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第八章　平面解析几何
第1节　直线的方程　
[课标要求]　①在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．③根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0．
(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
条件 公式
直线l的倾斜角为α 斜率k＝tan_α
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2 斜率k＝
直线Ax＋By＋C＝0(B≠0) 斜率k＝－
3．直线方程的5种形式
汈汈汈汈汈
名称 几何条件 方程 适用条件
点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线
斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 过两点 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式 纵、横截距 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面内 所有直线
(一)必背常用结论
特殊直线的方程
(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1；
(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1；
(3)y轴的方程为x＝0；
(4)x轴的方程为y＝0．
(二)盘点易错易混
1．直线都有倾斜角，但不是都有斜率． 当α＝时，斜率k不存在．
2．直线的倾斜角α∈[0，π)，斜率k＝tan α．当倾斜角α∈时，k＞0，α越大，斜率k就越大；当倾斜角α∈时，k＜0，α越大，斜率k就越大．但不能说倾斜角α越大斜率就越大．
3．要注意区分“截距”和“距离”：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．涉及直线的截距关系时应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
4．在应用直线方程的各种形式时，要注意其限制条件．
【小题热身】
1．在直角坐标系中，直线x－2y＋3＝0经过(　　 )
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限
C．一、三、四象限 D．二、三、四象限
解析：由x－2y＋3＝0，令x＝0可得，y＝；令y＝0可得x＝－3；
即直线x－2y＋3＝0过点，，所以直线x－2y＋3＝0经过一、二、三象限．
答案：A
2．[易错题]经过点P作直线l，若直线l与连接A，B的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围为(　　 )
A．0°≤α≤45°或135°≤α≤180°
B．45°≤α≤135°
C．45°<α<135°
D．0°≤α≤45°或135°≤α<180°
解析：
由图可知，经过点P作直线l，当直线l过点A时斜率最小，过点B时斜率最大，因为P，A，B，
所以kPA＝＝－1，kPB＝＝1，所以－1≤tan α≤1，
因为0°≤α<180°，所以0°≤α≤45°或135°≤α<180°．
答案：D
3．过点，且倾斜角为60°的直线l的一般式方程为________．
解析：倾斜角为60°，则斜率k＝tan 60°＝，
所以直线l的方程为y－1＝(x－1)，即x－y＋1－＝0．
答案：x－y＋1－＝0
4．已知点A，B，C三点共线，则实数m＝______．
解析：因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kBC，即＝，解得m＝3．
答案：3
5．若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为________．
解析：由题意得＝12，解得m＝－2，∴A(2，6)，
∴直线AB的方程为y－6＝12(x－2)，整理得12x－y－18＝0．
答案：12x－y－18＝0
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__直线的倾斜角与斜率[典例引领]
【例1】　(1)直线2x cos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
(2)(一题多法)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为
______________．
解析：(1)直线2x cos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α．
因为α∈，
所以≤cos α≤，因此k＝2cos α∈[1， ]．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， ]．
又θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的取值范围是．
(2)
法一　设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，则α＝45°；直线PB的斜率是kBP＝－，则β＝120°．如图，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由45°增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)；
当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至120°，斜率的变化范围是(－∞，－ ]．
故斜率的取值范围是(－∞，－ ]∪[1，＋∞)．
法二　设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0．
∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，
∴(2k－1－k)(－－k)≤0，
即(k－1)(k＋)≥0，解得k≥1或k≤－．
即直线l斜率的取值范围是(－∞，－ ]∪[1，＋∞)．
答案：(1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)
[思维引申]　(1)(换条件)若将例1(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．
解：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0．
∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，
∴(2k－1＋k)(－＋k)≤0，
即(3k－1)(k－)≤0，解得≤k≤．
即直线l的斜率的取值范围是．
(2)(换条件变结论)若将例1(2)中的B点坐标改为B(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围．
解：由例1(2)知直线l的方程kx－y－k＝0，
∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，
∴(2k－1－k)(2k＋1－k)≤0，即(k－1)(k＋1)≤0，解得－1≤k≤1．
即直线l倾斜角的取值范围是∪．
[思维升华]　斜率取值范围的三种求法
(1)数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定斜率取值范围．
(2)构建不等式法：利用不等式所表示的平面区域的性质，转化线线、线面的位置关系，构造不等式求范围．
(3)利用斜率关于倾斜角的函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可．
[对点练]　直线l经过A(3，1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是______________．
解析：直线l的斜率k＝＝1＋m2≥1，所以k＝tan α≥1．又y＝tan α在上是增函数，因此≤α<．
答案：
考点2__直线的方程[典例引领]
【例2】　求下列直线的方程
(1)过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数；
(2)过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；
(3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形；
