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第3节　三角恒等变换　
[课标要求]　三角恒等变换：①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义；②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；③能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos (α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；
cos (α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；
sin (α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；
sin (α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；
tan (α－β)＝；
tan (α＋β)＝．
2．二倍角公式
sin 2α＝2sin_αcos_α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan2α＝．
3．辅助角公式
a sinx＋b cos x＝sin (x＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝．
(一)必背常用结论
1．公式的常用变式
tan α±tan β＝tan (α±β)(1 tan αtan β)；
sin 2α＝＝；
cos 2α＝＝．
2．降幂公式
sin2α＝；
cos2α＝；
sin αcos α＝sin 2α．
3．升幂公式
1＋cos α＝2cos 2；
1－cos α＝2sin2；
1＋sinα＝；
1－sin α＝．
4．半角正切公式
tan ＝＝．
(二)盘点易错易混
1．三角变换时易忽视角的范围而致错
2．不会逆用公式致错
3．对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内单调函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角．
【小题热身】
1．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin 等于(　　)
A．－　　B．　　C．－　　D．
解析：∵α是第三象限角，∴sin α＝－＝－，
∴sin＝－×＋×＝－．
答案：C
2．(2020·全国卷Ⅲ)已知sin θ＋sin ＝1，则sin ＝(　　 )
A．　　　B． 　　　C．　　　D．
解析：由题意可得sin θ＋sin θ＋cos θ＝1，则sin θ＋cos θ＝1，sin θ＋cos θ＝，
从而有sin θcos ＋cos θsin ＝，
即sin ＝．故选B．
答案：B
3．[易错题]已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝(　　 )
A．　　B．　　C．　　D．或
解析：因为α，β为锐角，且sin α＝<，cos β＝>，则cos α＝，且α∈，sin β＝且β∈，
所以sin (α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β＝×＋×＝．
又α＋β∈，所以α＋β＝．
答案：B
4．cos 2－sin2＝________．
解析：根据二倍角公式有cos2－sin2＝cos＝．
答案：
5．已知锐角α，β满足(tan α－1)·(tan β－1)＝2，则α＋β的值为________．
解析：因为(tan α－1)(tan β－1)＝2，所以tan α＋tan β＝tan αtan β－1，因此tan (α＋β)＝＝－1，
因为α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝．
答案：
第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式　
对应学生用书P085
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__公式的直接应用[自主演练]
1．(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　 )
A．　　　B．　　　C．　　　D．
解析：∵3cos 2α－8cos α＝5，
∴3(2cos 2α－1)－8cos α＝5，∴6cos 2α－8cos α－8＝0，
∴3cos 2α－4cos α－4＝0，
解得cos α＝2(舍去)或cos α＝－．
∵α∈(0，π)，∴sin α＝＝．
答案：A
2．(2022·安徽皖江名校联考)已知α，β为锐角，tan α＝2，cos β＝，则tan (α－2β)＝(　　 )
A． B．－
C． D．
解析：因为α，β为锐角，所以cos β＝．所以sin β＝，tan β＝，又tan 2β＝＝＝，
则tan (α－2β)＝＝＝．
答案：C
3．已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．
解析：因为sin α＝＋cos α，
即sin α－cos α＝，
所以＝
＝＝＝－．
答案：－
