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第6节　正弦定理、余弦定理及应用举例　
[课标要求]　解三角形：①借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理．②能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 (1)＝＝＝2R (2)a2＝b2＋c2－2bc_cos_A；b2＝c2＋a2－2ca_cos_B；c2＝a2＋b2－2ab_cos_C
变形 (3)a＝2R sin A，b＝2R_sin_B，c＝2R_sin_C；(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(5)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(6)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A (7)cos A＝；cos B＝；cos C＝
2．三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)．
(2)S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
3．测量中的几个有关术语
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角 从某点的指北方向线起，按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α (1)北偏东α：(2)南偏西α：
坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ
(一)必背常用结论
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－．
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin (A＋B)＝sin C；(2)cos (A＋B)＝－cos C；
(3)sin ＝cos ；(4)cos ＝sin ．
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B．
4．三角形中的大角对大边
在△ABC中，A＞B a＞b sin A＞sin B．
(二)盘点易错易混
1．利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解．
2．注意边角转化的形式和条件．
3．判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
【小题热身】
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于(　　 )
A． B．
C． D．
解析：在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos ∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝，故选C．
答案：C
2．[易错题]在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
解析：由正弦定理得＝，
∴sin B＝＝＝>1．
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
答案：C
3．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的各边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，则B等于(　　 )
A．30° B．45°
C．135° D．150°
解析：根据正弦定理＝得，
sin B＝＝＝，
由于b＝>1＝a，所以B＝45°或B＝135°．
答案：BC
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c，△ABC的面积为5，则c＝________．
解析：由三角形面积公式，得×4×5sin C＝5，
即sin C＝．又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°．
由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cos 60°，解得c＝．
答案：
5．某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10 m，则旗杆的高是________m．
解析：由题意得∠DEA＝45°，∠ADE＝30°，AE＝，
所以AD＝＝，因此CD＝AD sin 60°＝×sin 60°＝10(3－)．
答案：10(3－)
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__利用正弦定理、余弦定理解三角形[自主演练]
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－，则＝(　　 )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：因为a sin A－b sin B＝4c sin C，所以由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2．由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，所以＝6．
答案：A
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________．
解析：由正弦定理，得sin B＝＝＝．因为0°＜B＜180°，且b＜c，所以B＜C，故B＝45°，所以A＝180°－60°－45°＝75°．
答案：75°
