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第5节　函数y＝sin (ωx＋φ)的图象与性质及应用
　
[课标要求]　(1)三角函数性质：结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响；
(2)三角函数应用：会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念
y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
2．五点法画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的五个关键点
x
ωx＋φ 0 π 2π
y＝A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
(一)必背常用结论
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．由y＝sin ωx到y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
(二)盘点易错易混
1．图象平移方向、平移的单位个数把握不准．
2．图象横坐标伸缩与ω的关系把握不准．
3．求y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω，A的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2kπ时，不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间．
4．由于相位变换和周期变换是相对于x而言的，所以处理图象变换问题时务必注意图象的变换顺序．
【小题热身】
1．函数y＝2sin 的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2，，　　　　　　 　B．2，，
C．2，， D．2，，－
解析：由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝的振幅为2，频率为，初相为．
答案：A
2．用“五点法”作函数y＝cos 在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是(　　 )
A． B．
C． D．
解析：令4x－＝，得x＝．所以该点坐标为．
答案：A
3．[易错题]将函数y＝cos (2x＋φ)的图象向右平移个单位长度，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为(　　 )
A．　　　B．　　　C．　　　D．
解析：将函数y＝cos (2x＋φ)的图象向右平移个单位长度得到的函数图象对应的函数解析式为
y＝cos ＝cos ．因为得到的函数为奇函数，所以－＋φ＝＋kπ(k∈Z)，
解得φ＝＋kπ(k∈Z)，则当k＝－1时，|φ|取得最小值，故选B．
答案：B
4．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b，0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为__________________________．
解析：从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b的半个周期，
所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20，
又×＝14－6，所以ω＝．
又×10＋φ＝2kπ，k∈Z，0<φ<π，所以φ＝，
所以y＝10sin ＋20，x∈[6，14]．
答案：y＝10sin ＋20，x∈[6，14]
5．如图是函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象，已知函数图象经过P，Q两点，则ω＝________，φ＝________．
解析：因为f(x)过一个周期内的关键点P，Q，故T＝－(T为最小正周期)，即·＝，解得ω＝2，由f(x)的图象经过点P，得sin ＝1，则＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，则φ＝－＋2kπ(k∈Z)，又|φ|≤，则φ＝－．
答案：2　－
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__函数y＝A_sin_(ωx＋φ)的图象及变换[典例引领]
【例1】　设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的周期为π．
(1)求它的振幅、初相；
(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；
(3)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．
解：(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx
＝2＝2sin ．
∵T＝π，∴＝π，即ω＝2．
∴f(x)＝2sin ．
∴函数f(x)的振幅为2，初相为．
(2)令X＝2x＋，则y＝2sin ＝2sin X．
列表：
x －
X 0 π 2π
y＝sin X 0 1 0 －1 0
y＝2sin 0 2 0 －2 0
描点画出图象：
(3)法一　把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin 的图象，再把y＝的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 的图象，最后把y＝sin 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin 的图象．
法二　将y＝sin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝sin 2x的图象，再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝＝sin 的图象，再将y＝sin 的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin 的图象．
[思维升华]　1．五点法作简图：用“五点法”作y＝A sin (ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
2．图象变换：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin (ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
[注意]　当采取先伸缩后平移时，平移的个数是个长度单位长度．
[对点练]　1．为得到函数y＝cos 的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　 )
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：因为y＝sin 2x＝cos ＝cos ，y＝cos ＝cos ，所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度可得到函数y＝cos 的图象．故选B．
答案：B
2．将函数y＝sin 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为(　　 )