4．若tan ＝－2，则tan 2α＝________．
解析：由tan ＝－2可得＝－2，即＝－2，化简得tan α＝－3，
∴tan 2α＝＝＝．
答案：
[思维升华]　利用三角函数公式时应注意的问题
(1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号相反”．
(2)应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
考点2__公式的逆用及变形用[典例引领]
【例1】　(1)在△ABC中，若tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　 )
A．－　　B．　　C．　　D．－
(2)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin (α＋β)＝________．
解析：(1)由tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，
即tan (A＋B)＝－1，又(A＋B)∈(0，π)，
所以A＋B＝，所以C＝，cos C＝．
(2)因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，
所以sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1　①，
cos 2α＋sin2β＋2cosαsin β＝0　②，
①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin α·cos β＋cos αsin β)＝1，
所以sin (α＋β)＝－．
答案：(1)B　(2)－
[思维升华]　1．三角函数公式活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
2．三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．
[对点练]　1．＝(　　 )
A．　　B．　　C．－　　D．－
解析：原式＝＝
＝tan (45°＋15°)＝．
答案：B
2．若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝__________．
解析：tan ＝tan (α＋β)＝＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，
所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2．
答案：2
3．计算·cos 10°＋sin 10°tan 70°－2cos 40°．
解：原式＝＋－2cos 40°
＝－2cos 40°
＝－2cos 40°
＝－2cos 40°
＝
＝＝2．
考点3__角的变换问题[典例引领]
【例2】　(1)已知sin α＝，sin (β－α)＝－，α，β均为锐角，则β等于(　　 )
A．　　　B．　　　C．　　　D．
解析：因为sin α＝，sin (β－α)＝－，且α，β均为锐角，所以cos α＝，cos (β－α)＝，所以sin β＝sin [α＋(β－α)]＝sin α·cos (β－α)＋cos αsin (β－α)＝×＋×＝＝，所以β＝．故选C．
答案：C
(2)已知α，β∈，sin (α＋β)＝－，sin ＝，则cos ＝________．
解析：由题意知，α＋β∈，sin (α＋β)＝－<0，所以cos (α＋β)＝，
因为β－∈，
所以cos ＝－，
cos ＝cos
＝cos (α＋β)cos ＋
sin (α＋β)sin ＝－．
答案：－
[思维升华]　角的代换
将未知角利用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的方法就是角的代换，常见的有：
α＝－β，α＝β－，α＝＝，
＝－，α＋β＝－α，2α＝＋，2β＝－等．
[对点练]　1．(2021·安徽合肥一中模拟)已知α、β为锐角，sin α＝，cos ＝，则sin β＝(　　 )
A．　B．　C．或　D．或
解析：因为0<α<，0<β<，则－<α－β<，
所以，cos α＝＝，sin＝
±＝±．
当sin ＝时，sin β＝sin ＝
sin αcos －cos αsin
＝×－×＝；
当sin ＝－时，sin β＝sin ＝
sin αcos －cos αsin ＝×－×＝．
综上所述，sin β的值为或．
答案：D
2．已知α∈，cos －sin α＝，则sin 的值是(　　 )
A．－ B．－
C． D．－
解析：由cos －sin α＝，
得cos αcos －sin αsin －sin α＝，
即cos α－sin α＝，所以cos α－sin α＝，即cos ＝．因为α∈，
所以α＋∈，
所以sin ＝＝，
所以sin ＝sin
＝sin －cos ＝×
＝－．
答案：B
课下巩固培优卷(十九)
【A/基础巩固题组】
1．－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°等于(　　 )
A．　　B．　　C． 　　D．
解析：－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°＝－sin 47°·(－cos 17°)－cos 47°sin 17°＝sin (47°－17°)＝sin 30°＝．
答案：A