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝________．
解析：因为b sin A＋a cos B＝0，
所以＝．
由正弦定理＝，得－cos B＝sin B，
所以tan B＝－1．又B∈(0，π)，所以B＝．
答案：
[思维升华]　(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．
考点2__正弦定理、余弦定理的应用[多维讲练]
利用正弦定理、余弦定理解三角形是高考的重点内容，主要考查判断三角形的形状、三角形的面积问题及在平面几何中的应用等，考查形式既有选择题、填空题，也有解答题， 难度中等．凸显逻辑推理、数学运算素养．
角度1　判断三角形的形状
【例1】　(2022·重庆六校联考)在△ABC中，cos 2 ＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　 )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析：已知等式变形得cos B＋1＝＋1，即cos B＝①．由余弦定理得cos B＝，代入①得＝，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形．
答案：A
[思维引申]　(1)(变条件)将“cos 2＝”改为“c－a cos B＝(2a－b)cos A”，试判断△ABC的形状．
解：因为c－a cos B＝(2a－b)cos A，
C＝π－(A＋B)，
所以由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，
所以sin A cos B＋cos A sin B－sin A cos B＝2sin Acos A－sin B cos A，
所以cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin B＝sin A，
所以A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
(2)(变条件)将“cos 2＝”改为“＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，试判断△ABC的形状．
解：因为＝，所以＝，所以b＝c．
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝＝．
因为A∈(0，π)，所以A＝，
所以△ABC是等边三角形．
[思维升华]　判定三角形形状的2种常用途径
[对点练]　1．在△ABC中，＝sin 2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　 )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
解析：由cos B＝1－2sin 2得sin 2＝，所以＝，即cos B＝．
法一　由余弦定理得cos B＝＝，即a2＋c2－b2＝2a2，
所以a2＋b2＝c2．所以△ABC为直角三角形．又无法判断两直角边是否相等，故选A．
法二　由正弦定理得cos B＝，又sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B·sin C，所以cos Bsin C＝sin B·cos C＋cos B sin C，即sin Bcos C＝0．又sin B≠0，所以cos C＝0，又角C为三角形的内角，所以C＝，所以△ABC为直角三角形．又无法判断两直角边是否相等，故选A．
答案：A
2．(多选)(2021·广东中山一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，则满足下面条件的三角形一定为直角三角形的是(　　)
A．sin A＋sin B＝sin C(cos A＋cos B)
B．＝
C．cos2＝
D．a cosB－b cos A＝c
解析：对于A选项，sin A＋sin B＝sin C(cos A＋cos B)，所以sin B cos C＋cos B sin C＋sin A cos C＋cos A sin C＝sin C cos A＋sin C cos B，整理得(sin B＋sin A)cos C＝0，因为sin B＋sin A>0，所以cos C＝0 ∠C＝，故选项A正确；
对于B选项，可知当三角形为等边三角形时，等式同样成立，故选项B错误；
对于C选项，cos2＝，根据半角公式有
＝ c cos B＝a c cos B＝c cos B＋b cos C，整理得b cos C＝0 ∠C＝，故选项C正确；
对于D选项，a cos B－b cos A＝c，因为在任意的三角形中都有a cos B＋b cos A＝c，所以两式相加可得a cos B＝c a cos B＝a cos B＋b cos A，整理得b cos A＝0 ∠A＝，故选项D正确．
答案：ACD
角度2　与三角形面积有关的问题
【例2】　(2021·山东菏泽二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2＝c，sin C＝sin B，________．
①sin C－cos A sin B＝sin A；②＝sin B；③a2＋c2－b2＝ac．
从以上三个条件中选择一个条件补充在题干中，完成下列问题．
(1)求B；
(2)求△ABC的面积．
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
解：(1)∵sin C＝sin B，由正弦定理得：c＝b，又b2＝c，
联立解之得b＝，c＝3．
选条件①sin C－cos A sin B＝sin A，
sin (A＋B)－cos A sin B＝sin A，
所以sin A cos B＝sin A，
因为A∈，sin A≠0，所以cos B＝，
因为B∈，所以B＝．
选条件②，由＝sin B可得tan B＝＝，因为B∈，所以B＝．
选条件③，因为a2＋c2－b2＝ac，所以由余弦定理cos B＝＝，因为B∈，所以B＝．
(2)由(1)B＝，由正弦定理＝，所以sin C＝，
