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第3节 直线与圆、圆与圆的位置关系（二）　
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．直线与圆的位置关系
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判定方法
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2 1 0
判定方法 几何法：圆心到直线的距离d＝ dr
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．
方法位置关系　　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程，消元得一元二次方程
外离 d>r1＋r2 无解(Δ<0)
外切 d＝r1＋r2 一组实数解(Δ＝0)
相交 |r1－r2|0)
内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解(Δ＝0)
内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解(Δ<0)
(一)必背常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．
2．圆系方程
(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数；
(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．
(二)盘点易错易混
1．求过一点的圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，看点在圆上还是圆外，若点在圆上，切线有一条，若点在圆外，则切线有两条．
2．判断两个圆的位置关系时，一般用几何法．如果用代数法，当Δ<0或Δ＝0时，并不能准确判断具体的位置关系，还需进一步分析．
3．两圆相切分内切和外切，相离分外离和内含，要考虑全面．
【小题热身】
1．圆C1：＋＝9与圆C2：＋y2＝16的公切线条数为(　　 )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：依题意，圆C1的圆心C1，半径R1＝3, 圆C2的圆心C2，半径R2＝4，＝＝5∈，故圆C1与C2相交，有2条公切线．
答案：B
2．若圆C：x2＋y2－2x＋2y＝2与直线x－y＋a＝0有公共点，则a的取值范围是(　　 )
A．[－2－2，2－2]
B．[－2－2，2－2)
C．(－2－2，2－2)
D．[－2－2，2]
解析：由圆C：x2＋y2－2x＋2y＝2可化为圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4，
可得圆心坐标C，半径为r＝2，
因为直线与圆C有公共点，则圆心C到直线x－y＋a＝0的距离小于等于半径，
可得d＝≤2，解得－2－2≤a≤2－2．
答案：A
3．[易错题]过P的直线l与圆＋y2＝1相切，则直线l的方程为(　　 )
A．3x－4y＋2＝0
B．4x－3y－2＝0
C．3x－4y＋2＝0或x＝2
D．3x－4y－2＝0或x＝2
解析：容易判断点在圆外．当直线斜率不存在时，直线方程为x＝2满足题意；
当直线斜率存在时，设直线方程为y－2＝k(x－2)，∴kx－y－2k＋2＝0，
所以1＝，解得k＝．所以3x－4y＋2＝0．
所以直线l的方程为3x－4y＋2＝0或x＝2．
答案：C
4．过原点且倾斜角为45°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为(　　 )
A．2 B．3
C．4 D．8
解析：由题意得，直线的斜率k＝tan 45°＝1，且直线过原点，
所以直线的方程为x－y＝0，圆的方程化为x2＋(y－2)2＝4，即圆心为(0，2)，半径r＝2，
所以圆心(0，2)到直线x－y＝0的距离d＝＝，
所以直线被圆所截得弦长为2＝2＝2．
答案：A
5．圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0相交于A，B两点，则过A，B两点的直线方程为________，A，B两点间的距离为________．
解析：根据题意，圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径r＝2，其一般方程为x2＋y2－2x－4y＋1＝0，
联立变形可得y＝x，即过A，B两点的直线方程为y＝x，
点C1到y＝x的距离d＝＝，则|AB|＝2×＝．
答案：y＝x　
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__直线与圆的位置关系的判断[典例引领]
【例1】　(1)(一题多法)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　 )
A．相交　 B．相切　
C．相离　 D．不确定
(2)(多选)(2021·新高考全国卷Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　 )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
解析：(1)法一(代数法)　由
消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0．
因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆C相交．
