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高考大题专项突破(二)　三角函数、解三角形的综合问题
　
以三角函数、三角形为载体，以正、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查解三角形问题是高考的重点、热点题型，考查内容主要有正弦定理、余弦定理、三角形面积的计算、三角恒等变换和三角函数的性质．解题时通常交替使用正、余弦定理，利用函数与方程思想等进行求解．考查形式既有选择题、填空题，也有解答题，难度都是中等偏下，凸显逻辑推理和数学运算的核心素养．
题型一　三角函数与三角变换的综合
【例1】　已知函数f(x)＝2cos2＋sinx．
(1)在区间[0，π]中，求函数y＝f(x)的单调增区间；
(2)若f(α)＝，且－<α<，求sin 的值．
[思维点拨]　(1)结合降次公式和辅助角公式化简函数解析式，然后根据y＝sin x的单调区间求出y＝f(x)的所有单调递增区间，从而与[0，π]取交集即可求出结果；
(2)根据题意求出sin ＝，结合同角的平方关系求出cos ＝，再利用二倍角的正弦公式即可求出结果．
解：(1)f(x)＝2cos2＋sinx＝1＋cos x＋sin x＝2sin ＋1，
因为y＝sin x在
上单调递增，
所以－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，即－＋2kπ≤x≤＋2kπ，
当k＝0时，－≤x≤，结合x∈[0，π]得，所以在区间[0，π]中，求函数y＝f(x)的单调增区间为．
(2)f(α)＝2sin ＋1＝，所以sin ＝，因为－<α<，所以－<α＋<，所以cos ＝，
则sin ＝sin 2＝
2sin cos ＝2××＝．
[思维升华]　三角函数与三角变换的综合问题的解题思路
(1)利用三角恒等变换把函数解析式化为f(x)＝A sin (ωx＋4)＋k的形式；
(2)结合三角函数的图象与性质求解．
[对点练]　1．(2021·浙江宁波高三模拟)已知函数f＝sin2x＋sinxcos x．
(1)求函数y＝f的对称中心；
(2)若f＝，求sin 2α．
解：(1)由二倍角公式得f＝sin 2x－cos 2x＋，
故f＝sin ＋，
令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝kπ＋，k∈Z，
所以函数y＝f的对称中心是．
(2)由f＝，可得sin ＋＝，
可得sin ＝，
故sin 2α＝cos ＝1－2sin2＝－．
题型二　解三角形中的最值与范围问题
【例2】　在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2b－c＝2a cosC．
(1)求A；
(2)若△ABC为锐角三角形，c＝2，求b的取值范围．
[思维点拨]　(1)根据正弦定理即可解决．
(2)利用正弦定理表示出b，再根据是锐角三角形求出角C的范围即可得到b的取值范围．
解：(1)由正弦定理得：2sin B－sin C＝2sin A·cos C，
∵A＋B＋C＝π，∴sin B＝sin ，
∴2sin －sin C＝2sin A cos C＋2cos A sin C－sin C＝2sin A cos C，
整理可得：2cos A sin C＝sin C，
∵C∈，∴sin C≠0，∴cos A＝，又A∈，∴A＝．
(2)法一　∵△ABC为锐角三角形，A＝，
∴，即，
解得：由正弦定理可得：b＝＝＝＝1＋，
∵，则0<<，∴1<1＋<4，
即b的取值范围为．
法二　∵A＝，c＝2，
∴当C＝时，B＝，b＝1，
当B＝时，C＝，b＝4，
因为△ABC为锐角三角形，
所以b的取值范围为．
[思维升华]　求边的取值范围的一般思路
(1)利用正弦定理把边转化为角，利用三角函数的性质求出范围或最值．
(2)利用正、余弦定理把角转化为边，利用不等式求出范围或最值．
(3)利用几何图象的临界位置求范围或最值．
[对点练]　2．(2021·山东肥城模拟)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足2b sin A cos B＝sin B．
(1)求A；
(2)若a＝2，求周长l的取值范围．
解：(1)由正弦定理得2sin B sin A cos B＝
sin B，
因为0所以2sin A cos B＝2sin C－sin B，
即2sin A cos B＝2sin A cos B＋2sin B cos A－sin B，
解得cos A＝，
因为0(2)由正弦定理得＝＝＝4，
所以b＝4sin B，c＝4sin C，
所以l＝4＋2＝4＋2
＝4＋2＝
4＋2
＝4sin ＋2，
因为B∈，所以B＋∈，
所以sin ∈，
所以l∈．
题型三　三角函数和解三角形的综合应用
例3　(2021·广东珠海二中模拟)已知函数f(x)＝cos (x＋)＋sin x．
(1)利用“五点法”列表，并画出f(x)在上的图象；