解：(1)当直线过原点时，方程为y＝x，即3x－2y＝0．
当直线l不过原点时，设直线方程为－＝1．
将P(2，3)代入方程，得a＝－1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0．
综上，所求直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0．
(2)设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α．
因为tan α＝3，所以tan 2α＝＝－．
又直线经过点A(－1，－3)，由直线的点斜式方程得所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0．
(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1．
又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)，
即所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0．
[思维升华]　1．求直线方程的两种方法
(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，求出方程中的系数，写出直线方程．
(2)待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程．
2．谨防3种失误
(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．
(2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0．
(3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0．
[对点练]　1．已知直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程．
解析：由题设知纵、横截距均不为0，
设直线方程为＋＝1，又直线过点(－3，4)，
从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9．
故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0．
2．已知△ABC的顶点A，AC、AB边中线方程分别为x－3y＝0、5x＋6y－14＝0，求直线BC的方程．
解：由题意可知，点B在直线x－3y＝0上，设点B，则线段AB的中点为M，
易知点M在直线5x＋6y－14＝0上，则－14＝0，
解得b＝0，所以点B的坐标为．
点C在直线5x＋6y－14＝0上，可设点C，
则线段AC的中点为点N，
易知点N在直线x－3y＝0上，则－＝0，解得c＝4，
所以点C的坐标为．
直线BC的斜率为k＝＝－，因此直线BC的方程为y＝－x，即x＋4y＝0．
考点3__直线方程的综合问题[典例引领]
【例3】　(一题多法)已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
解：法一　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，
则可得A，B(0，1－2k)．
∵与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，
∴?>0，
1－2k>0，? k<0．
于是S△AOB＝·|OA|·|OB|＝··(1－2k)＝≥
＝4．
当且仅当－＝－4k，即k＝－时，△AOB面积有最小值为4，
此时，直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0．
法二　设所求直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则＋＝1．
又∵＋≥2 ab≥4，当且仅当＝＝，
即a＝4，b＝2时，△AOB面积S＝ab有最小值为4．
此时，直线l的方程是＋＝1，即x＋2y－4＝0．
[思维升华]　与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题，先根据题意建立目标函数，再利用基本不等式(或函数)求解最值．
(2)求解直线方程与函数相结合的问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决问题．
[思维引申]　(换条件)本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
解：法一　由例3法一知A，B(0，1－2k)(k<0)．
∴|MA|·|MB|＝·＝2＝2≥4．
当且仅当－k＝－，即k＝－1时取等号．
此时直线l的方程为x＋y－3＝0．
法二　由例3法二知A(a，0)，B(0，b)，a>0，b>0，＋＝1．
∴|MA|·|MB|＝||·||＝－·＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)－5＝2≥4，当且仅当＝时取等号，又∵＋＝1，∴a＝b＝3，此时直线l的方程为x＋y－3＝0．
[对点练]　过点P(4，1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．
(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
解：设直线l：＋＝1(a>0，b>0)．
因为直线l经过点P(4，1)，所以＋＝1．
(1)＋＝1≥2＝，所以ab≥16，当且仅当＝＝，即a＝8，b＝2时等号成立．
所以S△AOB＝ab≥8，当且仅当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小．
此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0．
(2)因为＋＝1，a>0，b>0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，
直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0．
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养
直线的截距与斜率
1．直线的截距不是距离，它是一个数，可正可负可为零，涉及到横、纵截距的等量关系时，不要忽略截距为0的情况．
2．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α 0 0<α< <α<π
k 0 k>0 不存在 k<0
3．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系可用下图表示：
题型一　有关截距相等问题
【例1】　设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a．
解：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为0，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0．
当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，
直线方程可写为＋＝1，∴＝a－2，即a＋1＝1．
∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0．
综上，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0．
(2)由＝－(a－2)，得a－2＝0或a＋1＝－1，∴a＝2或a＝－2．
[思维升华]　在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．
[对点练]　(多选)若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程可能为(　　 )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
解析：当直线经过原点时，斜率为k＝＝2，所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A(1，2)代入可得1－2＝k或1＋2＝k，求得k＝－1或k＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0．综上知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0．故选ABC．
答案：ABC
题型二　有关导数的几何意义问题