(i)当C＝时，A＝，此时△ABC的面积S＝bc＝，
(ii)当C＝时，A＝，此时△ABC的面积S＝bc sin A＝，
综上，△ABC的面积为或．
[思维升华]　求解三角形面积问题的方法技巧
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
[对点练]　(2021·山东肥城三模)已知锐角△ABC的外接圆半径为1，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S且a2＝4S＋(c2－b2)．
(1)求C；
(2)求的取值范围．
解：(1)由a2＝4S＋，
得：＝4S，
∴2ab cos C＝4×ab sin C，即：cos C＝sin C．
∵cos C≠0，∴tan C＝，
又∵C∈(0，π)，
∴C＝．
(2)∵△ABC的外接圆半径为1，
∴＝2，即c＝2sin C＝，
又∵＝＝，
∴a＝2sin A，b＝2sin B，
∴＝＝＝＝
＝＝＋，
又因为△ABC是锐角三角形，
∴即
∴∴tan A>，0<<，0<<，
∴<<2．
角度3　在平面几何中的应用
【例3】　
在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝4．
(1)若△ABC的面积为3，求AC；
(2)若AD＝3，∠ACB＝∠ACD＋，求tan ∠ACD．
解：(1)在△ABC中，BC＝4，∠ABC＝，
∴S△ABC＝AB·BC·sin ∠ABC＝3，可得AB＝3，
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝13，
∴AC＝．
(2)设∠ACD＝α，则∠ACB＝∠ACD＋＝α＋，
在Rt△ACD中，AD＝3，易知：AC＝＝，
在△ABC中，∠BAC＝π－∠ACB－∠ABC＝－α，
由正弦定理得＝，即＝，
∴2sin α＝3sin (－α)＝cos α－sin α，可得tan α＝，即tan ∠ACD＝．
[思维升华]　平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
注意：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
[对点练]　如图，已知四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，AD⊥CD．
(1)求BD长度的最大值；
(2)若△ABC面积是△ACD面积的6倍，求tan ∠ACD．
解：(1)D点轨迹为以AC为直径的半圆，圆心为AC中点E，所以BD最大值为BE加半径1，
AB＝2，BE＝＝，
BDmax＝＋1．
(2)设∠ACD＝θ，AC＝a，则AB＝a，AD＝a sin θ，CD＝a cos θ，
由题意S△ABC＝6S△ACD，则a·a＝6·a cos θ·a sin θ，
所以sin 2θ＝＝．
则tan2θ－2tan θ＋1＝0，解得tan θ＝±．
考点3__正弦、余弦定理的实际应用[多维讲练]
利用正弦、余弦定理解决实际问题主要载体是测量距离、高度及角度，高考对此内容的考查常为选择题、填空题形式，难度中等，凸显数学运算、数学建模、直观想象素养．
角度1　测量距离问题
【例4】　海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，
被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．
解析：由已知得，在△ADC中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，
由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)．
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，
所以∠DBC＝30°，
由正弦定理＝，
得BC＝＝＝160sin 15°＝40(－)．
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1 600×(＋)×(－)×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，
解得AB＝80，故图中海洋蓝洞的口径为80．
答案：80
[思维升华]　距离问题的解题思路
这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．
注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当．
角度2　测量高度问题
【例5】　(2021·山东济南模拟)济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15．2 m，到达B点，又测得泉标顶端的仰角为80°．则李明同学求出泉标的高度为________m．(精确到1 m)
解析：如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端．
依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15．2 m，
则∠ABD＝100°，
故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°．
在△ABD中，根据正弦定理，
＝．
∴BD＝＝≈38．5(m)．
在Rt△BCD中，CD＝BD sin 80°＝38．5×sin 80°≈38(m)，
即泉城广场上泉标的高约为38 m．
答案：38
[思维升华]　解决高度问题的注意事项
(1)在解决有关高度问题时，理解仰角、俯角是关键．
(2)高度问题一般是把它转化成解三角形问题，要注意三角形中的边角关系的应用．若是空间的问题要注意空间图形向平面图形的转化．
[对点练]　