(2)a，b，c分别是锐角△ABC中角A，B，C的对边．若a＝，f(A)＝，求△ABC面积的取值范围．
[思维点拨]
(1)由三角恒等变换得f＝sin ，再结合五点法列表作图．
(2)结合(1)和f(A)＝得A＝，进而由正弦定理得b＝2sin B，c＝2sin C，再根据面积公式并结合三角恒等变换求解．
解：(1)∵函数f(x)＝cos (x＋)＋sin x＝cos xcos －sin x sin ＋sin x
＝cos x＋sin x＝sin ，
利用“五点法”列表如下，
x＋ 0 π 2π
x －
y 0 1 0 －1 0
画出f(x)在上的图象，如图所示：
(2)在△ABC中，a＝，f(A)＝sin (A＋)＝，
可知A＋＝，或A＋＝，
解得A＝0或A＝，故A＝，
由正弦定理可知＝＝＝2，即b＝2sin B，c＝2sin C，
∴S＝bc sin A＝bc＝sin B sin C＝
sin B sin
∴S＝sin B＝sin B cos B＋sin2B
＝sin2B－cos 2B＋＝sin ＋，
∵ △ABC锐角三角形，∴ ∴<2B－<，∴∴S的取值范围是．
[思维升华]　三角函数和解三角形的综合问题的特点
(1)此类问题第(1)问一般都是利用三角恒等变换把函数解析式化为f(x)＝A sin (ωx＋4)＋k的形式，然后再研究三角函数的图象与性质；
(2)第(2)问一般是利用第(1)问的相关结论先求出一个角，再结合条件利用正、余弦定理求解．
[对点练]　3．(2021·湖北襄阳四中模拟)已知：f(x)＝sin (π＋x)·sin (x－)＋cos2(＋x)－
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝1，a＝2，求△ABC面积的最大值．
解：(1)因为f(x)＝sin(π＋x)sin (x－)＋cos2(＋x)－，
所以f(x)＝＋sin2x－
＝sin2x＋－＝sin 2x－cos 2x＝sin (2x－)，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，
所以f的单调递增区间：，(k∈Z)．
(2)因为f(A)＝1，所以f＝sin ＝1，
又因为A∈(0，π)，所以A＝，
在三角形ABC中，利用余弦定理得：cos A＝＝，
整理得：b2＋c2－4＝bc，又因为b2＋c2≥2bc，
所以b2＋c2－4≥2bc－4，即bc≥2bc－4，
所以bc≤4，当且仅当b＝c时等号成立，
S△ABC＝bc sin A＝bc．所以S△ABC≤，
当且仅当a＝b＝c＝2时，S△ABC取得最大值．
题型四　发散思维在解三角形中的应用(结构不良)
【例4】　(2020·新高考全国卷Ⅰ)在①ac＝，②c sin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：方案一　选条件①．
由C＝和余弦定理得＝．
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b．
于是＝，由此可得b＝c．
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1．
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1．
方案二　选条件②．
由C＝和余弦定理得＝．
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b．
于是＝，
由此可得b＝c，B＝C＝，A＝．
由②c sin A＝3，得c＝b＝2，a＝6．
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2．
方案三　选条件③．
由C＝和余弦定理得＝．
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b．
于是＝，由此可得b＝c．
由于③c＝b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
[思维升华](1)所谓开放性试题是指条件不确定或者答案不唯一，具有多种解法，情境新颖，有别于传统的试题．
(2)解决此类问题要首先浏览一下所给的三个条件，选择一个与自己的思维最接近的一个进行解答，切忌在选择条件时犹豫不决，白白浪费时间．
[对点练]　4．已知△ABC的内角A，B，C的对边长分别等于a，b，c，列举如下五个条件：
①a sin B＝b cos ，②sin A－cos A＝1，③sin A＝sin 2A，④a＝2，⑤△ABC的周长等于6．
(1)请在①②③中选择其中一个条件作为依据，求角A的大小．(只需做出一种选择进行求解；多种选择的，按第一种选择评分．)
(2)在(1)的结论的基础上再在④⑤中选择其中一个作为添加条件，求△ABC面积的最大值．
解：(1)：若选择①，由正弦定理得sin A sin B＝sin B cos ，
由sin B≠0得：sin A＝cos ＝cos ＝sin ，
所以2sin cos ＝sin ≠0(0<<)，
则cos ＝，所以＝，即A＝．