2．(2020·全国卷Ⅲ)已知2tan θ－tan ＝7，则tan θ＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：∵2tan θ－tan ＝7，∴2tan θ－＝7，∴2tan θ－2tan2θ－1－tanθ＝7－7tan θ，即tan2θ－4tanθ＋4＝0，解得tan θ＝2．
答案：D
3．(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是(　　 )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°
＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°
＝1＋1＝2．
答案：D
4．(2022·安徽淮南一模)在△ ABC中，已知sin A＝，cos B＝，则cos C＝(　　 )
A．　　B．－　　C．或　　D．－
解析：在△ ABC中，∵cos B＝，
∴sin B＝＝>，∴B∈．
∵sin A＝∈，
∴A∈或A∈(舍去)，
∴cos A＝＝，
∴cosC＝－cos ＝－cos A cos B＋sin Asin B，
＝－×＋×＝．
答案：A
5．(2021·广东佛山模拟)sin 40°＝(　　 )
A．2　　　B．－2　　　C．1　　　D．－1
解析：sin 40°·
＝sin 40°·(－)
＝sin 40°·
＝sin 40°·
＝sin 40°·
＝sin 40°·
＝sin 40°·
＝
＝
＝－1
答案：D
6．已知sin ＋cos α＝－，则cos ＝________．
解析：∵sin ＋cos α＝－，
即sin αcos ＋cos αsin ＋cos α＝－，
∴sin α＋cos α＝－，
sin α＋cos α＝－，sin ＝－，
∴cos ＝cos ＝sin ＝－．
答案：－
7．若函数f(x)＝4sin x＋a cos x的最大值为5，则常数a＝________．
解析：f(x)＝sin (x＋φ)，其中tan φ＝，
故函数f(x)的最大值为，
由已知得＝5，解得a＝±3．
答案：±3
8．(1)求的值；
(2)已知cos ＝，cos ＝，α∈，β∈，求cos 的值．
解：(1)原式＝
＝
＝
＝
＝2．
(2)因为0<α<，则<＋α<，
所以sin ＝，
又因为－<β<0，则<－<，
则sin ＝，
故cos ＝cos
＝cos cos ＋sin
sin
＝×＋×＝．
【B/能力提升题组】
9．(多选)下列四个选项中，化简正确的是(　　 )
A．cos (－15°)＝
B．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos (15°－105°)＝0
C．cos (α－35°)cos (25°＋α)＋sin (α－35°)sin (25°＋α)＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos (－60°)＝cos 60°＝
D．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝
解析：对于A　原式＝cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝．
对于B，原式＝cos (15°－105°)＝cos (－90°)＝cos 90°＝0，B正确．
对于C，原式＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos (－60°)＝cos 60°＝，C正确．
对于D，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos (76°－16°)＝cos 60°＝，D正确．
答案：BCD
10．已知α为第二象限角，且tan α＋tan ＝2tan αtan －2，则sin ＝(　　 )
A．－　B．　C．－　D．
解析：tan α＋tan ＝2tan αtan －2 ＝－2 tan ＝－2，因为α为第二象限角，所以sin ＝，cos ＝－，则sin ＝－sin
＝－sin
＝cos sin －sin cos
＝－．
答案：C
11．(2022·山东滨州一模)已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，tan (α＋β)的值为________，α＋β的值为________．
解析：由cos β＝，β∈，得sin β＝，tan β＝2．
∴tan (α＋β)＝＝＝1．
∵α∈，β∈，∴<α＋β<，
∴α＋β＝．
答案：1　
12．(2021·重庆一中模拟)已知sin ＝，cos ＝，a∈，β∈，则sin α＝________．
解析：β∈，∴∈，sin ＝，∴cos ＝，又∵sin ＝<，
∴∈，∴β∈，
sin β＝2sin cos ＝，cos β＝，
又∵a∈，∴a＋β∈，
又∵cos ＝，∴sin ＝，
∴sin α＝sin ＝sin cos β－cos sin β
＝×－×＝，
答案：
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α和钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是．
(1)求cos (α－β)的值；
(2)求2α－β的值．