2019年10月1日，在庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装置分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目，飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升飞机以72 km/h的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1 min后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，则直升飞机飞行的高度为________km．(结果保留根号)．
解析：如图，过点O作AB的垂线，垂足为E．由题意知∠EOA＝60°，∠EOB＝75°，∠COB＝30°，AB＝＝．设OE＝x，则AE＝x tan ∠EOA＝x，BE＝x tan ∠EOB＝x tan (45°＋30°)＝x·＝(2＋)x，所以AB＝AE＋BE＝(2＋2)x＝，解得x＝，所以OB＝＝＝×＝，所以BC＝OB tan ∠COB＝×＝，即直升飞机飞行的高度为 km．
答案：
角度3　测量角度问题
【例6】　如图，在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
解：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°．
根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240x×cos 120°，
解得x＝2，则AC＝28，BC＝20．
根据正弦定理得＝，
解得sin α＝＝．
所以红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为．
[思维升华]　测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
注意：　方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．
[对点练]　
如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°(∠BAC＝15°)的方向，匀速向北航行20分钟后到达B处，测得山顶P位于北偏东60°的方向，此时测得山顶P的仰角为60°，已知山高为2千米．
(1)船的航行速度是每小时多少千米？
(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处南偏东多少度的方向？
解：(1)在△BCP中，由tan ∠PBC＝，
得BC＝＝＝2．
在△ABC中，由正弦定理得＝，
即＝，所以AB＝2(＋1)．
故船的航行速度是每小时6(＋1)千米．
(2)在△BCD中，BD＝＋1，BC＝2，∠CBD＝60°，
则由余弦定理得CD＝．
在△BCD中，由正弦定理得＝，
即＝，所以sin ∠CDB＝，
所以，山顶位于D处南偏东45°的方向．
课下巩固培优卷(二十三)
【A/基础巩固题组】
1．在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝，B＝，则A等于(　　 )
A． B．
C． D．
解析：在△ABC中，a＝，b＝，B＝，
由正弦定理可得＝，所以sin A＝＝，
因为a答案：A
2．在△ABC中，a＝4，b＝12，A＝，则此三角形(　　 )
A．无解 B．两解
C．一解 D．解的个数不确定
解析：∵在△ABC中，a＝4，b＝12，A＝，
∴由正弦定理a sin A＝b sin B得：sin B＝＝＝<1，又∵a答案：B
3．在△ABC中，a，b，c为∠A，∠B，∠C的对边，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，则c的值为(　　 )
A．3或5 B．3或6
C．3 D．5
解析：∵＝，且∠B＝2∠A，
∴cos A＝＝，
则a2＝b2＋c2－2bc cos A，得c＝3或5，
当c＝3时，a＝c，则A＝C＝与cos A＝矛盾．
易知：c＝5．
答案：D
4．(2021·安徽合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为(　　 )
A． B．
C．2 D．2
解析：因为S＝AB·AC sin A＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝3．所以BC＝．
答案：B
5．“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客(身高忽略不计)从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进79米到达E点，此时看点C的仰角为45°，若BC＝2AC，则楼高AB约为(　　)．
A．65米 B．74米
C．83米 D．92米
解析：设AC的高度为x，
则由已知可得AB＝3x，BC＝BE＝2x，BD＝＝3x，
所以DE＝BD－BE＝3x－2x＝79，解得x＝≈24．7，
所以楼高AB≈3×24．7＝74．1≈74(米)．
答案：B
6．(多选)对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是(　　 )
A．若cos A＝cos B，则△ABC为等腰三角形
B．若△ABC为锐角三角形，有A＋B>，则sin A>cos B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若sin 2A＋sin 2B解析：对于A，若cos A＝cos B，则A＝B，
∴△ABC为等腰三角形，故正确；
对于B，若A＋B>，则>A>－B>0，
∴sin A>cos B，故正确；
对于C，由余弦定理可得b＝＝，只有一解，故错误；
对于D，若sin 2A＋sin 2B则根据正弦定理得a2＋b2∴C为钝角，∴△ABC是钝角三角形，故正确；
综上，正确的判断为ABD．
答案：ABD
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为________．
解析：由余弦定理，得＝cos B，
结合已知等式得cos B·tan B＝，∴sin B＝．