若选择②，则2sin ＝1，
所以sin ＝，
因为A∈(0，π)，所以A－∈，
所以A－＝，即A＝．
若选择③，则sin A＝2sin A cos A，
因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，
所以cos A＝，即A＝．
(2)若选择添加④作为条件，用余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cos A，
所以4＝b2＋c2－2bc·cos ≥2bc－bc＝bc，
可得bc≤4，当且仅当b＝c时取等号，
则＝4．
所以S△ABC＝bc·sin A≤2·＝，
则＝．
若选择添加⑤作为条件，用余弦定理，
6＝b＋c＋≥2＋＝3(当且仅当b＝c时取等号)，
则≤2，所以bc≤4．
所以S△ABC＝bc·sin A≤2·＝，则＝．
专项突破练(二)
1．(2021·陕西百校联考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
(1)若A≠，且c sin 2A＝4cos A sin C，求a的值；
(2)若sin A，sin B，sin C成等差数列，求B的最大值．
解：(1)因为c sin 2A＝4cos A sin C，所以2c sin A cos A＝4cos A sin C，
因为A≠，所以cos A≠0，所以c sin A＝2sin C，
所以c＝＝，所以a＝2．
(2)因为sin A，sin B，sin C成等差数列，所以2sin B＝sin A＋sin C，由正弦定理可得2b＝a＋c，
由余弦定理可得cos B＝＝＝＝－．
因为>0，>0，所以cos B＝－≥×2－＝，当且仅当＝，即a＝c时，“＝”成立．因为cos B<1，所以cos B∈，因为B∈(0，π)，(角B的范围要写上)
所以B∈，所以B的最大值为．
2．(2021·广东惠州模拟)已知△ABC的内角A，B，C满足＝．
(1)求角A；
(2)若△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积S的最大值．
解：(1)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由正弦定理和已知条件，得＝，
化简得b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理得cos A＝＝，
∵0(2)记△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得＝2R，得a＝2R sin A＝2sin ＝，
由余弦定理得a2＝3＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，
即bc≤3(当且仅当b＝c时取等号)
故S＝bc sin A≤×3×＝(当且仅当b＝c时取等号)．
即△ABC的面积S的最大值为．
3．(2021·湖北武昌调研)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin B cos B＋b cos A sin B＝c．
(1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．
解：(1)由正弦定理，知sin A sin B cos B＋sin B cos A sin B＝sin C，
即sin B sin (A＋B)＝sin C，
因为sin (A＋B)＝sin C>0，所以sin B＝，
所以B＝．
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，
得4＝a2＋c2－2ac cos ，
所以4＝a2＋c2－ac≥ac，当且仅当a＝c时取等号．
所以ac≤4，所以S△ABC＝ac sin B≤，
即△ABC的面积的最大值为．
4．(2021·山东东营质检)已知函数f(x)＝－2sin x cos x－2cos2x＋m在R上的最大值为3．
(1)求m的值及函数f(x)的单调递增区间；
(2)若锐角△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且f(A)＝0，求的取值范围．
解：(1)f(x)＝1－sin2x－(1＋cos 2x)＋m
＝－(sin 2x＋cos 2x)＋m＝－2sin ＋m．
由已知得2＋m＝3，所以m＝1，因此f(x)＝－2sin ＋1．
令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z．
因此函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z．
(2)由已知得－2sin ＋1＝0，∴sin ＝，
由0由正弦定理得＝＝＝＝＋．
因为△ABC为锐角三角形，所以
解得，那么<<2．

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