法二(几何法)　由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝＜1＜，
故直线l与圆相交．
法三　易得直线l过定点(1，1)．把点(1，1)代入圆的方程有1＋0＜，
所以点(1，1)在圆的内部，故直线l与圆C相交．
(2)圆心C到直线l的距离d＝，
若点A在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝＝，则直线l与圆C相切，故A正确；
若点A在圆C内，则a2＋b2，则直线l与圆C相离，故B正确；
若点A在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝<，则直线l与圆C相交，故C错误；
若点A在直线l上，则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2，所以d＝＝，
直线l与圆C相切，故D正确．
答案：(1)A　(2)ABD
[思维升华]　判断直线与圆的位置关系的一般方法
(1)几何法：通过比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小来判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．
(2)代数法：将直线方程与圆的方程联立组成方程组，消元转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适用于判断直线与圆锥曲线的位置关系．
[对点练]　1．“k∈”是“直线l：y＝kx与圆C：(x－2)2＋y2＝3相交”的(　　 )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由直线与圆相交，得圆心到直线的距离为d＝<，
解得k∈，而?，
由集合的关系可知，是直线l与圆C相交的必要不充分条件．
答案：B
2．若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是(　　 )
A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1)
C．(0，－1) D．(0，＋1)
解析：
计算得圆心到直线l的距离为＝＞1，
如图，直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，
且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于
圆心到直线l2的距离＋1．
答案：A
考点2__圆的弦长问题[典例引领]
【例2】　(1)(2022·重庆南开中学模拟)若直线l：mx－y＋m＋1＝0与圆x2－2x＋y2－8＝0相交于A、B两点，则弦长的最小值为(　　 )
A．2 B．4
C．2 D．6
(2)(易错题)过点的直线l，截圆x2＋y2＝4所得弦长为2，则直线l的方程为____________________．
[思维点拨]
(1)直线过定点A(－1，1)，圆的半径确定，要使弦长最小，需圆心到直线的距离最大，即为圆心与定点A的距离时满足题意；
(2)设出直线l的方程，利用圆的弦长公式进行求解即可．易错之处在于忽视对直线斜率不存在的情况进行验证．
解析：(1)由圆x2－2x＋y2－8＝0得＋y2＝9 所以圆心为，半径为r＝3．
直线l：mx－y＋m＋1＝0过定点A(－1，1),
圆心到直线l的最大距离为＝，
所以弦长的最小值为2＝4．
(2)当直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为x＝1，
把x＝1代入圆x2＋y2＝4的方程中，得1＋y2＝4 y＝±，∵－(－)＝2，所以x＝1符合题意；
当直线l的斜率存在时，设为k，
所以直线方程设为y－＝k(x－1) kx－y＋－k＝0，
设圆x2＋y2＝4的圆心到该直线的距离为d，
因为圆x2＋y2＝4的半径为2，弦长为2，所以由圆的垂径定理可知
d2＋(×2)2＝4 d＝1，所以有d＝＝1 k＝－，
所以x＋y－2＝0．
故直线的方程为x＋y－2＝0或x＝1．
答案：(1)B　 (2)x＋y－2＝0或x＝1
[思维升华]　求圆中弦长的两种方法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式|AB|＝·|x1－x2|或·|y1－y2|求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2．
[对点练]　若直线l：x＋my－3m＋2＝0被圆C：x2＋y2－2x－24＝0截得的线段最短，则实数m的值为__________．
解析：直线l为x＋m(y－3)＋2＝0，所以直线l恒过定点P(－2，3)．
因为(－2)2＋32－2×－24＝－7<0，
所以点P在圆C内．
因为圆C的标准方程为＋y2＝25，
所以圆心C为，半径为5．
当CP⊥l时，截得的线段最短，则kl·kCP＝－1，
即－·＝－1，
所以m＝－1．
答案：－1
考点3__圆的切线问题[多维讲练]
【例3】　已知点P(＋1，2－)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4．
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
解：由题意得圆心C(1，2)，半径r＝2．
(1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，∴点P在圆C上．
又kPC＝＝－1，∴切线的斜率k＝－＝1．
∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝x－(＋1)，即x－y＋1－2＝0．
(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0．