又0答案：或
8．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos B＝，b＝4，S△ABC＝4，则△ABC的周长为________．
解析：由cos B＝，得sin B＝，由三角形面积公式可得ac sin B＝ac·＝4，则ac＝12，①
由b2＝a2＋c2－2ac cos B，可得16＝a2＋c2－2×12×，则a2＋c2＝24，②
联立①②可得a＝c＝2，
所以△ABC的周长为4＋4．
答案：4＋4
9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin (A＋C)＝8sin2．
(1)求cosB；
(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b．
解：(1)∵sin ＝8sin2，
∴sinB＝4．
∵sin2B＋cos2B＝1，
∴16＋cos2B＝1，
∴＝0，∴cos B＝．
(2)由(1)可知sin B＝．
∵S△ABC＝ac sin B＝2，∴ac＝，
∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－2××
＝a2＋c2－15＝－2ac－15＝36－17－15＝4．
∴b＝2．
【B/能力提升题组】
10．(2021·广东七校联考)故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群．故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°．图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度(单位：米)约为(　　 )
A．3 B．4
C．6 D．3
解析：如图，根据题意得∠ACB＝15°，∠ACD＝105°，∠ADC＝30°，CD＝24，所以∠CAD＝45°，
所以在△ACD，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝12，
所以在Rt△ACB中，sin ∠ACB＝，即sin 15°＝，
解得AB＝12sin 15°＝12sin ＝12×
＝12×＝3＝6－6．
答案：C
11．(多选)(2021·山东滨州模拟)四边形ABCD内接于圆O，AB＝CD＝5，AD＝3，∠BCD＝60°，下列结论正确的有(　　 )
A．四边形ABCD为梯形
B．圆O的直径为7
C．四边形ABCD的面积为
D．△ABD的三边长度可以构成一个等差数列
解析：如图所示．
∵AB＝CD＝5，AD＝3，∠BCD＝60°，
∴∠BAD＝120°，连接BD，AC．
则∠BCA＝∠CAD，∴BC∥DA，
显然AB不平行于CD，即四边形ABCD为梯形，故A正确．
在△BAD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos ∠BAD，
∴BD2＝52＋32－2×5×3cos 120°＝49，∴BD＝7，
∴圆的直径不可能是7，故B错误．
在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD cos ∠BCD，
∴72＝CB2＋52－2×5×CB cos 60°，
解得CB＝8或CB＝－3(舍去)，
∵S△BAD＝AB·AD sin 120°＝×5×3×＝，
S△BCD＝CB·CD sin 60°＝×8×5×＝10，
∴S四边形ABCD＝S△BAD＋S△BCD＝＋10＝，故C正确．
在△ABD中，AD＝3，AB＝5，BD＝7，满足AD＋BD＝2AB，∴△ABD的三边长度可以构成一个等差数列，故D正确，故选A、C、D．
答案：ACD
12．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝ ________ m．
解析：由题设可知在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，由此可得∠ACB＝45°，由正弦定理可得＝，解之得CB＝300，又因为∠CBD＝30°，所以CD＝CB tan 30°＝100，应填100．
答案：100
13．已知△ABC中，AC＝，BC＝，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC＝，则CD＝________．
解析：因为AC＝，BC＝，△ABC的面积为＝AC·BC·sin ∠ACB＝×××sin ∠ACB，所以sin ∠ACB＝，
所以∠ACB＝或，
若∠ACB＝，则∠BDC＝<∠BAC，
可得∠BAC＋∠ACB>＋>π，
与三角形内角和定理矛盾，所以∠ACB＝，
所以在△ABC中，由余弦定理得
AB＝＝
＝，
所以AB＝AC，所以B＝，
所以在△BDC中，由正弦定理可得
CD＝＝＝．
答案：
14．在平面四边形ABCD中，∠ABD＝∠BCD＝90°，∠DAB＝45°．
(1)若AB＝2，∠DBC＝30°，求AC的长；
(2)若tan ∠BAC＝，求tan ∠DBC的值．
解：(1)在Rt△ABD中，因为∠DAB＝45°，所以DB＝2，
在Rt△BCD中，BC＝2cos 30°＝，
在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC＝4＋3－2×2×cos 120°＝7＋2，
所以AC＝．
(2)设∠DBC＝α，在Rt△BCD中，BC＝BD cos α＝2cos α，
因为tan ∠BAC＝＝，
所以cos ∠BAC＝sin ∠BAC，
于是cos 2∠BAC＋sin 2∠BAC＝sin 2∠BAC＝1，
因为0°<∠BAC<90°，
所以sin ∠BAC＝，cos ∠BAC＝，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
所以＝，
于是cos αcos ＝，
即4cos 2α－3sin αcos α＝3，
所以＝＝3，
因为0°<α<90°，所以tan ∠DBC＝tan α＝．

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