【例1】　设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为，则点P的横坐标的取值范围为(　　 )
A． B．[－1，0]
C．[0，1] D．
解析：由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则k＝2x0＋2．
因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，所以0≤k≤1，
即0≤2x0＋2≤1，所以－1≤x0≤－．
答案：A
[思维升华]　解决与函数导数的几何意义相结合的问题，一般是利用导数在切点处的值等于切线的斜率来求解相关问题．
[对点练]　曲线xy－x＋2y－5＝0在点A(1，2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　 )
A．9　　　B．　　　C．　　　D．
解析：由xy－x＋2y－5＝0，得y＝f(x)＝，
∴f′(x)＝，∴f′(1)＝－，
∴曲线在点A(1，2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)．令x＝0，得y＝；令y＝0得x＝7．∴切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S＝××7＝．故选B．
答案：B
题型三　有关，的几何意义问题
【例3】　已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，则的最大值为______，最小值为______．
解析：如图，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象(曲线段AB)，
则表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任意一点(x，y)的连线的斜率k，连接PA，PB，则kPA≤k≤kPB．易得A(1，1)，B(－1，5)，所以kPA＝＝，kPB＝
＝8，所以≤k≤8，故的最大值是8，最小值是．
答案：8　
[思维升华]　形如 ， 的比值形式，都可从直线的两点式斜率考虑．
[对点练]　已知函数f(x)(0≤x≤1)的图象如图所示，若0＜x1＜x2＜1，则(　　 )
A． ＜
B． ＝
C． ＞
D． ≥
解析：从选项可以看出，分别表示点(x1，f(x1))和点(x2，f(x2))与点( 0，0 )连线的斜率，∵ 0＜x1＜x2＜1，图象又是上升的，观察可得答案C．
答案：C
课下巩固培优卷(三十八)
【A/基础巩固题组】
1．(2021·广东深圳宝安中学月考)直线x＋3y－4＝0的倾斜角是(　　 )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：由直线x＋3y－4＝0得它的斜率k＝－，
设直线倾斜角为α，则α∈[0°，180°)，显然α≠90°，于是得tan α＝－，解得α＝150°．
答案：D
2．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　)
解析：直线l1：y＝－ax－b，直线l2：y＝－bx－a．当a>0，b>0时，－a<0，－b<0，故B符合．经验证其他均不符合．
答案：B
3．(2022·河北张家口模拟)直线l经过A(2，1)，B(1，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　 )
A． B．
C． D．
解析：直线l的斜率k＝tan α＝＝m2＋1≥1，所以≤α<．
答案：C
4．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0，0)，M(－1，3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　 )
A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
解析：因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，选C．
答案：C
5．(2021·江西南昌十中月考)已知直线l与两条直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率是(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：设P(a，1)，Q(b，b－7)，
则解得所以P(－2，1)，Q(4，－3)，所以直线l的斜率k＝＝－，故选C．
答案：C
6．设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是(　　)
A．∪
B．
C．
D．∪
解析：直线ax＋y＋2＝0恒过定点M(0，－2)，且斜率为－a，
∵kMA＝＝－，kMB＝＝，结合题意可知－a>－，且－a<，∴a∈．
答案：B
7．过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为________________________．
解析：由题意可设直线方程为＋＝1．
则解得a＝b＝3或a＝4，b＝2．
故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0．
答案：x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
8．已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为______________．
解析：BC的中点坐标为，∴BC边上中线所在的直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0．
答案：x＋13y＋5＝0
【B/能力提升题组】
9．已知函数f(x)＝a sin x－b cos x(a≠0，b≠0)，若f＝f，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为(　　 )
A． B．
C． D．
解析：由f＝f知，函数f(x)的图象关于x＝对称，所以f(0)＝f，所以a＝－b，则直线ax－by＋c＝0的斜率为k＝＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为．
答案：D
10．(多选)S＝，下列结论中错误的是(　　)
A．当θ＝时，S中直线的斜率为
B．S中所有直线均经过同一个定点
C．当m＞n时，S中的两条平行线间的距离的最小值为2n
D．S中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面
解析：当θ＝时，sin θ＝cos θ，S中直线的斜率为－，故A不正确；
根据x＋y＝1，可知S中所有直线不可能经过同一个定点，B不正确；
当m＞n时，S中的两条平行直线间的距离为d＝≥2n，即最小值为2n，C正确；
坐标点(0，0)不满足方程，所以S中的所有直线不可覆盖整个平面，D不正确．
答案：ABD
11．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，
如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值－2和最大值2．
∴b的取值范围是[－2，2]．
答案：[－2，2]
12．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，
直线l2在x轴上的截距为a2＋2，
所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝＋，
所以当a＝时，四边形的面积最小．
答案：
13．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
解：(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，
故无论k取何值，直线l总过定点(－2，1)．
(2)直线l的方程可化为y＝kx＋2k＋1，
则直线l在y轴上的截距为2k＋1，
要使直线l不经过第四象限，则?k≥0，
1＋2k≥0，?
故k的取值范围是k≥0．
(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，且k>0，
所以A，B(0，1＋2k)，
故S＝|OA||OB|＝××(1＋2k)＝≥×(4＋4)＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时取等号，
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．

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