 ，
∵≤ω<，故③正确．
答案：D
课下巩固培优卷(二十一)
【A/基础巩固题组】
1．下列函数中，周期为2π的奇函数为(　　 )
A．y＝sin cos B．y＝sin 2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x
解析：y＝sin 2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶函数，故B、C、D都不正确，故选A．
答案：A
2．函数f(x)＝sin x－cos 的值域为(　　)
A．[－2，2] B．[－，]
C．[－1，1] D．
解析：将函数化为y＝A sin (ωx＋φ)的形式后求解．
∵f(x)＝sin x－cos
＝sin x－cos x cos ＋sin x sin
＝sin x－cos x＋sin x＝
＝sin (x∈R)，
∴f(x)的值域为[－，]．
答案：B
3．已知函数f(x)＝sin (0＜ω＜π)，f ＝0，则函数f(x)的图象的对称轴方程为(　　 )
A．x＝kπ－，k∈Z B．x＝kπ＋，k∈Z
C．x＝kπ，k∈Z D．x＝kπ＋，k∈Z
解析：f(x)＝sin ＝cos ωx，
则f ＝cos ＝0，
∵0＜ω＜π，∴ω＝，解得ω＝2，
即f(x)＝cos 2x．
由2x＝kπ，k∈Z得x＝kπ，k∈Z，故选C．
答案：C
4．(2022·安徽合肥六中模拟)已知函数f＝sin ωx(ω>0)在上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为x＝，则ω的值不可能是(　　 )
A．　　　B．　　　C．1　　　D．
解析：由题意得：
ω＝，1，．
答案：B
5．(多选)若函数f(x)＝cos x＋|cos x|，x∈R，则函数f(x)(　　 )
A．最小正周期为π
B．是区间[0，1]上的减函数
C．图象关于点(kπ，0)(k∈Z)对称
D．是周期函数且图象有无数条对称轴
解析：f(x)＝
(k∈Z)，对应图象如图．由图象知函数f(x)的最小正周期为2π，故A错误；函数f(x)在上为减函数，故B正确；函数f(x)的图象关于直线x＝2kπ(k∈Z)对称，故C错误；函数f(x)的图象有无数条对称轴，且周期是2π，故D正确．故选B、D．
答案：BD
6．函数y＝sin 的单调递减区间为________．
解析：y＝sin ＝－sin ，即求y＝sin 的单调递增区间，
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
则kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数的单调减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
7．函数y＝tan 的图象的对称中心是________．
解析：：由＋＝(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，即其对称中心为，k∈Z．
答案：，k∈Z
8．已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x＋1．
(1)当x∈时，求f(x)的最大值和最小值；
(2)求f(x)的单调区间．
解析：(1)f(x)＝sin 2x－cos 2x＋1
＝2sin (2x－)＋1．
∵≤x≤，∴≤2x≤π，∴≤2x－≤，
∴≤sin ≤1，∴1≤2sin ≤2，
∴2≤2sin ＋1≤3，
∴f(x)的最大值是3，最小值是2．
(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
即f(x)的单调增区间为，k∈Z．
同理由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得f(x)的单调减区间为，k∈Z．
【B/能力提升题组】
9．(2021·甘肃靖远模拟)函数f＝cos
在区间内单调递减，则ω的最大值为(　　 )
A．　　　B．　　　C．　　　D．6
解析：∵x∈，则－≤ωx－≤－，
因为函数f在区间内单调递减，则 ，
所以，，解得6k＋≤ω≤3k＋，
由6k＋≤3k＋，可得k≤，
因为k∈Z且ω>0，则k＝0，≤ω≤．
因此，正数ω的最大值为．
答案：B
10．(多选)(2021·山东聊城三模)已知函数f(x)＝|sin x|＋cos x，则下列正确的是(　　 )
A．2π为f(x)的周期
B．对于任意x∈R，函数f(x)都满足f(π＋x)＝f(π－x)
C．函数f(x)在上单调递减
D．f(x)的最小值为－
解析：根据题意，函数f(x)＝|sin x|＋cos x＝
依次分析选项：
A．f(x)＝|sin x|＋cos x，其最小正周期为2π，故A正确；
B．若f(π＋x)＝f(π－x)，则函数f(x)关于x＝π对称，
即f(2π＋x)＝f(－x)，
则f(2π＋x)＝|sin (x＋2π)|＋cos (x＋2π)＝|sin x|＋cos x，
f(－x)＝|sin (－x)|＋cos (－x)＝|sin x|＋cos x，
则f(2π＋x)＝f(－x)，即f(π＋x)＝f(π－x)成立，故B正确；
C．当x∈时，x＋∈，函数f(x)＝sin 单调递减，故C正确；
D．当2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z，f(x)＝sin x＋cos x＝sin ，
2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
此时f(x)∈[－1，]，
∵f(x)是偶函数，
∴函数f(x)值域为[－1，]，故D错误．
答案：ABC
11．(2021·八省联考)写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)＝________．
解析：基本初等函数中的既为周期函数又为奇函数的函数为y＝sin x，∴此题可考虑在此基础上调整周期使其满足题意．由此可知f(x)＝sin ωx且T＝ f(x)＝sin πx．
答案：sin πx
12．(2021·浙江宁波适考)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的图象关于点对称，关于直线x＝－对称，最小正周期T∈，则T＝________，f(x)的单调递减区间是________．
解析：由题意知＝T，即T＝，所以ω＝3，所以3·＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝kπ－，k∈Z，又0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝sin ．令2kπ＋≤3x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得＋≤x≤＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
答案：　(k∈Z)
13．(2021·山东泰安模拟)在①函数f为奇函数；②当x＝时，f(x)＝；③是函数f(x)的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)，f(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为π，________．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[0，2π]上的单调递增区间．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：∵函数f(x)的图象相邻对称轴间的距离为π，
∴T＝＝2π，∴ω＝1，∴f(x)＝2sin (x＋φ)．
选条件①．
∵f＝2sin 为奇函数，
∴φ－＝kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z．
(1)∵0<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin ．
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－π＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴令k＝0，得－≤x≤，令k＝1，得≤x≤，∴函数f(x)在[0，2π]上的单调递增区间为，．
选条件②．
f ＝2sin ＝，∴sin ＝，
∴φ＝2kπ，k∈Z或φ＝＋2kπ，k∈Z，
(1)∵0<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin ．
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－π＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴令k＝0，得－≤x≤，令k＝1，得≤x≤，
∴函数f(x)在[0，2π]上的单调递增区间为，．
选条件③．∵π是函数f(x)的一个零点，
∴f ＝2sin ＝0，∴φ＝kπ－，k∈Z．
(1)∵0<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin ．
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－π＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴令k＝0，得－≤x≤，令k＝1，得≤x≤，
∴函数f(x)在[0，2π]上的单调递增区间为，．

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