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝sin
解析：y＝sin 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后对应的图象的解析式为y＝sin ，再把所得图象向左平移个单位长度后对应的图象的解析式为y＝sin ＝sin ．
答案：A
考点2__由图象确定y＝A_sin_(ωx＋φ)的解析式[典例引领]
【例2】　(1)(多选)(2020·新高考全国卷Ⅰ)如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝(　　)
A．sin
B．sin
C．cos
D．cos
(2)(一题多法)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．
解析：(1)由题图可知，最小正周期T＝＝2＝π，得ω＝±2，故A错误；当ω＝2时，将的坐标代入y＝sin (2x＋φ)，得2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z．
当k＝0时，φ＝，则y＝sin ＝sin ＝－sin ＝sin，故B正确；
y＝sin ＝sin ＝cos ，故C正确；
y＝cos ＝cos ＝－cos (2x－)＝－cos ，故D错误．故选BC．
(2)由题图可知A＝，
法一　＝－＝，
所以T＝π，故ω＝2，
因此f(x)＝sin (2x＋φ)，
又对应五点法作图中的第三个点，
因此2·＋φ＝π，所以φ＝，
故f(x)＝sin ．
法二　以为第二个“零点”，为最小值点，
列方程组解得
故f(x)＝sin ．
答案：(1)BC　(2)f(x)＝sin
Ｋ
[对点练]　1．函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b在一个周期内的图象如图，则函数的解析式为(　　 )
A．y＝2sin ＋1
B．y＝2sin ＋1
C．y＝2sin ＋1
D．y＝2sin ＋1
解析：结合函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b在一个周期内的图象，可得A＝＝2，b＝1，×＝－，所以ω＝2．再根据五点法作图可得2×＋φ＝0，解得φ＝－，故函数的解析式为y＝2sin ＋1．故选D．
答案：D
2．(2020·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝cos 在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为(　　 )
A． B．　
C． D．
解析：由图知，f ＝0，∴－ω＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－(k∈Z)．设f(x)的最小正周期为T，易知T<2π<2T，
∴<2π<，∴1<|ω|<2，当且仅当k＝－1时，符合题意，此时ω＝，∴T＝＝．
答案：C
考点3__三角函数图象、性质的综合应用[多维讲练]
三角函数的图象与性质是高考考查的重点、热点内容，主要是考查三角函数性质的综合应用，常以选择题、填空题考查，难度中等，凸显逻辑推理、数学运算素养。
角度1　图象与性质的综合应用
【例3】已知函数f(x)＝2sin ＋1．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)＝0，x∈，求x的值；
(3)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象．若曲线y＝h(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，求函数h(x)在的值域．
解：(1)令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
则－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z．
∴y＝f(x)的单调递增区间为，k∈Z．
(2)由f(x)＝0，得2sin ＋1＝0，
∴sin ＝－．
又∵x∈，∴2x－∈，
∴2x－＝－或2x－＝－或2x－＝，
解得x＝0或x＝－或x＝．
(3)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，
可得函数图象的解析式为y＝2sin ＋1＝2sin ＋1＝2cos 2x＋1．
再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝2cos x＋1的图象．
又∵曲线y＝h(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，
∴h(x)＝g＝2cos ＋1＝2sin x＋1．
∵x∈，∴sin x∈，
∴2sin x＋1∈(0，3]．
∴函数h(x)在上的值域为(0，3]．
[思维升华]　函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间和对称性的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体．在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性．对称性是三角函数图象的一个重要性质，因此要抓住其轴对称、中心对称的本质，同时还要会综合利用这些性质解决问题，解题时可利用数形结合思想．
[对点练]　1．(2021·山东泰安模拟)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，<)的图象上相邻两条对称轴的距离为3，且过点(0，－)，则需要得到函数y＝f(x)的图象，只需将函数y＝2sin ωx的图象(　　 )
A．向右平移1个单位
B．向左平移1个单位
C．向右平移个单位
D．向左平移个单位
解析：因为函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，<)的图象上相邻两条对称轴的距离为3，
所以＝×＝3，所以ω＝，
因为过点(0，－)，所以2sin φ＝－，
因为<，所以φ＝－，
所以f(x)＝2sin (x－)，要得到f(x)＝2sin (x－)＝2sin ，需要f(x)＝2sin x向右平移1个单位．
答案：A
2．(多选)函数f＝A cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　 )
A．该函数的解析式为f＝2cos
B．该函数的单调递增区间为
C．在区间上不存在x1、x2，使得f－f＝4
D．把函数g＝A sin 的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到f的图象
解析：由图知A＝2，函数f的最小正周期T满足＝－＝，即T＝π，∴ω＝＝2，
所以f＝2cos ，
因为f＝2，所以2×＋φ＝2k1π，可得φ＝2k1π－，
因为<，则φ＝，所以f＝2cos ，故A项正确；
由2kπ＋π≤2x＋≤2kπ＋2π，解得x∈，
故B项正确；
当x1＝时，f＝2，当x2＝时，f＝－2，此时f－f＝4，
故C项不正确；
由题知g＝2sin ＝2sin ＝2cos ，
把函数g的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得y＝2cos ，故D项正确．
答案：ABD
角度2　函数零点问题
【例4】　已知关于x的方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．