又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝．
∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0．
综上，过点M的圆C的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0．
∵|MC|＝＝，
∴过点M的圆C的切线长为＝＝1．
[思维升华]　1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在，且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程．
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的两种方法
几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0．由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程
代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出
[对点练]　由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)
A．1 B．2
C． D．3
解析：切线长的最小值是当直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝2，
故切线长的最小值为＝．
答案：C
考点4__圆与圆的位置关系[典例引领]
【例4】　已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0．
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
[思维点拨]　(1)求出两圆的圆心和半径，计算圆心距和半径和差的关系，从而得证；(2)两圆方程相减得公共弦所在直线方程，将公共弦放到其中一个圆中，利用几何法求弦长．
解：(1)证明：由题意得，将圆C1和圆C2的一般方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝16，则圆C1的圆心C1(1，3)，半径r1＝，
圆C2的圆心C2(5，6)，半径r2＝4，
两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，
r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，
∴|r1－r2|∴圆C1和圆C2相交．
(2)圆C1和圆C2的方程相减，得4x＋3y－23＝0，
∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0．
圆心C2(5，6)到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝3，
故公共弦长为2 eq \r(r－d2) ＝2＝2．
[思维升华]　1．判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法．重视两圆内切的情况，作图观察．
2．两圆公共弦所在直线方程的求法
两圆相交时，公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
3．两圆公共弦长的求法
求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．
[对点练]　1．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为(　　)
A． B．
C． D．2
解析：由圆C1与圆C2外切，
可得 ＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9．
根据基本不等式可知ab≤＝，
当且仅当a＝b时等号成立，故ab的最大值为．
答案：C
2．已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－4＝0的公共弦所在直线恒过点P(a，b)，且点P在直线mx－ny－2＝0上，则mn的取值范围是(　　 )
A． B．
C． D．
解析：将圆C1与圆C2的方程相减得公共弦所在直线的方程为kx＋(k－2)y－4＝0，即k(x＋y)－(2y＋4)＝0．由得即P(2，－2)．
因此2m＋2n－2＝0，∴m＋n＝1，则mn≤＝，当且仅当m＝n＝时取等号，
∴mn的取值范围是．
答案：D
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养
圆的参数方程及其应用
圆的参数方程公式其中θ为参数，θ∈[0，2π)，表示t时刻某点M(x，y)转过的角度，(a，b)为圆心坐标，r为圆半径， (x，y)为经过点的坐标．
在有关圆的最值、范围、轨迹等问题中，如果能合理利用圆的参数方程，可以降低难度，简化运算．
题型一　求最值
【例1】　已知点(x，y)在圆x2＋y2＝1上，求x2＋2xy＋3y2的最大值和最小值．
解：圆x2＋y2＝1可表示为
则x2＋2xy＋3y2＝cos2θ＋2sinθcos θ＋3sin2θ＝＋sin 2θ＋3×＝2＋sin 2θ－cos 2θ＝2＋sin ，则当θ＝kπ＋(k∈Z) 时，x2＋2xy＋3y2有最大值2＋；当θ＝kπ－(k∈Z)时，x2＋2xy＋3y2有最小值2－．
[思维升华]　解某些与圆的方程有关的最值问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决．