解：(1)由题意知，|OA|＝|OM|＝1，因为S△OAM＝|OA|·|OM|sin α＝，所以sin α＝，又α为锐角，所以cos α＝．因为点B是钝角β的终边与单位圆O的交点，且点B的纵坐标是，所以sin β＝，cos β＝－，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－．
(2)因为sin α＝，cos α＝，cos (α－β)＝－，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－，所以sin (2α－β)＝sin [α＋(α－β)]＝sin αcos (α－β)＋cos αsin (α－β)＝－，
因为α为锐角，sin α＝>，
所以α∈，所以2α∈，
又β∈，所以2α－β∈，
所以2α－β＝－．
第2课时　简单的三角恒等变换　
对应学生用书P086
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__三角函数式的化简求值[自主演练]
【例1】　(1)(一题多法)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos2αcos 2β＝________．
(2)化简：
(0<θ<π)；
解：(1)法一　原式＝·＋·－cos 2αcos 2β＝
＋
－cos 2αcos 2β＝＋cos 2αcos 2β－cos 2αcos 2β＝．
法二　原式＝(1－cos2α)(1－cos2β)＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)
＝1－cos2β－cos2α＋cos2αcos2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)
＝1－cos2β－cos2α＋2cos2αcos2β－2cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－＝．
法三　原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(cos2α－sin2α)·(cos2β－sin2β)
＝(2sin2αsin2β＋2cos2αcos2β－cos2αcos2β＋cos2αsin2β＋sin2αcos2β－sin2αsin2β)
＝[sin2α(sin2β＋cos2β)＋cos2α(sin2β＋cos2β)]
＝(sin2α＋cos2α)＝．
(2)由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos>0．
因此＝ ＝2cos．
又(1＋sin θ＋cos θ)
＝
＝2cos
＝－2coscos θ，
故原式＝＝－cos θ．
答案：：(1)
[思维升华]　1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．
2．对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：
(1)化为特殊角的三角函数值；
(2)化为正、负相消的项，消去求值；
(3)化分子、分母出现公约数进行约分求值．
[对点练]　1．化简：＝________；
解析：原式＝
＝
＝＝＝cos 2x．
答案：cos 2x
2．化简：－sin 10°．
解析：原式＝－
sin 10°
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°＝
＝
＝
＝＝．
考点2__三角函数式的求值[典例引领]
利用三角函数的和、差、倍角公式化简求值是高考的重点内容，特别是给值求值、给角求值问题一直是热点，常以选择题、填空题形式考查，难度中等及中低等，对公式的熟练应用有较高要求，凸显逻辑推理和数学运算素养。
角度1　给角求值
【例2】 (1)的值为(　　 )
A．1 B．
C． D．2
(2)化简－2cos 20°所得的结果是(　　 )
A．　　　B．　　　C．　　　D．2
解析：(1)原式＝
＝
＝＝．
(2)－2cos 20°＝－2cos 20°＝
＝
＝
＝
＝＝＝．
答案：(1)C　(2)B
[思维升华]　给值求值问题的策略
给角求值问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．
[对点练]　1．cos 20°·cos 40°·cos 100°＝______．
解析：cos 20°·cos 40°·cos 100°
＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－
＝－
＝－
＝－
＝－＝－．
答案：－
角度2　给值(式)求值
【例3】　(1)已知tan α＝－3，则sin 2α－2cos 2α＝(　　 )
A．－　　B．－1　　C．1　　D．2
(2)已知sin ＝，则sin ＝(　　 )
A．－　　B．－　　C．　　D．
(3)若3sin 2α－2sin2α＝0，则cos＝(　　 )
A．或－ B．－
C．－或 D．
解析：(1)因为tan α＝－3，所以sin 2α－2cos 2α
＝2sin αcos α－2cos 2α＋2sin2α
＝
＝
＝＝1
(2)令t＝α＋，则α＝t－，sin t＝，
所以sin ＝sin
＝sin ＝－cos 2t＝－(1－2sin2t)＝－．
(3)由题可得sin2α－sin2α＝0，
所以3sinαcos α－sin2α＝0，即sinα＝0
所以sin α＝0或tan α＝3，