解析：方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0可转化为
m＝1－2sin2x＋sin2x＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin ，x∈．
设2x＋＝t，则t∈，
题目条件可转化为y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图．
由图象观察知，的取值范围是，
故m的取值范围是(－2，－1)．
答案：(－2，－1)
[思维升华]　三角函数中函数的零点(方程的根)问题主要是利用数形结合思想，将函数的零点问题转化为函数的交点问题。
[对点练]　若函数f(x)＝sin (ω>0)满足f(0)＝f，且函数在上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为________．
解析：∵f(0)＝f，∴x＝是f(x)图象的一条对称轴，∴f＝±1，∴×ω＋＝＋kπ，k∈Z，
∴ω＝6k＋2，k∈Z，∴T＝(k∈Z)．
又f(x)在上有且只有一个零点，
∴<≤－，∴∴<≤(k∈Z)，∴－≤k<，
又∵k∈Z，∴k＝0，∴T＝π．
答案：π
角度3　三角函数模型的简单应用
【例5】　(2020·山东八所重点中学联考)如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A从初始位置A0开始，按逆时针方向以角速度2rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2rad/s做圆周运动．记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2．
(1)求t＝时，A，B两点间的距离；
(2)若y＝y1＋y2，求y关于时间t(t>0)的函数关系式，并求当t∈时，y的取值范围．
解：(1)连接AB，OA，OB(图略)，当t＝时，∠xOA＝＋＝，∠xOB＝，所以∠AOB＝．
又OA＝1，OB＝2，
所以AB2＝12＋22－2×1×2cos ＝7，
即A，B两点间的距离为．
(2)依题意，y1＝sin ，y2＝－2sin 2t，
所以y＝sin －2sin 2t＝cos 2t－sin 2t＝cos ，
即函数关系式为y＝cos (t>0)，
当t∈时，2t＋∈，
所以cos ∈，
故当t∈时，y∈．
[思维升华] 　三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
[对点练]　(2022·北京海淀期中)唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子的半径为3 m，它以1 rad/s的角速度逆时针旋转．轮子外边沿有一点P，点P到船底的距离是H(单位：m)，轮子旋转时间为t(单位：s)．当t＝0时，点P在轮子的最高点处．
(1)当点P第一次入水时，t＝____________；
(2)当t＝t0时，函数H(t)的瞬时变化率取得最大值，则t0的最小值是____________．
解析：(1)当t＝0时，点P在轮子最高点处．由图可知，轮子距离船底1 m，半径3 m，则H＝r cos t＋1＋r＝3cos t＋4，t≥0．当点P第一次入水时，水面高2．5 m，即H＝2．5．代入H＝3cos t＋4得，cos t＝－．第一次入水，即在满足cos t＝－的情况下满足条件t≥0后可取的最小值，t＝．
(2)瞬时变化率取得最大值，即|H′(t)|最大，H′(t)＝－3sin t．当－3sin t＝3时，瞬时变化率取得最大值．此时，t0的最小值为．
答案：π　π　
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养
三角函数模型中“ω”值的求法探索
在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点．
题型一　三角函数的单调性与ω的关系
【例1】　已知函数f(x)＝sin (ω＞0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　　 )
A． B．
C． D．
解析：由题意得
则又ω＞0，
所以
所以k＝0，则0＜ω≤，故选B．
答案：B
[思维升华]根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，根据函数f(x)＝sin (ω>0)在区间上单调递增，建立不等式，即可求ω的取值范围．
[对点练]　1．若y＝sin ωx－cos ωx是区间上的单调函数，则正数ω的最大值是________．
解析：y＝sin ωx－cos ωx＝sin (ωx－)，
由ω>0且x∈，
所以－≤ωx－≤－，
因为y＝sin x在上为增函数，
所以－≤，可得ω≤，
所以正数ω的最大值是．
答案：
题型二　三角函数的对称性与ω的关系
【例2】　已知函数f(x)＝cos (ω>0)的一条对称轴为直线x＝，一个对称中心为点，则ω有(　　 )
A．最小值2 B．最大值2
C．最小值1 D．最大值1
解析：∵函数的中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，∴对称中心 到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－≥，又∵T＝，
∴≤，∴ω≥2，∴ω有最小值2，故选A．
答案：A
[思维升华]　三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究“ω”的取值．
[对点练]　2．已知函数f＝2sin cos ＋2sin2－1(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到函数g的图象关于坐标原点对称，则ω的最小值为(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
解析：∵f＝2sin cos ＋2sin2－1＝sinωx－cos ωx＝2sin
∴g＝2sin ＝
2sin ．
又g的图象关于坐标原点对称，∴－＝kπ，k∈Z，
∴ω＝12k＋2(k∈Z)，
∴当k＝0时，ω取得最小值ωmin＝2，
答案：B
题型三　三角函数的最值与ω的关系
【例3】　已知函数f(x)＝2sin ωx在区间[－，]上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．
解析：由题意显然ω≠0．
若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥．
若ω<0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以ω≤－，解得ω≤－2．
综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪．
答案：(－∞，－2]∪
[思维升华]利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．
[对点练]　3．已知函数f＝sin sin (ωx＋)(ω>0)，若存在α，β∈，对任意x∈R，f≤f≤f，则ω的取值范围是________．
解析：f＝sin sin ＝sin sin ＝
sin cos ＝sin ．
因为对任意x∈R，f≤f≤f，
所以f＝－，f＝，
即sin ＝－1，sin ＝1．
因为α，β∈，所以－6ω＋<2αω＋<，－6ω＋<2βω＋<，
所以 ω>π．
答案：

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