题型二　求轨迹
【例2】
　如图，在圆x2＋y2＝4上有定点A(2，0)，及两个动点B，C，且A，B，C按逆时针方向排列，∠BAC＝ ，求△ABC的重心G(x，y)的轨迹方程．
解：由∠BAC＝，得∠BOC＝．设∠BOA＝θ，则B(2cos θ，2sin θ)，C．
代入重心坐标公式并化简，得由＜θ＋＜，
知0≤x＜1，消去θ得＋y2＝(0≤x＜1)．
[思维升华]　用圆的几何性质求出轨迹的参数方程，在消参后，要注意x的范围的限定．
题型三　求范围
【例3】　已知点P(x，y)是圆 x2＋(y－1)2＝1上任意一点，欲使不等式x＋y＋c≥0恒成立，求c的取值范围．
解：圆x2＋(y－1)2＝1的参数方程为则有x＋y＝1＋sin θ＋cos θ＝1＋sin ，－(x＋y)＝－1－sin ，－(x＋y)的最大值为－1＋．由于 x＋y＋c≥0，所以c≥－(x＋y)恒成立，即c≥－1＋．
[思维升华]　将恒成立的问题，转化为求最值问题，利用圆的参数方程求最值简捷易算．
题型四　求斜率
【例4】　求函数f(θ)＝的最大值和最小值．
解：
如图，函数f(θ)＝的值，是以原点为圆心的单位圆上的点(cos θ，sin θ)与点(2，1)所连线的斜率，最值在切线处取得，容易求得最大值为，最小值为0．
[思维升华]　将比值问题转化为斜率问题是解析几何中常用策略，将含三角的问题与圆结合会给问题解决带来方便．
课下巩固培优卷(四十一)
【A/基础巩固题组】
1．若点P(1，1)为圆(x－4)2＋y2＝16的弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为(　　 )
A．3x＋y－4＝0 B．x－3y＋2＝0
C．x＋3y－4＝0 D．3x－y－2＝0
解析：因为圆(x－4)2＋y2＝16，所以圆心坐标为C(4，0)，半径为4，
又由斜率公式，可得kPC＝＝－，
根据圆的弦的性质，可得kPC·kAB＝－1，所以kAB＝3，
所以弦AB所在直线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0，
所以弦AB所在直线方程为3x－y－2＝0．
答案：D
2．(2021·山东潍坊一中月考)已知过点P且与两坐标轴都有交点的直线l1与圆＋y2＝1相切，则直线l1的方程为(　　 )
A．3x－4y＋2＝0
B．4x－3y－2＝0
C．3x－4y＋2＝0或x＝2
D．4x－3y－2＝0或x＝2
解析：由于直线l1过点P且与两坐标轴都有交点，则直线l1的斜率存在且不为零，
设直线l1的方程为y－2＝k，即kx－y＋2－2k＝0，
圆＋y2＝1的圆心坐标为，半径为1，
由题意可得＝1，解得k＝，
所以直线l1的方程为y－2＝，即3x－4y＋2＝0．
答案：A
3．(2022·广东梅州模拟)“点在圆x2＋y2＝1外”是“直线ax＋by＋2＝0与圆x2＋y2＝1相交”的(　　 )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：命题p：点在圆x2＋y2＝1外等价于a2＋b2>1，
命题q：直线ax＋by＋2＝0与圆x2＋y2＝1相交等价于<1 a2＋b2>4，
从而有p / q，q p，所以p是q的必要不充分条件．
答案：B
4．已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，圆C2：x2＋y2＋x－y－m2＝0(m>0)，若圆C2平分圆C1的圆周，则正数m的值为(　　 )
A．3 B．2
C．4 D．1
解析：圆C1的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆心为点C1(1，－2)，
作差可得两圆的相交弦所在的直线为3x－5y－m2－4＝0，
代入点C1(1，－2)，有3＋10－m2－4＝0，∵m>0，∴m＝3．
答案：A
5．已知圆M过点A、B、C，则圆M在点A处的切线方程为(　　 )
A．3x＋4y－15＝0 B．3x－4y＋9＝0
C．4x＋3y－13＝0 D．4x－3y＋5＝0
解析：设圆M的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意可得解得
所以圆M的方程为x2＋y2＋x－2y－5＝0，圆心为M，
直线AM的斜率为kAM＝＝，
因此，圆M在点A处的切线方程为y－3＝－，即3x＋4y－15＝0．
答案：A
6．(多选)(2021·广东潮州二模)已知圆C：x2－2ax＋y2＋a2－1＝0与圆D：x2＋y2＝4有且仅有两条公共切线，则实数a的取值可以是(　　 )
A．－3 B．3
C．2 D．－2
解析：圆C方程可化为＋y2＝1，则圆心C，半径r1＝1；
由圆D方程知，圆心D，半径r2＝2；
∵圆C与圆D有且仅有两条公切线，∴两圆相交，
又两圆圆心距d＝，∴2－1<<2＋1，即1<<3，解得－3可知CD中的a的取值满足题意．
答案：CD
7．(多选)直线l过点P且与直线x＋ay－3＝0平行．若直线l被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，则实数a的值可以是(　　 )
A．0 B．
C． D．－
解析：设直线l的方程为x＋ay＋c＝0，过点P，故c＝－1－2a，
所以直线l的方程为x＋ay－2a－1＝0，圆x2＋y2＝4的圆心(0，0)，半径为2，
直线l被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，半弦长为，则弦心距为1，
圆心到直线的距离d＝＝1，解得a＝0或a＝－．
答案：AD
8．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是___________．
解析：由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差1，故两圆相交．