又cos ＝cos 2αcos －sin 2αsin ＝
，
所以当sin α＝0时，cos ＝
＝；
当tan α＝3时，cos ＝
＝－．
答案：(1)C　(2)A　(3)A
[思维升华]　给值(式)求值问题的一般思路
一般是给出某些角的三角函数值(或三角函数等式)，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”、化简已知等式，使相关角相同或具有某种关系．
[对点练]　2．若cos＝，则cos ＝(　　 )
A． B．－
C． D．－
解析：∵cos ＝．
∴cos ＝sin ＝sin ＝，
∴cos ＝1－2sin2＝1－＝，
答案：C
角度3　给值求角
【例4】　(1)已知sin α＝，sin (α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β的值是________．
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．
解析：(1)由0＜α＜，0＜β＜，得－＜α－β＜，
∴cos (α－β)＝＝．
又cosα＝，
∴sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)＝×－×＝．
又∵角β是锐角，
∴β＝．
(2)∵tan α＝tan [(α－β)＋β]
＝＝＝＞0，
∴0＜α＜．
又∵tan 2α＝＝＝＞0，
∴0＜2α＜，
∴tan (2α－β)＝＝＝1．
∵tan β＝－＜0，∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，
∴2α－β＝－．
答案：(1)　(2)－π
[思维升华]　给值求角的原则
给值求角实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角．在选取函数时，遵循以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数．
②已知正、余弦函数值，若角的范围是，选正、余弦函数皆可，若角的范围是(0，π)，选余弦函数，若角的范围是，选正弦函数．
[对点练]　3．已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________．
解析：因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝．
又因为α，β均为锐角，sin β＝，
所以sin α＝，cos β＝，
因此sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin (2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝．
因为α为锐角，所以0<2α<π．
又cos 2α>0，所以0<2α<，
又β为锐角，所以－<2α－β<，
又sin (2α－β)＝，所以2α－β＝．
答案：　
考点3__三角变换的简单应用[典例引领]
【例5】　已知函数f(x)＝sin ＋cos ，x∈R．
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)已知cos (β－α)＝，cos (β＋α)＝－，0<α<β≤，求证：[f(β)]2－2＝0．
解：(1)∵f(x)＝sin (x＋－2π)＋cos ＝sin ＋sin ＝2sin ，
∴T＝2π，f(x)的最小值为－2．
(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝，
cos βcos α－sin βsin α＝－，
两式相加得2cos βcos α＝0．
∵0<α<β≤，∴β＝，
∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝0．
[思维升华]　三角变换和三角函数性质相结合是高考的一个热点，解题时要注意观察角、式子间的联系，利用整体思想和方程组思想解题．
[对点练]　1．函数f(x)＝sinx＋cos 的最大值为(　　)
A．2　　　　　　　　　　　B．
C．1 D．
解析：∵f(x)＝sin x＋cos ·cos x－sin ·sin x
＝cos x＋sin x＝sin ，
∴f(x)max＝1．
答案：C
2．(多选)(2022·山东日照一中期中)已知函数f(x)＝2sin x cos x－2sin2x，给出下列四个选项，正确的有(　　)
A．函数f(x)的最小正周期是π
B．函数f(x)在区间上是减函数
C．函数f(x)的图象关于点(－，0)对称
D．函数f(x)的图象可由函数y＝sin2x的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到
解析：∵f(x)＝2sin x cos x－2sin2x＋1－1
＝sin2x＋cos 2x－1＝sin (2x＋)－1．
对A，因为ω＝2，则f(x)的最小正周期T＝π，结论正确．
对B，当x∈[，]时，2x＋∈[，]，则f(x)在[，]上是减函数，结论正确．
对C，因为f(－)＝－1，得到函数f(x)图象的一个对称中心为(－，－1)，结论不正确．
对D，函数f(x)的图象可由函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位再向下平移1个单位得到，结论不正确．故正确结论有A，B．
答案：AB