答案：相交
9．(2021·山东聊城模拟)设点P是直线3x－4y＋7＝0上的动点，过点P引圆＋y2＝r2的切线PA，PB(切点为A，B)，若∠APB的最大值为，则该圆的半径r等于________．
解析：设圆的圆心为C(1，0)，因为点P是直线3x－4y＋7＝0上的动点，
所以当点P到点C的距离最小时，∠APB取得最大值，此时CP与直线3x－4y＋7＝0垂直，
因为∠APB为，所以∠APC＝，点C到直线的距离为d＝＝2，
在Rt△APC中，r＝＝d＝1．
答案：1
10．已知圆O：x2＋y2＝1，l为过点(0，2)的动直线，若l与圆O相切，则直线l的倾斜角为________；若l与圆 O相交于A，B两点，则当△OAB的面积最大时，AB的弦长为________．
解析：若直线l与圆相切，则l的斜率肯定存在，设l ：y＝kx＋2，则d＝＝1，所以k＝±，所以直线l的倾斜角为或；易得当△OAB为等腰直角三角形时面积最大，所以|AB|＝．
答案：或　　
【B/能力提升题组】
11．设P为直线x－y＝0上的动点，PA，PB为圆C：＋y2＝1的两条切线，AB为切点，则四边形APBC的面积的最小值为(　　 )
A． B．
C．2 D．1
解析：如图，S四边形APBC＝2S△PAC＝2×··＝，
要使四边形APBC的面积最小， 只需最小，
当PC垂直直线x－y＝0时，取最小值为＝，
四边形APBC的面积最小值为＝1，即四边形APBC的面积的最小值为1．
答案：D
12．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0．设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　 )
A．10 B．20
C．30 D．40
解析：将圆的方程x2＋y2－6x－8y＝0化为标准方程得(x－3)2＋(y－4)2＝52，圆心为(3，4)，半径r＝5．
过点(3，5)的最长弦为直径，所以|AC|＝2×5＝10；
最短弦为过点(3，5)且垂直于该直径的弦，圆心(3，4)到该弦的距离为5－4＝1，所以|BD|＝2＝4．
因为AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积S＝|AC|·|BD|＝×10×4＝20．
答案：B
13．(多选)(2021·河北沧州二模)已知直线l：kx＋y＝0与圆M：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则下列说法中正确的是(　　 )
A．直线l与圆M一定相交
B．若k＝0，则直线l与圆M相切
C．当k＝－1时，直线l与圆M的相交弦最长
D．圆心M到直线l的距离的最大值为
解析：圆M：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即＋＝1，是以为圆心，1为半径的圆，
对于A，因为直线l：kx＋y＝0经过原点，02＋02－2×0－2×0＋1>0，原点在圆外，所以直线l与圆M不一定相交，故错误；
对于B，若k＝0，则直线l：y＝0，直线l与圆M相切，故正确；
对于C，当k＝－1时，直线l的方程为y＝x，过圆M的圆心，故正确；
对于D，由点到直线距离公式知d＝＝＝≤(当k＝1时，等号成立)．故正确．
答案：BCD
14．(多选)(2021·山东淄博三模)已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则(　　 )
A．圆O1和圆O2有两条公切线
B．直线AB的方程为x－y＋1＝0
C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB|
D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋
解析：对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故A正确；
对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确；
对于C，直线AB经过圆O2的圆心(0，1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；
对于D，圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为＝，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋，故D正确．故选ABD．
答案：ABD
15．(2021·山东烟台二模)已知两条直线l1：y＝2x＋m，l2：y＝2x＋n与圆C：＋＝4交于A，B，C，D四点且构成正方形ABCD，则的值为______．
解析：由题设知：l1∥l2，要使直线l1，l2与圆C交于A，B，C，D四点且构成正方形ABCD，
∴正方形的边长等于直线l1、l2的距离d，则d＝，
若圆的半径为r，由正方形的性质知，d＝r＝2，
∴＝2，即有＝2．
答案：2
16．设动圆C：(x－k)2＋(y－2k＋1)2＝1，则圆心C的轨迹方程为________﹔若直线l：x－ty－1＝0被C所截得的弦长为定值，则t＝________．
解析：设C(x，y)，则消去k得2x－y－1＝0，
所以圆C的圆心轨迹方程是2x－y－1＝0；
因为圆C的半径为定值，且直线x－ty－1＝0被圆C所截得的弦长为定值，
由弦长＝2为定值，所以圆心C到直线x－ty－1＝0的距离d为定值，
因为圆心C的轨迹为直线2x－y－1＝0，所以直线x－ty－1＝0与直线2x－y－1＝0平行，
所以＝2，所以t＝．
答案：y＝2x－1　

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