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养
万能公式
以下三个公式：sin α＝，cos α＝，tan α＝，称为万能公式．
【典例】 已知＝－5，求3cos 2θ＋4sin 2θ的值．
解：∵＝－5，
∴cos θ≠0(否则2＝－5)
∴＝－5，
解得tan θ＝2．
∴原式＝＋＝＋＝．
[思维升华]　万能公式揭示了“正弦、余弦及正切的倍角与正切的单角(正弦、余弦及正切的单角与正切的半角)”的关系，其实质是利用二倍角公式转化为齐次式问题．
[对点练]　已知sin α－cos α＝，π<α<2π，求tan和tan α的值．
解：∵sin α－cos α＝，
∴－＝，
化简得tan 2＋4tan －3＝0．
∴tan ＝＝－2±，
∵π<α<2π，
∴<<π，
∴tan <0，即tan ＝－2－，
tan α＝＝＝＝＝．
课下巩固培优卷(二十)
【A/基础巩固题组】
1．已知α∈，且cos 2 α＝，则sin α＝(　　 )
A．　　　B．　　　C．　　　D．
解析：由cos 2α＝1－2sin2α＝，可得sin2α＝，
又α∈，则sinα＝．
答案：A
2．已知θ∈，tan θ＝，则cos 2θ＝(　　 )
A．－　　　B．　　　C．－　　　D．
解析：cos 2θ＝cos 2θ－sin2θ＝＝＝－．
答案：C
3．计算：等于(　　 )
A．　　　B．　　　C．　　　D．－
解析：
＝
＝＝．
答案：A
4．已知当x＝θ时，函数f＝2cosx－sin x取得最小值，则cos θ＝(　　 )
A．－　　B．　　C．－　　D．
解析：函数f＝2cos x－sin x，
由辅助角公式化简可得f(x)＝sin ，tan φ＝－2，sin φ＝，φ为第二象限角，
因为当x＝θ时，函数取得最小值，
所以θ＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则θ＝－φ＋2kπ，k∈Z，
所以cos θ＝cos ＝cos ＝－sin φ＝－，
答案：C
5．(多选)下列各式中，值为的是(　　 )
A．cos 2－sin2 B．
C．2sin 195°cos 195° D．
解析：选项A，cos 2－sin2＝cos＝cos ＝，错误；
选项B，＝·＝tan 45°＝，正确；
选项C，2sin 195°cos 195°＝2sin (180°＋15°)cos (180°＋15°)＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，正确；
选项D, ＝ ＝，错误．
答案： BC
6．已知cos ＝，则sin 2α＝__________．
解析：∵cos ＝，
∴(cos α＋sin α)＝，即cos α＋sin α＝．
∴cos2α＋sin2α＋sin2α＝．
∴sin 2α＝－．
答案：－
7．已知sin ＝，那么sin ＝______．
解析：因sin (－α)＝，则sin (＋2α)＝cos [－(＋2α)]＝cos (－2α)
＝cos [2(－α)]＝1－2sin2(－α)
＝1－＝．
答案：
8．已知α∈，且sin＋cos ＝．
(1)求cos α的值；
(2)若sin (α－β)＝－，β∈，求cos β的值．
解：(1)因为sin ＋cos ＝，
两边同时平方，得1＋sin α＝，
所以sin α＝．
又<α<π，所以cos α＝－．
(2)因为<α<π，<β<π，
所以－π<－β<－，
故－<α－β<．
又sin (α－β)＝－，得cos (α－β)＝．
cos β＝cos [α－(α－β)]
＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)
＝－×＋×
＝－．
【B/能力提升题组】
9．设α∈，β∈，且tan α＝，则下列结论中正确的是(　　 )
A．α－β＝ B．α＋β＝
C．2α－β＝ D．2α＋β＝
解析：tan α＝＝＝＝＝tan ．因为α∈，β＋∈，所以α＝β＋，即α－β＝．
答案：A
10．已知tan ＝，且－<α<0，则等于(　　)
A．－ B．－
C．－ D．
解析：由tan ＝＝，得tan α＝－．
又－<α<0，所以sin α＝－．
故＝＝2sin α
＝－．
答案：A
11．(2021·山东省实验中学高三二模)已知sin αcos α＝，且α∈，则的值为________．
解析：由题意，(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
又α∈，所以sin α＋cos α>0，
则sin α＋cos α＝，
所以＝＝
＝－．
答案：－
12．已知函数f(x)＝2sin x cos x－2cos 2x＋1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值．
解：(1)由f(x)＝2sin x cos x－2cos 2x＋1，
得f(x)＝(2sin x cos x)－(2cos 2x－1)
＝sin 2x－cos 2x＝2sin ，
∴函数f(x)的最小正周期为π．
易知f(x)＝2sin 在区间上为增函数，
在区间上为减函数，
又f(0)＝－1，f＝2，f＝－1，
∴函数f(x)在上的最大值为2，最小值为－1．
(2)∵2sin ＝，∴sin ＝．
又x0∈，∴2x0－∈，
∴cos ＝．
∴cos 2x0＝cos
＝cos cos －sin sin
＝×－×＝．

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